1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 52
Текст из файла (страница 52)
2. 1) ( — 1;14), (2; — 13); 2) (О; — 1); (1; — 6); ( — 2,— 33); 3) ( — 1; — 58), (1;54), (7: — 2106); 4) (я1'1 — 5( — 1)ь), Ь Е л; 5) (1; 2е), ( — 3; — бе з); 6) (2;0), (5; — 27/4); 7) (3;0), (9/2; 27 а16); 8) (1/2; — 1/2). :9) ( — 2;1+ ъ~З). 3. Ц у = — х/2+ 5/2; 2) у = 2х:, 3) у = — Зх; 4) у = — Зх+ Зяаа2; 5) х=1; 6) 4х — 9У+8=0; 7) 29х — 12У вЂ” 54=0:, 8) х — ЗУ=О; 9) (1 — 1о)е мх — (1+ 1а)е'ау+ 21о — О; 10) у = (сгя(1оаа2)) х+ 2о — аао с18(го/2). 4. хох/аз + Уод/Ьг = 1 5.
(100/ха',0). 6. Я/2 — агс18 (7/2). 7. 1) х+ 2У вЂ” я — 2 = О; 2) 8х+ 4У вЂ” 8 — я = 0; 3) х = 6; 4) у — 3/ъ'2 = 2ъг2(х+3); 5),/2рхах+рд —,,/2рха(у+хо) = 0; 6) д — — е П = — тГЗс18 — (х — — е'П ). аз ..Ьят, 3 зт 4 12(, 4 8. 4х — 7У+ 15 = О. 9. издох+ Ьзхоу — хоуо(аз+ Ьз) = О.
10. 1) 5х+ бу — 13 = 0; 6х — 5У+ 21 = 0; 2) 9х+ 2у+ 12 = 0; 2х — 9у+ 31 = 0; 3) 14х — 13У + 12 = 0; 13х + 14У вЂ” 41 = 0: 4) х + у — 2 = О,. д = х: 5) У вЂ” Уо = ,(х — хо)1 У вЂ” Уо = — , (х — хо); хо(б — ха) уо(4 — ха) уо(4 — хо) х;,(6 — хо) 6) х/о + у/Ь = 2, ох — Ьу = оз — Ь; 7) Зх — д — 4 = О, т+ Зу — 28 = 0; 8) (я+ 4)х+ (аг — 4)д — = О, (аг — 4)х — (аг+ 4)у+ яьГ2 = 0; за ааа2 9) х+ у — 1= 0, х — у =0; 10) 7х — 10У+ 6= 0, 10х+ 7У вЂ” 34 =0; 415. Производные и дифференциалы высших передков 293 11) Зх — у — 1 = О, х + Зу — 7 = О.
11. 1) (О;0), гр = агг38(2/3); 2) (к/4+~й;( — 1)ь), р = тг/2; 3) (О;0), дт = 0; (1;1), у = агс18(1/7); 4) (1;1), дз = агст83; 5) (1; 1), |р = тг/4; 6) (т/е; 1/2), гр = 0; 7) (1;1), (4;4), дз = агсо8(6/7); 8) (3;34), р = 0; ( — 2;4), р = агст8(25/153); 9) (2Ь+ 1/2; дт(2Ь+ 1/2)), Л: Е Е, угол равен нулго. 12.
1) (О;0), |р = к/2; (1;1), гр = агсГВ(3/4); 2) (1;5/9), ~р = агс18(1/3): 3) (2:е), гр = агст8(2/е): 4) (1;+2), р = агсг83; 5) (1/8; — 1/16), гр = к/2; 6) (1;2), |р = агст8(6/5); 7) (8/5;0), гр = агс18(75/31); 8) (с;е), дт = к/2. 16. Ц к/2; 2) 0; 3) тг/2: 4) к/3; 5) агс'о8(3/4); 6) 2тг/3; 7) 0; 8) Зтг/4: 9) к — 2агст8(1/18); 10) О. 17.
1) 2оГ2; 2) 2ит2; 3) 2; 4) 2. 18. 1/!па. 19. /х!/по паг~х~~" '. 20. 1) 2/х!, р; 2) (хз — аз)/~х~, /х!. 23. 1) 2х/3, Зхз/2, * ф 0; 2) 2х, 1/(2хз). 24. 2а ягп(1/2) 18 (4/2), 2а ягп(г/2), 2а япз(4/2) о8 (1/2), а ь4п Е 25. а, а яп Ь// соя 1/. 28.
1) агст8х; 2) агс48гр; 3) агс18(1/Ь):, 4) /к — ге!/2, 0 ( ио < к, тг < дт < 2к; 5) тг/2 — 2у. 29. г/2. 31. (а/ъ~Г+ Ьг)с~". 1 -е 2игЗ Г1 + 2тГЗ)а 32. х — у— о,=О, т= 4 ' 4гсое ио — яп оо) 33. - 54,3 км/ч. 34. — тг/8. 35. 90,75 Двс 36. 1/3 м/с.
37. 0,05 мз/с. 38. 4к рад/с. 39. 15 м/с. 40. - 3 м/мин. 41. и = (ттосояо, оовшо — д1), (о( = ттоз — 2оодзягпа+дз1з. 2тгае . 2к(г — го) т 2к(Ф, — го) 42. тг/3 м/с. 43. яш ' ~2есоя ' + 1). 44. 1,013 Дгк/К. 45. — (1п2)/Т. з 15. Производные и дифференциалы высших поридков СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Производные высших порядков. 1) Пусть функции /~х) дифференцируема на интервале (а; Ь). Производную /'(х) называют производной первого порядка или первой производной функции /(х). Если первая производная /'(х) дифференцируема на интервале (а; Ь), то ее производную называют второй Гл. 3. Производнал и диуференциал в частности, (е»)(е) = ех (2) (а1пох)~"~ = о" а1п(ох+ (яв)/2); (В) (соз ох) ~" ~ = ов соз(ох + (тгп) /2); (4) Наг, + 6)е)бй = а"о(о — 1)...(о — п+ 1)(ах+ Ь) "; (5) ~)рй ( ) ( ). хе!па в частности, ~)(п) ( 1)" (н "). х" (7) 5) Если функции и(х) и о(х) имеют производные порядка и, то функции ои(х) +,Зо(х), где о и 3 постоянные, и и(х)о(х) также имеют производные порядка н, причем +д )бй (и)+Д бй п (ии)бй = ~ С и~" ~о~ ~. в=о Последняя формула называется фарг»улой Лейбница.
производной или производной второго порядка функции 7'(х). Для производной второго порядка приняты следующие обозначения: з»е(,,) у(г)( ) д з (х) з»е з»в 2) Аналогично определяется производная З»бй( ) д"з(х) ,1хе порядка и Е Й: если на интервале (а;5) существует производная порядка н — 1, то ее первая производнан называется производной порядка и, т. е, по определению 11"'~(х) = (1~" ~~(х))', п, Е Н; при этом под производной ~®(х) нулевого порядка подразумевается функция 1(х).
3) Если в = в(1) закон прямолинейного движения материальной точки, то зе(1) есть ускорение этой точки в момент времени й В этом заключается физический смысл второй производной. 4) При вычислении производных высших порядков часто используютсн следуюшие основные формулы; (а*)бй = а» 1п" а.
(1) У то. Производные и дифференциалы высших порядков 296 2. Дифференциалы высших порядков. Пусть функция у = = г"(х) диффсренцирусма на интервале (а: Ь). Ее дифференциал ду = г"'(х)дх, который называют также ес первым дифференциалом, зависит от двух переменных х и дх. Пусть производная 1'(х) также диффсренциру- сма на интервале (а; Ь). Тогда при фиксированном дх дифференци- ал Йу является функцией только х, длн которой могкно в свою очередь вычислить дифференциал, причем в качестве прираще- ния гЬх независимой переменной х взять то же самое приращение, которое было выбрано при нахождении первого дифференциала функ- ции 1(х), т. е.
дх, Вычисленный при атом условии дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции у = 1(х) и обозначает- ся д у или Дз(. Таким образом, по определению агу = д(ду) = дЦ'(х)дх) = Я'(х))дх = то(х)дхдх = 2о(х)(дх)2, дгу = (о(х)дхг. (10) Аналогично, в случае, когда функция у = г(х) на интервале (а; Ь) имеет производную порядка и,, определяется и-й дифференциал д"у как первый дифференциал от (и — 1)-го дифференциала при условии, что при вычислении первого дифференциала в качестве приращения схх берется то приращение дх, которое выбиралось при вычислении (п — 1)-го дифференциала.
Методом индукции для и-го дифференциала получается формула д" у = ) ~'0(х)дхо. (11) Дифференциал п-го порядка независимой переменной х при п > 1 по определению считается равным аулю, т, е. дох=О при п>1. Если для функций и(х) и о(х) дифференциалы д"и и д" и существуют, то функции аи(х) +,Зв(х), где о и () --- постоянные, и и(х)о(х) также имеют дифференциалы п-го порядка, причем о 6"(ои+ ро) = сед"и+ дд"о, дн(ио) = ~ ~С~,до еи дтш ь=о Замечание.
Форхеула (10) и формула (11) при п > 1 справедливы только тогда, когда х является независимой переменной. Для сложной функции у = у(х(1)) формула (13) обобщается следующим дзу = Д(ду) = Д(у,'дх) = (ду,')дя:+ у.'с)(дх), Ыу=у„Нх +у,дх. (12) В случае, когда х ". независимая переменная, Изх = 0 и формула (12) совпадает с формулой (10). 915. Производные и дифференциалы высших порядков 297 Остальные слагаемые равны нулю, так как 1хз)00 = 0 при 1 > 2. Для вычисления производных порядка и, н — 1 и и — 2 функции соя 2х используем формулу 14): 1соя2х)00 = 2" соя (2х+ — ), 1соя2х)~" О = 2" 'соя(2х+ ~ ) ) = 2" 'яш(2х+ ™1, 2 / 2 /' 1соя2х)~" '~ = 2" сов(2х+ ) = — 2" ~соя(2х+ — ).
Следовательно, 1хз соя 2х) ~Ю = = 2" (х~ — ) соя (2х+ — ) + 2ппхгбп (2х+ — ). А Пример 4. Для функции /1х) = агс1пх вычислить /Оо10). А Так как /'1х) = 1/11+ хя), то д +, 2)у~( ) Вычислим производные порядка н — 1 от обеих частей этого равенства. Для вычисления производной от левой части применим формулу Лейбница, положив в ней и = ~'(х), о = 1+ хз. Получим 11 + 72)У(п)1х) + 2(д Цх/зп — 1]1х) + 1ге Ц1н 2)~(п — )1х) откуда при х = 0 найдем рекуррептное соотношение Т~п~(0) = — 7п — Ц(н — 2)~~п е)(0) При четном п 7н = 2/с), поскольку ~~-'1(0), получаем ~~'е~(0) = О.
При нечетном и 7и = 2Й+ 1), поскольку ~'(0) = 1, находим у~е" 0(0) = -1И)(И вЂ” цу~яь-'~(0) = ... ... = ( — ц" (2Й)!~'(0) = ( — це(2й)!. я Пример 5. Найти вторую производную функции, обратной к функции у=х+хп, хсй. А Данная функция всюду непрерывна и строго монотонна, ее производная р = 1+ 5хл не обращается в нуль ни в одной точке, поэтому 1 1 р' 1 -Ь 5х' Дифференцируя это тождество по р, получим ( 1 )', — 20хе (1+ бхл /, '" (1-Ь 5х')' ' Гл.3. Производная и дифференциал 29В Пример 7. Пусть функция у = 1(х) задана параметрически формулами .е = х(С)., у = у(1), 1 Е (зл: Ь), и пусть х(1) и д(Ь) дназкды дифференцируемы и х'(Ь) У= О при 1 б е (а;Ь).
Найти д,,",. а По формуле (3) В 13 находим первую производную Г'(х): Уз = Уз1хз Дифференцируя обе части етого равенства по х, получаем ° =(-) ' =(-)— т. е. о з.о и хзУи Узхи У ,з' 4 хз Пример 8. Пусть д = д(х), ~х~ > а, заданная неявно уравнением У аз Ьз положительная функция, Найти у,"„. а Для нахождения у' воспользуемся уравнениелв (4) В 13, которое в данном случае имеет вид .Д (-"-'- $-') =' Дифференцируя, получаем (13) аз Ьз Ьз Из етого уравнения находим у,'. = —,, ~х~ > а, у > О. Дифференцируя а у по х обе части равенства (13), найдем У а- "Ьз и Ьз — „— —, (дв)' — —, д...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
