1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ц г"' (0) = 1, ~' (0) = 0; 2) г"' (0) = 2, Д (0) = 0; 3) г'(0) = О. 193. Ц (' (0) = О, 2"' (0) = +со; 2) ~' (0) = +сю, Г"' (0) = +сю; 3) г"' (0) = -сс, 7"' (0) = 0; 4) г"' (0) = О, Д (0) = -со; 5) г"' (0) = - 1, (л (0) = +со. 194. 7' (хо) = — гр(хо), Д (то) = аз(хо) 195.
у = — яяпх. 1 хяп(1ггх), если х ~ О., О, если х= О. 197. Ц х'(0) = 1, х'(6/5) = 1гг2; 2) х'( — 1/2) = 1/2; 3) х'(Ц = 5; 4) х'(0) = — кГ2г8; 5) хУ(3,14) = зГ2гг2 198. Ц х'(у) = хгг(х + Ц, у Е Й; 2) х'(у) = 1гг(1 + у — х), у б Й; 3) хиЬу) = х'/(2у'), у 6 (О; Ц; 4) х'(у) = 1ггЪ уз — 1, у Е (1;+ ). 199. (ассах)'=1гг(1 — ха), хс( — 1;Ц. 200. у=я(2Й+ Ц, й Ел.
201. 1) у', = — 1, 0 < х < 1; 2) у,' = — Згае', 3) у,' = — Яа) с181; 4) у' = (5(а) ст1г 1; 5) у,' = 1 — 3/г + 9Газ; 6) у,' = (31 — 7) гг(31 — 5); 282 Гл. з. Производная и дифференциал 7) у,' = с18(1/2), х ф 2лйа, у'(2тйа) но существует, й б л; 8) у,'. = 2соа1Д1+ сое1). 202. Ц х' =; 2) х' = 1 — —,,; 3) х' = Зз+1, 1 1 3 — ЗЕ " Ез " еш'1(З "; 4 сов'1) 203. зд'(0) = О. 204.
у,' = 2х. 205. Ц вЂ” 2ДЗл); 2) 1; 3) О. 206. у'„(0) = 1, у' (а) = — оо. 5) У, О < х < 2а; 6) 1 — —, О < х < 4; (2а — х)х ' Гх' зУу 5 3 — х 7) — ~з-. )х) < а, х ф 0; 8) —, (х — 3! < 3; 9 у+1' 9) ', х<3. 4у — 2х — 4 Зу — 4х — 3 ' 208. Ц 1/тз'3; 2) — 24/41; 3) — 1/е:, 4) — ет.
209. Ц А = 1, сз(Ьх) = 3Ьх + Ьх~; 2) А = О, о(з5х) = Ьхе. 210. 3(х — Ц,Ьхе+злхе. 211. х =у1, 1е Е л. 212. Второй, если х ~ 0; если х = О, то третий. 7) ', дх; 8) е1х, :9) х' (1+ 21пх)хс1х. (1 — хе)ъ'à — хе ' ' соехнйпх 214. Ц вЂ” — дх; 2),, ' с~х, 0; 3) — е1х; 4) (2+1п4)йх, О. 1 2е 89нГ2 ее+1 4 з 215. Ц вЂ” Вх; 2) — е1х; 3) Уо е е1х; 4) Уе е1х; 11 ' 4 ' 5у,, '— 2хеуе ' хе — уе 5) — — Ах; 6) — е1х; 7) — 2и Нх; 8) 0; 9) — дх; 10) — бх. 20 ' 3 ' 3-Ь1пЗ ' ' 2 ' 8 216. дх. 217. Ц илами+ 2иида; 2) 2 — 'е1и — —,ди; ю ' оз 3)... (ий~ — ис1и); 4) е "(ие1и+ ое1и); 5) (ир Ч- оо)е нзиз Ч- ое 218. Ц а) 4,0208, б) 5,00177; 2) а) 3.,083, б) 1,9938; 3) а) 0,485, б) — 0,017, 4) 0,9942; 5) 0,512; 6) 0,810, 7) 0,079; 8) 0,925.
219. Ц 25,3: 2) 5,85; 3) 3,001; 4) 1,9953. 220. 565 сме. 221. 2%. 222. Уменьшится на 1%. 223. Увеличить на 2,23 см 4 Ц. Геометрический и физи зеский смысл ироизеодкой ~ 14. Геометрический и физический смысл производной СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Геометрический смысл производной. Ц Если функция р = Х(х) имеет производную в точке хо, то угловой коэффициент касательной ТТ' (рис. 14.1) к графику функции в точке ЛХ(хо; Х(хе)) равен Х'(хо) Следовательно, уравнение касательной в точке М(хо; Х(хе)) имеет вид Т( р — У(хо) = Х'(хо)(х - хо). (1) 2) Если функция р = Х(х) непрерывна в точке хо и Ък-чо 1йп '' = со, Х(хе -,-,Ьх) — Х(хс) Ьх Ркс.
14 1 то уравнение касательной к графику функции в точке ЛХ(хе, Х(хе)) имеет вид х = хе. В этом случае график функции у = Х(х) в окрест- Рис. 14.3 Ркс. 14.2 Ркс. 14.4 Ркс. 14.5 ности точки хо имеет вид, схематически изображенный на рис. 14.2- 14.5. Гл. Ю. Проюеедная и дифференциал 3) Прнмая, проходящая через точку Л1(хп, Х(хп)) перпендикулярно касательной, называется нормалью (прямая ЛХЛХ на рис. 14.1).
Если Х'(хе) ~ О, то уравнение нормали записывается в виде 1 у — Х(хп) = — , (х — хп) (2) 1'(хе) Если Хи(хп) = О, то уравнение нормали имеет вид х = хо. 4) Пусть к графику функции у = Х(х) в точке ЛХ проведены касательная и норгяаль (см.
рис. 14.Ц, которые пересекают ось абсцисс соответственно в точках Т и 1У. В прямоугольном треугольнике ТЛХХг' катет ТМ называют отрезком касательной, катет ХПЛХ отрезкам нормали. Отрезок ТЛХы где ЛХп проекция точки ЛХ на ось абсцисс, называют подкасательной, отрезок Хз'ЛХп подкармалью. Длины этих четырех отрезков выражаются через значения функции и ее производной в точке хо следующим образом: ухая = / Ь гттРГ, !них = Шип е ит, о) [ТМ,[ = Х, [1УЛХ,[ = [О'[. (4) 6) Пусть графики функций у = Хп(х) и у = Хз(х) пересекаются в точке ЛХ (рис. 14.6).
За угол ьз между графиками этих функций принимается величина угла, образованного касательными, проне- денными к графикам в точке М. Угол х находится с помощью формулы 18 р= [ Х',1-',, О <д< -. (6) Если 1+ ХйХз! = О, то р = я12. 6) Если функция у = Х(х) имеет в точке хп правую производную Х'(хо), то уравнение правой касательной к графику функции у = Х(х) в точке ЛХ(хо, Х(хе)) имеет вид У 1(хо) = 1;ь(хп)(х хо) (6) Аналогично записывается уравнение левой касательной: У 1(хе) = 1 — (хо)(х хо).
(7) 2. Физический смысл производной. Средней скоростью изменения функции Х(х) па отрезке [а: 6[ называют отношение 1(Ь) — Х(а) (8) Ь вЂ” а 9 ц. Геомезприиеспий и 4изичеспий смысл производной 285 Мгновенной скоростью или скоростью изменения в точке х функ- ции ~(х) называется Д~х ж с3х) — ~(х) (9) зтз но с3х Таким образом., производная есть скорость изменения функции.
На интерпретации производной как величины мгновенной скорости изменения функции основано применение производной к изучению разнообразных физических явлений. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Под какими углами синусоида д = ззп х пересекает ось абсциссГ А Синусоида у = зкя х пересекает ось абсцисс в точках х = лй, Й Е Е х. Если х = 2лгь то у'(2л)с) = соя 2л)с = 1, т, е, угловой коэффициент касательной к синусоиде равен единице.
Следовательно, в точках х = = 2лй синусоида пересекает ось абсцисс под углом 45". Если х = = (2й + 1)л, .то у'И2й + 1)л) = — 1. Позтому в точках х = (2й + 1)л синусоида пересекает ось абсцисс под углом 135'. а Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к графи- ку функции у = 2х/(1 + хз) в точке с абсциссой х = ъ'2. а Находим производную функции ,(х) =2("х)-'*' =2 '-* . (1-8 хз)з (1 ж хз)з Вычисляем значения функции и ее производной в точке х =;с2: р(ъ'2) = 2чс2/3, р'(ус2) = — 2/9. Записываези уравнение касательной: 2зз'2 2 р — = — — (х — ъ'2), 3 9 и уравнение нормали: 2ъГ2 9 9 — = — (х — тс 2). 3 2 Упрощал уравнения, получаем 2 3~/2 у = — — х -ь (уравнение касательной), 9 9 23ъс 2 д = — х— (уравнение нормали).
А 2 б Пример 3. Вычислить длину отрезка нормаяи к цепной линии у = а с)з (х/а) в каждой ее точке. д Подставив значения данной функции и ее производной р' = = 8Ь (х/а) в формулу для длины отрезка нормали, получим 286 Гл. д. Пуаизвиднии и дифференциал Пример 4. В точках пересечения эллипсов — + — '=1, '— +У =1 16 9 ' 9 16 найти утоп между ними. а Эллипсы расположены симметрично относительно координатных осей. Рассмотрим поэтому только первый квадрант координатной плоскости.
Решив систему х-'ьь16+ У~,ь9 = 1 хз/9+ уз/16 = 1, найдем точку пересечения эллипсов (12/5;12Ь5). Из уравнения первого эллипса получаем 2х 2уу', 9 т, — + =О, т е. у(х)= — — —, 16 9 ' 16 у' и, следовательно, у'(12Ь5) = — О,ь16. Аналогично, для второго эллипса получим у'(12ьь5) = — 16ьь9. Формула (5) в даььььом случае имеет вид Ь вЂ” 9ь16) — Ь вЂ” 16/9) 175 1 -~- Ь-9ьь16) Ь-16/9) 288 Итак, эллипсы пересекаются в четырех точках под углом ие = = агс18(175ьь288), т. е, под углом, равным приблизительно 31', а П р и м е р 5.
Высота 5 снаряда, вылетевшего с начальной скоростью ио под углом а к горизонту, изменнется по закону 5 = (иоа1пьь)à —— дь 2 где 1 время, д ускорение силы тяжести. В какой момент скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулюГ а Вычисляем производную функции 611): 1ь'(г) = ь/о аьььо — уй Следовательно, скорость изменения высоты снаряда над горизонтом равна нулю при ио гйьь о а у П р и м е р 6. Количество электричества д (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника, изменяется по закону 9 = Згз + 26 Найти силу тока в конце пятой секунды. Л Сила тока 1 в момент времеви 1 равна мгновенной скорости изменения количества электричества, протекающего через поперечное сечение проводнига.
Поэтому ь(1) = д'11) = бг+ 2 и ь(5) = 32, т, е. сила тока в конце пятой секунды равна 32 амперам. а р Ц. Геометрический и физический смысл производной 287 здддчи 1. Найти углы, под которыми график функции у = Д(х) пересе- кает ось абсцисс: 1) д=81пЗх; 2) у=сбх; 3) д=1п)х(; 4) у=1 — е'; 5) у = агстйах, о > 0; 6) у = (х — 1)з(х — 2)з(т — 3); (х — Ц(х ж 2) 7 у= (.т+ Ц(х — 2) ' 8) х = (Х вЂ” 1)з(1 — 2), у = (1 — 1)з(1 — 3), 2 < 1 < +со; 9) х=, д=, — 1<1< —; Зас Зас 1з+1' ' О+1' 2' 10) хе + уз + 2у — 9 = О, д > — 1.
2. Найти точки, в которых касательные к графику функции у = = Д(х) параллельны оси абсцисс: 1) у = 2хз — Зхз — 12х + 7; 2) д = Зхл + 4хз — 12хз — 1; 3) у — Зхл — 28хз — бхз + 84т + 1; 4) у — соз 2т, — 5 соз х; 5) у = (3 — хз)е"; 6) у = (2 — х)'7'(х — 3)з; 7) у = /х — 5!(х — 3)з. 8) х 78/(1+1з) д (18 21з)7(1+1з). 9) хе + 2уз + 4х — 4у = О, у > 1. 3. Написать уравнение касательной к графику функции у = Д(х) в указанной точке: 1) у = ъ'5 — хз, х = 1; 2) у = агс18 2х., х = 0; 3) у = 1п,, х = 0; 4) у = 4 с18 х — '„, х = —: хе+х+1 ' ' ' ыпзх' 2 ' 5) у= фх — 1, х=1; 6) у=(хз+2хз)((х — 1)з, х= — 2; 7) у = ~х — 1~ з зх с+ 2, х = 6; 8) хе+уз — 2х+6У=О, у> — 3, х=О, 9) х=1е', д=1с ', 1> — 1, 1=1о> — 1:, 10) х = а(1 — 81п1), у = а(1 — сов 1), 1 = 1о ~ 2к7с, й 6 Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
