1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 43
Текст из файла (страница 43)
26. Найти асимптоты кривой и построить эту кривую; Ц хг 9 дг/16 1. 2) (у+х+Цг хг+1. 3) 2хг 5тр ц-2уг -ь т ц-д — 3 = 0 4) 4тг ь 9дг хгрг. з+, з 8. 6) г( г+ц г(, г ц. 7) уг(4 — х) = хз (циссоида); 8) 4х"гз — рзгз = 1 9) г„с+ де 4 г. 10) (хг уг)+1 О. 11) (хг — уг)г+ 4хд = 0: 12) (хг + уг)(у — 1) ' — рг = 0 (нонхопда). ОТВЕТЫ 1.1) х=1, х=-1, у=О; 2) х=О, х=-1, х=-2, у=О; 3) х = -2, х = -т/2, х = ъ'2., х = 2, у = 0: 4) у = 0:, 5) у = 1; 6) х = -2, у = 1; 7) у = 0: 8) у = О.
2. 1) т = О, у = х; 2) у = х+ 1; 3) х = О, у = х+ 8; 4) х= — 4, у=т — 4: 5) д= — х — 1, у=х — 1; 6) т=О, у=2т+1; 7) х= — 1, д=х — 2: 8) х= — 2, д=х — 4; 9) х=б, х=25, д=х — 3(а — 5); 10) у=х. 3.1) у= — х, у=х; 2) у= — х — 3/2; у=х+3/2; 3) у=х; 4) у = х + 1/3; 5) х = 2, у = — х — 1, у = т + 1; 6) х= — 4, у=х — 2; 7) д=х; 8) у= — 2х,д=О; 9) у = — х, у = Зх. 4. 1) х = О, у = 1; 2) у = 0; 3) д = 1: 4) х = О, у = 0;. 5) у = 0; 6) х = О, у = 1 — х; 7) р = 1 — х, у = 3 — х; 8) х = О, у = 3 + х: 9) х = О, д = х; 10) у = 1; 11) х = О, р = — х — 1, у = х + 1. 5.1) у=е; 2) у=х/е — 1/(2е); 3) у= — 1, у=1; 4) х = О, д = -1, у = 1; 5) д = 1: 6) д = -х, д = х; 7) т = О, д = 2х — 1, у = 2х + 1; 8) у = — х, у = х. 6.1) х= — 2, х=2; 2) х=1/2, х=1; 3) х=гги/2, аЕЕ; 4) х=О, у=х; 5) у=О; у=х; 6) х= — 1/е., у=х18е+(18е)/е.
4! д Асимнтотьг и графики функций 7.Ц х=гЗп+2)л/3, пй7; 2) х=~т/2, пЕЕ; 3) х=О, д=О; 4) у = х; 5) у = 1; 6) у = 3; 7) у = я., у = 0; 8) д = 0; 9) у = 0; 10) д = (х + и)/2; 1Ц у = (4х + т)/2, д = (4х — ~т)/2; 12) у = их+ 1, у = 1; 13) у = — гкх+ 2)/2, у = (кх — 2)/2; 14) х=О, у=2/я. 8.Ц д= — 1, у=х — 1; 2) у=х/2; 3) у=(1 — х)/2; 4) х= — 1, х=1; 5) х= — 1, х=1, у=О; 6) д = (2х+ к)/4, у = (2х — и)/4. 10. Не может. 11. Ц Область определения 0 < х < 1: у хзгз при х — > +О, у 1/./1 — х при х — ~ 1 — 0; х = 1 — асимптота; 2) область определения ~х~ < 2: начало координат -- центр симметрии графика, у 2х при х — > О, д 4~~2 — х при т, -+ 2 — 0; максимум у = у(т/2) = 2; 3) область определения ~х~ < 1; ось ординат ось симметрии г рафика, у х при х — > +О, у т/2~ГТ вЂ” х црн х — ~ 1 — 0; максимум у = д(1/т/2) = 1/2; 4) область определения ф < 3; ось ординат ось симметрии графика, у т/Зх при х — ++О, д т/54 КЗ вЂ” х при х — ~3 — 0: максимум у = угЗ/т/2) = 3/ъ'2; 5) ось ординат ось симметрии графика, у - хауз при х — ~ 0; д = 1 асимптота при х — > хоо; 6) ось ординат ось симметрии графика, у х/т/3 при х — >+О; у = 1 асимптота при х — > хоо; 7) область определения ~х~ > 1; начало координат — центр симметрии графика, у — 1/(т/2~(х — Ц при х — ь 1+ 0; х = 1, х = — 1, д = 1., у = — 1 - - асимптоты графика; 8) область определения т.
< О, х > 1, у - 1/т/ — х при х — > — О, у т/х — 1 при х — ~ 1+0; х = 0 и у = 1 асимптоты; 9) область определения х > 0; д — 4„~х при х — ~ +О, д - хзгз при х — ь+оо, у 2(х — 4) при х — ~ — 4; минимум у = — 16ДЗт/3) при х = 4/3 (для исследования можно сделать замену х = (16/3) созз1, 0 (1 < я/2). 15. Ц у(х); 2) /(х); 3) д(х); 4) /(х) и у(х).
16. Ц Сверху при х — ~ +со, снизу при х ь — со; 2) сверху и при х — ~ +со и при х — > — со; 3) сверху при х — з +ос, снизу при х — ь — со; 4) сверху и при х — > +со и при х — ~ — со; 5) сверху при х ь +ос, снизу при х — ~ — оо; 6) снизу при х — ~ +ос, сверху при х — г — оо. 17. Ц Асимптоты х = х1/2, у = 1; область определения х 7'= ф х1/2; ось симметрии.
-. ось ординат; функция возрастает на ~0; 1/2) и (1/2;+ос); у 4хз+2 при х — >О, у 1/(2(1 — 2х)) при х — ~1/2: Гл.2. Предел и непрерывность функции 2) асимптоты х = О, х = 2, д = 0; область определения х ~ О, х ~ 2; [1; 0) центр симметрии, функция убывает на [1; 2), [2;+со); д-1 — х при х+ 1, д-1/(2[х — 2)) при х — > — 2, д 1,12х при х — >0; 3) асимптоты х = 1, д = — 1; область определения х ф 1: функция возрастает на [ — сю; 1) и [1;+ж); д хз при х — ~ О, д 1,1[3[1 — х)) при х+1; 4) асимптоты х = 1, д = [х — 5)/4; область определения х ~ 1; [1: — 1) — центр симметрии; функция убывает на [1; 3), возрастает на [3;+ос); д 1Дх — 1) при х -+ 1, у [х — 3)з,18 при х — > 3, д — 2 — [х+ 1)з/8 при х — ~ — 1; 5) асимптота д = х; [О; 0) - - центр симметрии; функция возрастает на й, д хз при х — ~ 0: 6) асимптоты х = 2, д = 1: область определения х д': 2: функция убывает на [ — оо; — 2) и [ — 2;+ос); д — ~ух/2 при х — > О, д - ЙТ(* — П 'ь" ь 7) асимптота д = х; ось симметрии прямая д = х; функция убывает на Н: д - 1 — хз,13 при х -+ О, д - фЗ(1 — т) при х — ь — 1; 8) асимптоты х = 1, х = — 1; д = х при х — ь +ос и д = — х при х — ~ — оо; область определения х ф х1; ось симметрии - - ось ординат; функция возрастает на [О; 1) и [ъ'2:, +ос), убывает на [1; ьГ2]; д хз при х + О, д 1/ „~2[х — Ц при х -+ 1, д 2+ 2[х —;Г2)з при х — > ту2; 9) асимптоты д = 1 — 2х при х — ~ +ос и д = 1+ 2х при х — > — оо: ось симметрии - — ось ординат; функция убывает на [О; +со); д — 2х' при х — ьО; 10) асимптоты д = х при х — > +со и д = — х — 4 при х -+ — со; ось симметрии прямая х = — 2; функция возрастает на [ — 2:+со); д — 1+ [х + 2)з/2 при х + — 2: 11) асимптота д = х — 1/3; функция возрастает на [ — со;0) и [2/3;+ос), убывает на [О;2/3); д — хз1з при х -~ О, д фх — 1 при х -~ 1, д — ъГ4/3 — Зъ'4[х — 2/3)з~'4 при х -~ 2/3.
18. 1) Асимптоты х = — 3, д = 1; область определения х ф — 3: функции убывает на [ — оо; — 3) и [ — 3;+ос); 2) асимптоты х = — 2 и х = 2; область определения [х[ < '2; ось симметрии ось ординат; функция убывает на [О; 2), д 1п4 — х-"/4 при х — ьО; 3) асимптоты х = О, д = О, д = 1; функция убывает на [ — со: 0) и [О;+со); 4) асимптоты х = 3 — ь/3, х = 3+ ъ~З., д =0; область определения [х — 3[ > у'2., х ~ 3 х т/3; ось симметрии прямая х = 3; функция убывает на [3+ ьГ2; 3+ у'3) и на [3+ ьГЗ;+ос); 5) асимптоты д = 0 при х -ь — ж, д = х+!п2 при х — ~ +со; функция возрастает па Й; 6) асимптоты х = я(1+ 2п)(2, п Е л; функция периодична с пе- у11.
Асимитоты и графики функций риодом 2л; функция определена на ( — и/2+ 2лгггз/2+ 2пп), п Е Е; ось симметрии ось ординат, функция убывает на [О;з/2): 7) асимптоты х = О, д = 1п[л/2); область определения х > 0; фу нкция возрастает на [О:+со); 8) асимптоты т, = лпн и Е к; функция периодична с периодом 2ац область опРеделениЯ х ~ иии и Е Е; оси симметРии пРЯ- мыс х = тг[1+ 2п)/2, п Е Е; функция убывает на [ — л/2; О) и [О, л/2). 19.
Асимптота у = х; область определения х ф 0; 2) асимптота у = х; область определения х ф 0; центр симметрии начало координат; 3) асимптота д = 2х + 4; область определения х ф 0; 4) асимптогы у = [2х — л)/2 при х — « — оо, у = (2х+ и)/2 при х — «+сю; функция возрастает на й; у 2х при х — «О; 5) асимптоты у = .гх+ л+ 1 при х — « — оо, д = 1 при х — «+со; 6) асимптота у = [лх — 2)/2 при х — « — со и х — «+со; область определения [х[ > 1; 7) асимптоты у = [6х — л)/2 при х — « — оо, у = [Ох+ и)/2 при х — «+сю; центр симметрии — - начало координат, функция возрастает на Й: 8) асимптота д = — х; область определения х ф О, центр симметрии начало координат, функция убывает на (О;+со), у [и — 4х)/2 при х — «+О; 9) асимптота у = х при х « — со и х — «+со; область определения х ~ О, центр симметрии начало координат: функция возрастает на [ — оо;0) и (О;+со): д 0,5ггхзя8пх при х — «О.
20. Ц Асимптота у = 0; область определения х < О, х > 1; 2) асимптоты у = О, х = 1; область определения х ф О, х ф 1: д 1/(х — Ц при х — «О; 3) асимптота у = х; 4) асимптота д = 0; ось симметрии —. ось ординат. 21. Ц у = — х — а: 2) х = 2, у = 3(2х+ 3),140, у = — (2х+ Ц/8; 3) д = — а, д = х+ а/3; 4) у = х — 2; 5) у = — х+ а; 6) нет асимптот; 7) д = х+ бл при х — « — оо, у = х при х — «+оо; 8) нет асимптот, 9) х = 0 при у — « — оо, у = 0 при х — «+сю; 10) у = х+1 при х — «+ос; 1Ц у = [х+2е)/2, при х — «+ею; 12) д = 2х при х — «+со. 22.
Ц х = — 1, д = 0: 2) у = — (х+ Ц/2, у = [х — Ц/2; 3) у = — бх/а, д = Ьх/а при х — «+ж; 4) т, = — з/2, х = т/2; 5) х= — 1, т=1, д=х/2, у= — х/2; 6) х=О, х=112; 7) х=1; 8) х= — 1/2, у=О, у=[2х — 3)/4. 23. Ц гр = гг1г/4 [й = О, 1, 2, 4, 5, 6); 2) гр = гг/4 (й = 0,1,2,3,4,5,6,7); 3) т = 2а/совнг; 4) т = — 1/[т/2яш(у« — л/4)), т = 1/[т/2(ягг[гр — Зл/4)): Гл, рв Предел и непрерывность фуннкии 246 5) г = 3/(ь/2яп(у+ я/4)): 6) г = — 1/(4ьго5вш(у — уо))., где уо = агсо8(1/2).
24. 1) г = я/яп(у — я/4); 2) у = 0; 3) г = 1/яп(у — 1); 4) г = 1/япу; 5) г = 2/сову, г = — 2/сову; 6) г— 7 —— ',/е — 1 вгп(у — атосов(1/в)) ь/вв — 1 вш(у Ч- агссов(1/в)) 7) см. 6); 8) г = 2/сову, г = — 2/сову; 9) г = 1/ вшу, г = — 1/яп у, г = 1/ сову, г = — 1/сову; 10) г=, г=, г=— 3вш(н/6 — у) ' 3вш(у ч- н/6) ' 3 сову ' 11) у = (я+2~ту)/6, 1 = 0,1,2,3,4,5; 12) г = и1Ь1/яп(у — Ц: 13) г = 2г1/сову; 14) г = 2а/сову; 15) г = — а/сову; 16) у = (я+ 2яп)/4 (п = О, 1, 2, 3); 17) г = ъ~2/ вш (у — г/4), г = — ъ'2/ яп (у — я/4):, 18) у = (гг + 2яа)/4 (и = О, 1, 2, 3).
25.1) у=О, х=О, 2) у=О, х=О; 3) у= — 1, у=1, х,=1, х=2; 4) у = О, х = О, у = -х; 5) у = х+ 2; 6) х = а; 7) у = х/ь/3, у = — х/ь/3, х = 0; 8) у = х, у = — х; 9) у=х, д= — х; 10) у=О, х=О, д=х; 11) у= — 1, х='2, у= — х — 1; 12) х=1, х= — 1, д=т,, у= — х; 13) у=х: 14) у=х — 1, д= — т — 1: 15) у = х/тГ2+1/8, .у = — х/ъ 2+1/8; 16) у = х/ь/3 — 2а/(Зь/3), у = — х/т/3+ 2а/(3 / 3), х = — а/3; 17) у=1, х=1, у=х. 26. Ц у = 4х/3, у = — 4х/3; 2) у = — 1, у = — 2х — 1: 3) у = 2х — 1, у = х/2+ 1; 4) х = 3, х = — 3, у = 2, у = — 2; 5) у= — х; 6) у=х, у= — х; 7) х=4; 8) д=2~2х, д= — 2~2х; 9) у=2, у= — 2; 10) х=О, у=О, у=х, д= — х; 11) у = — х+ 1, у = — х — 1; 12) д = 1. З 12. Равномерная непрерывность функции СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1) Функцию / называют равномерно непрерывной на множестве Х С Р(/), если для любого е > 0 существует такое б > О, что для любых х', хи Е Х, удовлетворяющих условию ~х' — хи~ < б, верно нсравснство )/(х ) — /(х )~ < щ короче, 'й > 0 Вб > 0 Чх' Е Х нхп е Х ()х' — хи) < б ~ )/(х') — /(хп)! < 6).
г12. Равномерная непрерывность функции 267 2) Отрицание определения равномерной непрерывности функции 1 на множестве Х выглядит так: Вг > 0 Чд > 0 Вх' Е Х Вхв Е Х ((х' — хв! < б =л ( ((х') — Д(хв)! > г). 3) Теорема. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна. Например, любой многочлен непрерывен ца произвольно взятом отрезке и, следовательно, равномерно непрерывен на этом отрезке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
