1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Найти у'(х), если: 1) у = л/7 х)1 /(х) > О; 2) у = 1п ~/(х) ~1 /(х) ф О; 3) у = /(хз 4) у = /(агой/(х)), 1/(х) ~ < 1. 169. Пусть /(х), х 6 Й2 и д(х), х 6 Й, -- всюду дифференцируелвые функции. Найти у'(х), если: 1! 2 = ",IР'! ! 4 2'4*! 124*! -;- 214*! 2; 2) у = 1п(/(х)/д(х)~, /(х)д(х) 74. О; 3) у = /(з1п х)+д(созгх); 4) у = (/(х))вг'1, /(х) > О. 170. Пусть функции /,„: (1 <1! 1 < а) дифференцируемы в некоторой точке. Доказать, что в этой точке справедливо равенство я И. Производная. Дифференциал функции зт> х 1 0 3) з3(х) = хи 2х 2 хз Зхз 6х 172.
Доказать или опровергнуть следующие утверждения: 1) если функция имеет производную в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке; 2) если функция непрерывна в некоторой точке, то она имеет про- изводную в этой точке. 173. При каких значениях а функция ~х( яш(1/х), если х ф- О, О, если х= О, в точке х = 0: 1) непрерывна; 2) имеет производную; 3) имеет непрерывную производнуюГ 174.
При каких значенинх а и ф (П > 0) функция ~т( яш(1Дт(Я), если т ф О, О, если х=О, в точке т = 0: 1) непрерывна; 2) имеет производную; 3) имеет непрерывную производнуюГ 175. Построить пример функции, имеющей производную всюду, за исключением точек хы хз, ..., то. 176. Определить значения а и,З, при которых: а) всюду непрерывны; б) всюду дифференцируемы следующие функции: ) ах+ П, если х < 1, 1 а+ Дхя, если ~х~ ( 1,.
хз, если х > 1; " ) 1Дх~, если ~х~ > 1, ахз+Дз ~х~ < 2 У 1 (1/я) агсяш(1/т), (т! > 2; 2х — 2, если х<1, 4) у = а(х — 1)(х — 2)(х — /д), если 1 < х < 2, х/2 — 1, если х > 2. 177. Определить значения а и П, при которых функции всюду дифференцируемы: (х+а)е "", если х < О, 1 ахз + Дх + 1, если х > 0; ах+Д, если х<0, х асаях+фяшх, если х > О. 178. Определить значения а и,З, при которых функцин агс13ах, если ~т~ < 1, х — 1 Пязбпх+, если ~х~ > 1, 272 Гл. й. Производная и дифференциал имеет производную: 1) в точке х = 1; 2) в точке х = — 1. 179. Исследовать на дифференцируемость следующие функции: Ц у = ~хз(х+1)з(х+2)(; 2) у = ~в|пх~; 3) у = х~х~; 4) у = ~л — х~ вш х; 5) у = атосов(сов х); (е '7', если х > О; )( хз~ сов(лз'х)(, если х ~ О, О, если х =О; )(х, если х рациональное число, ( О, если х иррациональное число.
180. Вычислить значения производной для функции во нсех точ- ках, где производная существует: )(х-, если х - рациональное число, ( О, если х иррациональное число. х-, если т рациональное число, '( 2~х~ — 1, если х -" иррациональное число. 181. Верно ли утверждение: если функция имеет производную в точке, то она дифференцируема в некоторой окрестности этой точкиГ 182. Доказать или опровергнуть следующие утверждения: 1) если функция 7" имеет, а функцин д не имеет производной в некоторой точке, то функция 1 + д пе имеет производной в этой точке; 2) если функции 1 и д не имеют производной в некоторой точке, то и функция 1'+ д не имеет производной в этой точке; 3) если функция ф имеет, а функция д не имеет производной в некоторой точке, то и функция 1д не имеет производной в этой точке; 4) если функции 7' и д не имеют производной в некоторой точке, то и функция (д не имеет производной в этой точке.
183. Привести пример функции 7'(х) такой, что 2(х) и (7"(х))з дифференцируемы в точке хо, а функция (7(х))2 не имеет производ- ной в точке хо. 184. Привести пример функции, не имеющей производной ни в одной точке т. Е Й, квадрат которой имеет производную в каждой точке х Е Я. 185. Привести пример сложной функции г'(д(х)), имеющей про- изводную в точке хо и такой, что: 1) г'(д(хо)) существует, д'(хо) не существует; 2) 7"'(д(хо)) не существует, д'(хо) существует; 3) 7" (д(хо)) и д'(хо) не существуют. 186. Доказать или опронергнуть следующие утверждения: 4 73. Производная.
Дифференцпал функции 273 1) если для дифференцируемых на интервале (а; Ь) функций 1 и д верно неравенство 7 < д, то (' < д' на (а;6); 2) если на интервале (а;6) верно неравенство (' < д', то 7" < д ца (а; Ь):, 3) если 7(а) = д(а) и 7" (х) < д'(х) на интервале (а: 6), то 1(х) < < д(х) на (а; 6). 187. Доказать или опровергнуть следующие утверждения: 1) для того чтобы дифференцируемая функция у(х), х Е (а; 6), имела монотонную на интервале (а; 6) производную, необходимо, что- бы у(х) была монотонна па (а; 6); 2) для того чтобы дифференцируемая функция д(х), х Е (а; 6), имела монотонную на интервале (а; Ь) производную, достаточно, что- бы у(х) была монотонна на интервале (а; 6); 3) для того чтобы диффсрсццируемая функция имела периодичес- кую производную, необходимо, чтобы функция была периодической; 4) длн зого чзобзы диффоренцируенин функции имела церищичес- кую производную, достаточно, чтобы функция была периодической.
188. Доказать или опровергнуть следующие утверждения: 1) для того чтобы производная дифференцируемой функции была четной функцией, достаточно, чтобы функция была нечетной; 2) для того чтобы производная дифференцируемой функции была четной функцией, необходимо, чтобы функция была нечетной; 3) для того чтобы производная дифференцируемой функции была нечетной функцией, необходимо, чтобы функция была четной; 4) для того чтобы производная дифференцируемой функции была нечетной функцией, достаточно, чтобы функция была четной. 189. Верно ли утверждение: если функция 1 имеет производную в точке хо, то последовательность (гз(7'(хо + 17п) — 7'(хо))) сходит- сяГ Верно ли обратное утверждениеГ 190.
Верны ли следующие утверждения: 1) если функцин д(х) дифференцируема на интервале (а; 6) и 11щ д'(х) = оо, то 1пп у(х) = оо; з ' а-НО е-ле, О 2) если функция у(х) дифференцируема на интервале (а;6) и 1пп у(х) = со, то 1пп у'(х) = оо; з-лаз-О з-зал-О 3) если функция у(х) дифференцируема на интервале (ад+со) и 1ип у(х) существует., то существует и !пп у'(х); з — з -~- сс е — л.~. ~н 4) если функция у(х) дифференцируема на интервале (а:+со) и существует 1пп у'(х), то существует конечный или бесконечный 1цп у(х)Г 191. Найти правую и левую производные в указанных точках для Гл. Ю. Производная и дифференциал ф ункции Д(х), если: 1) /(х) = ~х), х = 0; 2) /(х) = ~хз — 5х+ 6~, х = 2, х = 3; 3) /(х) = ~2* — 2~, х = 1; 4) /(х) = ъ~'вшах, х = й, й Е 2; 5) /(х) = х/в1пх', х = О, х = х/я; 6) /(х) = вш х~ сов х~ + сов х~ вш х~, х = лй/2, й Е л; 7) /(х) = х~ сов(я/х)~, х = 2/(2й+ 1), й 6 7; 8) /(х) = атосов(1/х), х = — 1, х = 1: 9) /(х) = агсвшвш х, х = (2й + 1)х/2, й Е л.
192. Найти /' (0) и Д (0) для функции /(х), если: х, если х <О, хз/хе1пх, если х > 0; 2х, если х<0, ( 1п(1+ КР), если х > 0; 1+с~1», если х < О, ъ'1+ х/хлл, если х > О. 193. Найти правую и левую производные в точках разрыва функ- ции /(х), если; х(1 — хв)Дх~, если х, ф О, 1, если х= О; 2) /(х) = (1 — хз) гййпх; 1 О, если х= О: агсгй ((1+ х)/(1 — х)), если х ф О, я/2, если х = 1; ) агстя (1/х), если х ф: О, — л/2, если х = О. 194. Найти Д (хо) и /' (хо) для функции Д(х) = ~х — херр(х), где ца(х) заданная функция, непрерывная в точке хо. 195.
Привести пример функции, имеющей в точке разрыва бес- конечную отрицательную производную. 196. Привести пример функции, непрерывной в некоторой точке и не имеющей в атой точке ни левой, ни правой производной. 197. Найти производную обратной функции в указанных точках: 1) у = х+ха/5, у = О, д = 6/5; 2) у = 2х — совх/2, 9 = — 1/2; 3) у = 0,1х+ еол', у = 1; 4) у = 2ха — хл, х > 1, у = 0; 5) 2 в 4 198. Найти производную обратной функции. Указать область су- ществовании производной: З13. Производная.
Дифференциал функции 275 1) у = х + 1п х, х > 0; 2) у = х + е*; 3) р = хз,1(1 + хз), х < О; 4) д = с1гх, х > О. 199. Найти производную функции, обратной для гиперболического тангенса. 200. Дана функция у = х + вшх, х Е !7. В каких точках обратная функция имеет бесконечную положительную производнуюГ 201. Найти у,' для функции у = у(х)., заданной параметрически; Ц х=в!и й у=савей 0<1<я12; 2) т, = е ', д = 1в, — оо < ! < -Ьоо; 3) х = асов1, у = 5вш1, О < 1 < тг; 4) х = а сЫ, у = Ьв!т й — оо < 1 < 0; 5) х = 1з + 61+ 5, у = (1з — 54) тг1, О < 1 < +ос; 6) х = (1 — 1)з(1 — 2), у = (1 — 1)з(1 — 3), 5,13 < 1 < +со; 7) х = а(1 — вш1), д = а(1 — сов1), — оо < ! < +оо; 8) х = 1п в!п(ттг2), д = 1п в!пт, 0 < 1 < л.
202. Найти х'„для функции х = х(у), заданной параметрически: Ц 1+2!з+1з 2+31 гз 1 <1<+ 2) х = (рз — 21з+ 31 — 4)е', р = (1з — 217+41 — 4)е', 1 < ! < +со; 3) х = с!8 21, у = (2 сов 21 — 1)гг(2 сов!), О < 1 < ягг2. 203. Для функции р = у(х), заданной параметрически х = 21+ ф, у = 517 + 41~1~, — со < 1 < сю, вычислить производную в точке х = О.
204. Найти у,' для функции р = у(х), заданной параметрически: осли ! " рациональное число, — если 1 -- иррациональное число, 205. Вычислить р'(хо) для функции у = д(х), заданной уравне- нием г = г(ф, где т и уз --. полярные координаты точки (х;у): Ц с=асо, 4нгг3<гр< 2я, хо =0; 2) г = ез', — яггб < со < нтгб, хо — — 1; 3) т' = а;lг.ов2р, О < гр < нгг4, хо = азт'6(4. 206.
Для функции у = у(х), заданной уравнением г = акггсоов277, 0 < гр <;т1'4, вычислить р' (О) и у' (а). 207. Найти у' для дифференцируемой функции у = р(х), заданной неявно уравнением: 1) у~+у +р — х=О; 2) у — х=вв!пд, ~в~<1; 3) уз = 2рх, д > О; 4) хз1аз — рз1'Ьз = 1, у > О; 5) (2 , )рз з р < О. 6) г- + ,Р 7) хз1з + уз1з = аз1з г > О; 8) 5хз -!- 9уз — 30х + 18д -!- 9 = О, р < — 1; 9) хз — 4хр + 4уз + 4х — Зу — 7 = 0; х < 2у — 1. згб Гл. Ю. Производная и дифференциал 208.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
