1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. точки кривой находятсн над асимптотой. Коли,р -+ Злг«4+ О, то !»7 о ! = 7'(»Р) в111 (»Р — — ) 3 3/ = — ('1- 1< (1 1= и/2 1 1 — сов 77 Яи З«) и/2 1 3/ «/2 позтому !»»»Я! < !РтЯ! и здесь точки кривой расположены над асимптотой. Из проведенных вычислений следует, что 3 ( 2 Я» 2 — яг»2»а)' и видно, что !РЛХ~ строго убывает при возрастании иа от я»72 до — я»74.
Аналогично устанавливаем, что !ХХА»~ (см. рис. 11.14) строго Гл.2. Предел и непрерывность функции 236 убывает при убывании ср от х до Зх/4. Это и показано схематично на рис. 11.14. Кривая проходит дважды через центр О, так как г = О при со = — х/2 и со = л 1т. е. О точка самопересечения кривой).
Исследуем вид кривой вблизи точки О. Бели ус -ь — и/2, то сов:р = вш ( — + ~р) - — +;р, вш уо — — 1; 12 ) 2 поэтому сов' со+ яп уо — 1 и в 3, грр) ~ = 3( — + р). Переходя к декартовым координатам, получаем т = г(ус) сов цо 3~ — + ус), у = г1ср) яп цо — 3 ~ — + цс), откуда т 11з/3, т. е. при д -Ь -х/2 кривая "сливается" с параболой х = уа/3 1рис.
11.15). Аналогично, при со — > л имеем яву = яп1и — цо) з — цс, сову — 1, япз~р+ сов' р- — 1, .г(~р) - 3(л — ц), откуда я — 3(л — ьо), у - 31п — Ф - л /3 т. е. график данной функции г = г1у) "схож" с параболой р = ха/3 Рис. 11.16 Рис, 11.15 (см. рис. 11.15). Точно так же найдем, что у лз/3 при ~р — ь О и я уз/3 при у1 -+ л/2. Оставшуюся часть графика (д Е [О; л/2)) строим по точкам (рис. 11.16). Отметим, что эта часть, как и весь график, симметрична относительно прямой цо = л/4, так как г/л/2 — со) = = г(р), что равносильно равенству г1х/4+ сс) = г1л/4 — а). Более обоснованное построение "петли" ОАВА'О будет проведено далее с использованием понятия производной.
Построенная кривая называется декартовым листоле, упомина- О11. Асимитоты и графики функций 237 ние о ней впервые встречается в письмах Р. Декарта. В декартовых координатах эта кривая, как легко проверить, задается уравнением ха+уз =Зхд. а П р и м е р 6. Найти асимптоты кривой хг — Зхуг=Л(хе+да), Л)О, хфО. л Коэффициент при старшей степени д (т. е.
при у~) равен Зх+ +В. Следовательно, вертикальной асимптотой может быть только прямая х = — В,гЗ. Длн нахождения наклонных асимптот подставим в данное уравнение у = Йх + Ь, получим (ЗЬэ — 1)ха + (6ЬЬ+ ВЬг+ Л)х + (ЗЬ~ + 2ВИЬ)х+ ВЬ = О и, приравняв нулю коэффициенты при старших степенях х (т, е. при хз и хэ), придем к системе з ЗЬэ 1= О, 6ЬЬ+ Вда + Л = О. Эта система имеет два решения: Ь=х —, Ь=х 3 ЗнгЗ Значит, только прямые а 2В а 2В ГЗ 3 Гз ' /З ЗигЗ могут быть наклонными асимптотами данной кривой. Все три найденные прямые действительно являются асимптотами данной кривой.
В этом легко убедиться, например, перейдя к полярным координатам, тогда уравнение данной кривой примет вид 7 = Л/созЗиг. Можно воспользоваться и заданием этой кривой с помощью параметра 1 = у/х. Подставлян у = 1х в уравнение кривой, найдем, что 1+1 1(1 ж1 ) 1 — 317 ' ' 1 — 31г Эти функции задают исходнуго кривую. Рассмотренную кривую называют трисектрисой Лоншама. Она может быть использована для деления угла на три равные части. а здддчи Найти асимптоты графика функции д = д(х) (1 — 7). 1.
1) у=,, 2) у= — — — + —:, 3) у= ,г 1 — хг' ' х а~1 хж2' бхг — 8 — х'' 1) х ) х +2х+1 6) х — 2 1-~-хг' хгж1 ' Ч хж2' 288 Гл.2. Предел и непрерывность фдннлии 7) у = з/х + 1 — з/х — Т. 8) д = (2 — х)з78 — (2 + х)з~з 2. 1) д = х+ —,; 2) д = х+,; 3) у = е 2 ' ' 1 х-Ь2 ' хз — ЗЬх-Ь26з ' хз-Ь 1 ь. 1) у= — 4; 2) р= 'Рьь — 1; 3) у= 'Р— ь з 4) р = т/хз + хз; 5) р = ~/ ', ; 6) д = х / 7) д = т/хл + хз т/хз хз. 8) д = з/хь- — 1 — *. 9) д = х + з/4хз + 1 4.1) д=е з1 2) д — 01'.
3) р — 2 з7*' 4) д=2/х; 5) д=х'е'; 6) р=с'7* — х; 7) у=1 — хе-'~~*~-'7*; 8) д = 1+хез~л; 9) у = х2з~е; 10) у = ~еи — Ц; 11) д = ~х+ 2~с 5. 1) д = (1+1/х)л; 2) р = х(1 — 1/х)', 3) д = 1Ьх; 4) д = сГЬх, 5) д = 1Ьзх; 6) д = х1Ьх; 7) д = 2х+ сГЬх; 1 — е 8) д=х 6. 1) Р = 1о8 (4 — хз); 2) д = 1ойо з(2хз — Зх+ 1); 3) д = 188ш2х; 1п х г 11 4) д = х + —, :5) д = 1п(1 + е*); 6) д = х 18 ( е + — ) . 7.
1) д =; 2) д = созес2х; 3) д = соз(х — и/6) ' ' ' х сйп х 1 2 4) д = х+; 5) д = х 8|и —: 6) д = 2+ соз —; 2т. х' х' 1 . 1 7) р = агсс18 х; 8) д = агс18 —; 9) д = агсгбп —,; х 1 х 10) д = — + агссоз: 11) д = 2т, — агс18 —; 2 х+1 2' 1 12) д = х агсс18 х; 13) д = х агс18 х; 14) д = агссье (1/х) 8.
Найти асимптоты функции, обратной к функции /, если: 1) /(х) =, х > -1; 2) /(х) = 3) /(х) = 1 — 2 3х~ + 3х; 4) /(х) = 1Ь х; 5) /(х) = сгЬ х", 6) /(х) = 2х+ агсзбх. 9. 1) Функция / определена на интервале (о;+со). Доказать, что для того, чтобы прямая д = йх+ Ь была асимптотой графика функ- 911. Асиыптоты и графики функций 239 ции 7' при х — > +со, необходимо и достаточно, чтобы расстояние р(х) от точки (х; 7(х)) до этой прямой стремилось к нулю при х -+ +оо. 2) Доказать, что в случае вертикальной асимптоты необходимость предыдущего утверждения верна, а достаточность ценсрна.
10. Может ли график функции иметь две разные асимптоты при х -+ +ооГ 11. Используя метод выделения главной части, построить график функции у = у(х), если: гуг 1) у =; 2) у = х~/4 — х-', 3) у = чухи — х4, 4) „= Яхз: х4, 5) „= ~( 1 Ч- хг 3 -~- хг 7) у =, 8) у =, 1 — —; 9) у = хзгз — 4х'гз. ,/х'-': 1 ' ч х' 12. Функция 7 определена в окрестности точки хо и 7"(х) = а(х — хо) Ч- о((х — хо)), а ~ О.
Доказать, что: и,гну=,иы-*.~+ы,т*:м~ ... ы*-.г г г,, . фу й гли ил* —,) ' б 2) если о > О, то (1"(х))' = (а(х — хо))а + о(~х — хо~') при а(х — хо) > О, т. е. графики функций ®х)) и (а(х — хо))' "сближаются" при х — ч хо. 13. 1) Функция 7" определена в окрестности точки хе и 1(х) = а(х — хо) + о((х — хе)~), а ф О. Доказать, что 1 1 + о(1), ~(х) а(х — хг) 1 1 т.
е. графики функций и "сближаются" при х -+ хо. 7(х) а(х — хг1 2) Проверить, что функция 7" (х) = х + хз7з удовлетворяет ус- ловию 7(х) = х+о(х) при х — ч О, но равенство 1 1 = — + о(1) при х -+ О неверно. 14. Доказать, что расстояние между точками (х; Ях)) и (х; 79(х)) гРафиков фУнкций (~ и 79 стРемитсн к нУлю, если; и и(*) =,* х* +ч ~., ЬЫ) =*гн, * 2) ~г(х) = сЬх, 7з(х) = е*/2, х — ч +ос; Гл. 2. Предел и непрерывность франции 240 3) 7д(х) = а!гх, 7г(х) = — е '/2, х †> — со; 4) (с(х) = с!8х, 7г(х) = 1/х, х -+ О: 5) (г(х) = ., Ях) = , х — э 1 + О. ъ'хг — 1 тГс2(х — Ц 15.
Выяснить, какие из функций 1, д имеют асимптоту при х — г -+ +ос, если: 1) 7'(х) = х + тгх, д(х) = х +, Г * 2) Д(х) = 1п (е' . хгсйл), д(х) = !и 3) Д ) = '*'""""' ( ) = '*'"'""* !их+1 ' !ах+1 4) Д(х) = ьзсхз + х'-', д(х) = ъ хл + Ьх. 16. Установить, фушоции у = у(х) к если: г ! 5) у= сверху или снизу приближаются точки графика наклонной асимптоте при х -г+оо и при х -+ — со, 2) у = и ; 3) у = ' „; 4) у = (х -!- 2)г ' !х + Ц ' хе -!- 2 гйп х хг -!-1 7) у = ъ'Т вЂ” хз; 8) д = '; 9) у = 1 — тсс4хг+1; ,,/Гх-' - Ц ' 1о) = с* Ст*ер — 2, '11) д = ' Р— * 2) у =!п(4 — хг); 3) у = 5) у = 1п(1+ 2е'); 6) у = 1псоех; гдеисе ,г 1, г. 2 2) у = х' сйп —; 3) д = (х+ Цг з!и —; х' х' 1 5) д = (х+ 1) агсс!8х; 6) у = хагссоа —; 1) д егцз-ь,! 4) у=!08 г е ег2; 7) у = 1п агс18 х; 8) 19.
1) у=х+ 4) У = х+ агсгйх; 1 х; 9) у = хг агс18 Е(хе) У= 7) У = Зх+ асс!о 5х 8) д = агс18 —— 1 ц х — Е(х) Е(х) сйи х хг — х Найти асимптоты графика функции и построить этот график (17 — 20). В11. Асигзптонзы и графики функций япх Е(х7н) + 0,5 21. Найти асимптоты кривой: Заз Загз С вЂ” 8 3 1)х=,у=„,а>0;2)х=„,у= 1 ЬСз! 1 сС ' ' Сз 4' С(Сз 4)' аг аС' Сз Сз 2Сз 3) х = ' ,, у = ,, а > 0; 4) х = , , у = 5) х =, у =, а > 0; 6) х = Сз + ЗС+ 1, у = Сз — ЗС+ 1; 1 А- С' ' 1 А- С' ' 7) х = Сз — Зп, у = Св — агсС81; 8) х = С+вин, у = С+совС; 9) х = Се.'.
у = Се ', 10) х = С1пС, у = 11п(1+1); 11) х =, у =; 12) х = С + е ', у = 21 + е '. С вЂ” 1' С вЂ” 1' 22. Найти асимптоты кривой и построить эту кривую: 1)х — —,у — —; 2)х — „,у— 1 С 2С С С' ' С-!-1' 1 — Сз' 1 — Сз' 3) х = ас(СС, у = ЬвЬС; 4) х = 2совС, у = С82С; 1 1 7) х=,, у=,; 8) г,=, у= 2тС Сз С С 1-тзз' 1-ЬСз С вЂ” 1' Сз — 1 23.
Найти асимптоты графика функции, заданной в полярных координатах: 1) г = с ; 2) т = з — ; 3) т = 24 4 2аяп яп2у(1 — в!и 2у) ' (с' яп4у' сов у 4сов <ряпу ( ф д ) 5) Зсовзу сов 2У ' совз !р+ в!из у ' 6) взз! У сов! у(сов <р — 2 яп у) 24. Найти асимптоты графика функции и построить этот график в полярных координатах: 1) т = ; 2) г = „ с' †" (зкегл); 3) у = , .т > 1; у — к/4 ' 7' — 1 4) у=,, т>0; 5) ! =218у; тз -ь 1 ' 6) г= Р, р>0, е>1; 7) г= — Р, р>0, е>1; 1 — в сову ' 1 -!- е сов у ' 8) т=2~1 — 18у~; 9) г=; 10) г=, а>0; )яп2у(' совЗу' 11) г=, а>0; 12) г=а, а>0; а СЬу ~/соов 3<р у — 1' 13) г = 2ЛС8!ряп!р, Л > 0 (циссоида); 14) г = ха18у, а > 0 (строфоида), 15) г = а ' а сов 2у сов у сову ' Гл.
2. Предел и непрерывность функции 16) т з 2 сов ьо 17) т ь/2зйь2~ 18) с ь82Я '1( сонг 2со' (сов2ьг~ ' Ч 2 25. Найти асимптоты кривой, заданной уравнением: 1) хгуг + — 2у = 0; 2) хгуг + у = 1; 3) (х — 1)(х — 2)уг = х-'; 4) хгу + хрг = 1; 5) уз — хз = 6х-'; 6) уг(а — х) = хг(а + х). а > 0: 7) хз — Зху' = 2; 8) (х' — Цз — х'у' = 0; 9) хл — ул = т' — 2уг 10) ху(х — д) + х+ у = 0; 11) ху(х+ д) + хг = 2уг; 12) (хг — 1)дг = хг(хг — 4). 13) дз — хе+у — 2х = 0: 14) х4 у4 4хгу' 15) х4 2хгуг ц- дз = О; 16) (х+ -) (уг — — ) + — ахг = О, а > 0; 17) х" = д*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
