1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 34
Текст из файла (страница 34)
47.Ц а>0, гд любое, а<0, /5<0, а>8; 2) а>/5; 3) а>0, гЗ любое,а<0, /5<0, а>55; 4) а+,9>0. 48. Ц Зхл; 2) хз; 3) — х"/2; 4) — Зхз; 5) хз/6; 6) 1п2. х-'. 49. Ц хз/2: 2) х"; 3) 2хггз 4) — 4хз: 5) х ь 6) Зх з/2. 50. Ц а); 2) б); 3) а): 4) б). 52. Ц хз и лх з/2; 2) 2хе/3 и 2хзгз; 3) х '/х и — 2х; 4) яш1. х 'ге и х 'гз.
53. Ц, 2), 3), 5), 6). 57. Ца) а=1, 8=1/8, б) а=т/2, г5=1/2; 2) а=1/2, г5=2; 3) а=9/4,,г5=4; 4) а=7, Д=2; 5) а=1/8, /5= — 4; 6) а=1, /5= — 1. 58. Ц вЂ” 1/4; 2) — 1/2; 3) — 4; 4) 12. 60. О. 61. Нс следует. Рассмотреть при 1 — ьО функцию Д(д(1)), где )( 1/д при х = р/д, ( 0 при х иррациональном, где р и д взаимно простые числа, 1 1 при х ф 0 (О при х=О. 63. Ц е и е г; 2) +оо и 0; 3) и и 0; 4) +со и — 1/2. 64.Ц гг и —.г/2; 2) Зн — 3; 3) 1и — 1; 4) е и 2. 5 10. Непрерывность функции 195 9 10. Непрерывность функции СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1.
Непрерывность функции в точке. Функцию г, определен- ную в окрестности точки хо, называют непрерывной в точке хо, если 11т У(х) = Р(хо). На "языке - — д" это означает: функция 1", определенная в окрестнос- ти точки хо, непрерывна в этой точке, если для каждого числа е > О существует такое число б > О, что для любого х Е 11(г"), удовлетво- ряющего условию [х, — хо[ < б, верно неравенство [1(х) — г(хо)[ < е; короче, сй > О Вд > О сУх Е 19(() ([х — хо[ < б ~ [,((х) — )(хо)[ < е).
Разность х — хо называют приращением аргумента и обознача- ют йсх, так что х = хо+ Ьх. Разность )'(х) — 1"(хо) называют пРи- ращением функции, соответствующим приращенисо аргумента Ьх, и обозначают Л1' или сссу, так что 1(х) = 1(хо) + ис1 = Х(хо) + сзу. В этих обозначениях; функция 1, определенная в окрестности точки хо, непрерывна в этой точке, если 1сга йс1 = О. ос- о Функцию 1, определенную на промеясутке (а; хо), называют непрерывной слева в точке хо, если „У()=й ) Функцию 1, определенную на промежутке [хо16), называют непрерывной справа в точке хо, если 1ссп У(х) = У(хо). 2. Точки разрыва функции.
Пусть функция г" определена в окрестности точки хо, кроме, быть может, самой хо. Точку хо на- зывают точкой разрыва функции 1" в следующих случаях; 1) функция 1" не определена в этой точке; 2) фУнкциЯ 1 опРеДелена в точке хо, но: а) не существует 1пп 1(х), б) существует 1пн Г(х), но 1пп Г" (х) У': 1(хо).
к — ьсь с-ьеь Если существует 1йп Г"(х), но или 1" не определена в точке хо, с-ьсь или 1сш г(х) ф г(хо), то хо называют точкой устранимого разрыва. с-ько Если в точке разрыва хо сусцествуют оба односторонних предела 1пп ((х) = ((хо — О), 1пп ~(х) = ((хо + О), х-ькь-О -ькьЧо 196 Гл.
Рь Предел и непрерывность функции то хо называют точкой разрыва 1-го рода, а разность г~У(хо) = У[хо + О) — У(хо + О) скачком узункции 1" к точке хо. Его обозначают также схль1". Если в точке разрыва хо нс существует хотя бы один из односторонних пределов 1пп г" [х) или 1нп г" (х), то хо называют з — ~лс — О л — эльз-О шочкои разрыва 2-го рода. Если хо —. точка разрыва функции, то эту функцию называют разрывной в точке хо. Употребляют термины: непрерывная на множестве Х функипя, разрывная ка множестве Х дзуккция. Непрерывной функцией называют функцию, которая непрерывна в каждой точке множества Х [если функция определена в концах промежутка, то имеют в виду непрерывность соответственно слева или справа).
Разрывной функцией называют функцию, имеющую хотя бы одну точку разрыва, принад- 1 лвжвизув множеству Х. Функция 1 [х) = — непрерывна на множестве Х = ( — со; О) 0 [О; +со), но разрывна на множестве Х = [ — оо; +ос), поскольку оно содержит точку разрыва этой функции хо = О. Та же 1 функция г(х) = — непрерывна на множестве х = [О;+ос), но разрывх на на множестве Х = [О;+со), поскольку в точке хо = О эта функция разрывна справа.
Термины непрерывная или разрывная функция без указания множества требуют уточнения. Все основные элементарные функции: постоянная, показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические, непрерывны на своих областях определения. 3. Свойства функций, непрерывных в точке. Если функции ~ и д непрерывны в точке хо, то в некоторой окрестности этой точки определены функции сГ (с число), Г + у, ~. д, и опи непрерывны в точке хо. Если, кроме того, д(хо) ф О, то в некоторой окРестности точки хо опРеДелена фУнкцил Д1'д, и она непРеРывна в точке хо. Если функция у = д[х) непрерывна в точке хо, а функция Ду) непрерывна в точке уо = у[хо), то в некоторой окрестности точки хо определена композиция 1[д[х)), и она непрерывна в точке хо.
Из этих свойств следует, что знак предела можно переставлять со знаком непрерывной функции, а также следует правило замены переменной при вычислении предела (см. Ь 9). 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Функцию называют непрерывной на отрезке [а, Ь), если она непрерывна в каждой точке интервала (а; Ь) и непрерывна в точке а справа и в точке Ь слева. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [а; Ь). Тогда эта функция: б!0. Непрерывность функции 397 1) ограниченна на [а: 6]; 2) достигает на [а; 6] своих верхней и нижней граней, т.
е. существуют хм ха Е [а; 6] такие, что ((хь) = зпрз"(х), з(хз) = ш1 ь"(х) 1 ь1 1'1 (теоремы Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [а; 6]. Тогда для любого числа С, заключенного между 7" (а) и 7" (6), найдется точка ц Е [а; 6] такая, что 7(ц) = С (теорема о прозьежутвчньсх значениях). Пусть функции 7" определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [а; Ь]. Тогда она имеет обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [7'(а); 7'(6)] (соответственно [7" (6); 7" (а)] ) (теорема о непрерывности обратной функции).
Пусть функция 7" определена, строго возрастаег (убывает) и непрерывна на интервале (а: Ь), и пусть с = 1пп 7" (х), д = 11пь 7" (х). х — ьо-~-О х — ьь — О Тогда она имеет обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на интервале (с;й) (соответственно на (д;с)). При этом, если а = — сс, то под пределом 11пь 7"(х) попимах — ь — сс-~-О ют 1пп 1(х), а если Ь =+со, то под пределом 1пп 1(х) прес — ь — сс х — ь-~-сс — О дел 1пп 1 (х) . х — ь-Ьсс 5. Непрерывность функции, заданной параметрически. Пусть функции Ьо(1) и ф(ь) определены и непрерывны на интервале (а; Д) и функция Ьо(1) строго монотонна на (а; В).
Тогда система уравнений х = |р(1), у = с6(1) определяет единственную и непрерывную функцию Р(х) =Ю(9 '(х)) на интервале (а; 6), где а = 1пп со(1), Ь = 1пп Оо(1). С вЂ” ьо-ЬО С-пз — О ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Доказать, что функция т7х непрерывна в каждой точке хо > О и непрерывна справа в точке хо = О. а Докапсехь непрерывность чсх в точке хо > О. Преобразуем и оценим модуль разности: О < ]ЧСХ вЂ”,/ХО[ = - — ( ~Ч,хх Гл. 2.
Предел и непрерывность фуннчии 198 Так как 1ш« ~х — хо~ = О, а 1/ с«хе постоннная, то 1ш« = О. е — «еа Ь«ха Отсюда следует, что П. ~. х — , хо~ = О, е-«еа и поэтому Пш,~х = ухо. а — «еа Значит, функция „/х непрерывна в каждой точке хо > О. Докажем, что функция ьс«х непрерывна в точке хо = 0 справа.
Пусть е произвольное положительное число. Неравенство ~ь«х— — 0~ < е равносильно неравенству 0 < х < 8~. Возьмем д = ез, тогда из неравенства 0 < т, < д следует неравенство ьсх < я Значит, 1пп т««х = О, и поэтому функция т««х непрерывна справа в точ- а — «-~-а кеха=О. А При мер 2. Доказать, что функция у = ха непрерывна в каждой точке ха с /~ А Для любой точки хо Е 1э«и любого алх имеем а.'«у = (хо + Ьх) хо = 4хоа.'ах+ бхо(Д х) + 4хо(а.'«х) + (Д«х) . Используя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получаем 1пп Ьу = 11ш (4х,",Ьх+бх~~(Ьх)з+4хо(Ьх)з+ (Д«х)~) = О, е — «е л.- о следовательно, функция у = х непрерывна в каждой точке хо Е и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
