1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 37
Текст из файла (страница 37)
20Я Гл. 2. Предел и непрерывность функции Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва 157-59). 57. 1) у = '; 2) у =,,; 3) у = хз-ьх — б' хз Зхг 4х ' ) 1 ж т, 1/х — 1/(х+ Ц, 2х — 1 4 у= ",; 5) у= 1 ж хз ' 1/(х — Ц вЂ” 1/х ' 2хз -~- Зх — 2 ' 6) у= 7) у= .г 58.
1) у =; 2) у =1я1пх)яп —; 3) у = соя х х' яп 2х соя(згх/2), яа Зх 5) у= хз — сз ' яп 2х 59. 1) у =; 2) у = —; 3) у =!81хз + Зх); 2 1 йх 4) у = 18(х — 1)г' 5) у = 2|ге. 7) у = Ззгсг * ~г; 8) у = е |Д ~; 9) у = 1п1п11+ хг). 60. Найти точки разрыва функции, установить их род, найти скачки в точках разрыва 1-го рода: 1) у = я|ха(хз — 2х — 3); 2) у = я|бп соях; 3) у = 1 — 1)в('~; 4) у = ( — 1)всг|лг; 5) у = агся1п11/х); 6) у = агс18|1/х); ( 11 х+1 1+2|д* — и' ' ' Згг' — 2|г ' ' ' г, 1 — х 61. Доказать, что функция непрерывна в каждой точке своей об- ласти определения; г) з= '"( -~з( и-гз: з) з= М'-г"з г""', 3) у= х зг — сони(х Сб агсяп )х( 62. Найти значение аг при котором функции зд(х) будет непре- рывна, если; хфО, пбЯ, ( 11-Ь х)" — 1 1 у= х а, х=О; ) хсгх2х, х ф О, (х! < гг/2, )а, х=О; (л + 2х) 18 т,, — л < х < л/2, х ф — л/2, а, х = — зг/2; ) 1агся1пх) ссхх., х ф О, ) а, х=О, 410.
Непрерв(внести функции 209 63. Выяснить, можно ли доопределить функцию в точке разры- ва хо так, чтобы она стала непрерывной в этой точке, если: 1 1 зс((с — ) 1) у= — + —, хо=О; 2) у=2 ', хо=1; х )х( 3) у= — е '1' с хо=0; 4) у=,*, хо=1; х 0 5) у = 2 н01е1, хо = О. 64. Исследовать на непрерывность и построить график функции 1, если: ,еп 1 1) 1(х) = 1пп ',„; 2) 1(х) = 1пп 3) ((х) = 1пп соа" х; 4) (с(х) = 1пп 5) ((х) = 1ш); 6) ((х) = 1)п) и — )ее г)е + П п — )сс 1+ хев' 7) г"(х) = 11п) ь)г1+хзп 8) г(х) = 1ш) (хагс18(пс18х)); и — ) се в — )се 9) ("(х) = 1пп,; 10) ('(х) = 1пп (1+х)18х1.
1п(1-)- е* ) ( — )-вес 1п(1+ е ) ( — )-(-сс 65. В каких точках непрерывна функция хз — 1, х иррациональное число, О, х - рациональное числоГ у х 66. Пусть ,( О, х --- иррациональное число, <1)((ь х=р(д, реЕ, (1ЕЙ, где р,((1 - несократимая дробь (эту функцию называют функцией Ри.нана) . Доказать, что: 1) эта функция непрерывна в кая(дой иррациональной точке; 2) каждая рациональная точка является для данной функции точ- кой разрыва 1-го рода.
67. Исследовать на непрерывность функцию .„,х) Г й, х . — иррациональное число, ) (1х((0+1), х=р7(1, рбмк, цб Я(, ( с* — 1 5) у=~ х а, х=О, х О, 7) у=~ а, х=О:, 1а, х= О; 6) у = 1п(1ч~йх)' х~ О, с>0; а, х= О; /х1пхз, хфО, 1а, х=О; 1 (1+х)(1ес х ф О, Хж 2. Предел и непрерывность функции где рХд несократимая дробь.
68. Исследовать на непрерывность композиции Х о д н д оХ, если / х, х рациональное число, ] 2 — х, х иррациональное число. 69. Функция Х' возрастает на отрезке [о,;6] и разрывна в точ- ке хо Е [о;6]. Функция д(х) монотонна на отрезке [Х(о);Х(6)]. 1) Привести пример таких фуцкпии Х и д, что д(Х(х)) непрерыв- на в хо. 2) Доказать, что если д(х) строго монотонна в окрестности точ- ки Х'(хо), то д(Х(х)) разрывна в точке хо. 70. Функция Х непрерывна на отрезке [а;Ь]. Доказать, что: 1) шд ф = 1пХ Х; 2) зцрХ = зцрХ.
(а;6) ~а;61 (а;Ь) ~а;Ь) 71. Функция Х' непрерывна на отрезке [а; 6]. Доказать, что функ- ции ш(х) и ЛХ(х) непрерывны на [о: Ь], если: 1) т(х) = ппп Х; 2) ЛХ(т) = шах Х. (а;х) ~а;х) 72. Функция Х' непрерывна на промежутке [а; 6). Доказать, что функции т(х) и ЛХ(х) непрерывны на (а,6), если; 1) т(х) = шХ Х; 2) ЛХ(х) = зпр хх. (:1 73.
Функции Х определена и ограниченна на отрезке [а; Ь]. Дока- зать, что функции т(х) = шХ Х и М(т) = ацр Х ~а;х) ~аах) непрерывны слева в каждой точке х е (о, Ь]. 74. Пусть Х и д непрерывные на Х функции. Доказать, что функции ЛХ(х) и ьп(х) также непрерывны на Х, если; 1) М(х) = шах(Х(х),д(х)); 2) т(х) = пип(Х(х),д(х)).
75. 1) Пусть Х непрерывная на Х функция, о, Ь Е й, а < Ь. Доказать, что функция Х(х), если а < Х(х) < Ь, Х(а; Ь,х) = о, если Х(х) < а, Ь, если Х(х) > Ь, также непрерывна на Х. 2) Пусть функция Х определена на Я. Доказать, что для того, что- бы Х была непрерывна на Я, необходимо и достаточно, чтобы для лю- бого а > 0 функция Х( — а; а; х), определенная в 1), была непрерывна на Й. 76. Функция Х непрерывна на [а;+со), и существует конечный 1пп Х(х).
Доказать, что Х ограниченна на [о,+со). у 10. Непрерывность функчии 77. Функция Г" непрорывна на интервале (а; 6) (конечном или бесконечном), и существуют конечные 1пп Дх) и 1пп Дх). Докае ыав-О с — ьв — О зать, что функция 1' ограниченна на (а;6). 78. 1) Доказать, что функция (х+ 1)2 ОД*~+ьс*~, х ~ О, [х[ ( 2, О, х = О,. принимает все значения между Г"( — 2) и Г"(2), но разрывна. Построить график этой функции.
2) Доказать, что функция / з1п(1/х), .х ~ О, [ — 1, х=О, принимает на любом отрезке [О; о[ нсе промежуточные значения между )(О) и т(а), но не является непрерывной на [О:,а). 79. Функция г' определена па отрезке [а; 6) и обладает следующим свойством: для любых хм ха Е [а; 6[ и длн любого числа С, лежащего между 1(х1) и )(хз), существует точка ~ Е (хс,хз) такая, что г"(Д) = С. 1) Указать функцию, обладающую таким свойством, но не являющуюся непрерывной на [пи 6). 2) Доказать, что функция, обладающая указанным свойством, не может иметь точек разрыва 1-го рода.
80. Доказать, что если функция определена и непрерывна на промежутке, то множество ее значений - проме.куток (т, е, отрезок, или интервал, или полуинтервал). 81. Привести пример функции, непрерывной на интервале, множеством значений которой является: 1) отрезок; 2) интервал: 3) полуинтервал. 82. Пусть функция, определенная на отрезке [а;6], непрерывна и обратима. Доказать, что эта функция строго монотонна на [а;6).
83. Доказать, что если функция определена и строго монотонна на промежутке, то ео обратная функция непрерывна. 84. Привести пример функции г", непрерывной в точке хо, имеющей обратную функцию, разрывную в точке до = Г" (хо). 85. Привести пример непрерывной, строго возрастающей функции, обратная к которой разрывна. 88. Доказать, что ограниченная., выпуклая (см.
задачу 237, л 7) на интервале функция непрерывна на этом интервале. 87. Доказать, что данная система уравнений определяет непрерывную функцию у(х) или х(у): Пл. 2. Предел и непрерывность функнии » — 1»-!-1 1)х=, р= 3) х= + =«+ 2) х = — (» — 4)е', у = ьс» е', У(х) = С в любой окрестности 6 имеет бесконечно много решений. 93. Функция 1 непрерывна и ограничена на прон»ежутке (а;. +со). Доказать, что для любого числа Т найдется последовательность (х„) такая, что 1пп х, = +ос и 1пп ()(х„ + Т) — »(х„)) = О.
94. Множество А е»ч называют открытым, если каждая точка из А имеет окрестность, принадлежащую А. Точку хо называют точкой прикосновения множества А, если в любой окрестности хо имеется хотя бы одна точка из А. Множество называют залскнуть м, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения множества,4 называют замыканием .4 и обозначают А. Функция 1 непрерывна на отрезке (а; 6], число С закл»очено между 1(а) и »(6), »(а) ф,»(6). Доказать, что: 88. Привести пример такой системы уравнений х = !р(»), у = ф(»), в которой функции !р и ф необратимы, но которая определяет един- ственную непрерынную функцию у(х).
89. Функция 1 непрерывна на интервале (ад Ь). Доказать, что для любых чисел х! < хз « ... хп из (а; 6) и любых чисел о;>О, ~а,=1, ~.=! и найдется число ~, т! < ~ < х„„ такое, что 1'® = ~ о,д(х!). с=! 90. Функция Г" определена на отрезке [а;Ь]. Длн любого отрез- ка (с,с»], а < с < с» < 6, множество значений »(х), х е (с;с»], явлнется отрезком.
Следует ли отсюда непрерывность функции » на »а;6] Г 91. Функция » непрерывна и ограниченна на интервале (а;+со) и пе имеет предела при х, стремящемся к +ос. Доказать, что найдется число а, для которого уравнение Г(х) = а имеет бесконечно много решений. 92. Функция » непрерывна на интервале (а;Ь), 1 = 1ппг"(х), Х, = = 1!ш»(х), Е >1. Доказать, что для любого числа С, 1< С <1., ураве — еЬ пение у 10. Непрерывность функпии 1) открыто каждое из множеств: а) А = 1х Е (а; 6): 1'[х) < С), .б) В = тх Е [а; б): 1(х) > С); 2) множество 1х й [а; Ь): 1[х) = С) имеет и наибольший, и наименьший элементы.
95. Пусть функция 1 непрерывна на й, А С К(1), 1' ~ [А) = 1х Е й Й[1[х) е А). Доказать, что: 1) если А замкнуто, то и 1" з[А) замкнуто; 2) если А открыто, то и 1 '(А) открыто. 96. Множество В называют плотным е жножестее А, если замыкание В содержит А, т. е. В З А. Пусть функция 1 непрерывна на Х, множество А плотно в Х, 1'[Х) множество всех значений функции 1'[х) при х Е Х, 1"(А) множество всех значений функции при х е А. Доказать, что 1[А) плотно в 1[Х). 97. 1) Существует ли непрерывное отображение: а) отрезка на интервал; б) интервала на отрезокГ 2) Построить взаимно однозначное отображение отрезка на интервал. 98. 1) Доказать, что функция, определенная на Я, не может быть непрерывной во всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных. 2) Существует ли функции, непрерывная во всех рациональных точках отрезка [О; Ц и разрывная во всех его иррациональных точкахГ 99.
Доказать, что уравнение хз — Зхз + бх — 1 имеет единственный корень; найти этот корень с точностью до 0,1. 100. Доказать, что уравнение х' + Зхз — х — 2 = О имеет два [и не более) действительных корня. 101. Доказать, что уравнение и аух лез+с= О, у=о где ау > О [1 = 0,1,...,и — 1), ае > О, имеет лишь один действительный корень. 102.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
