1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Различные типы пределов. 1) Предел функции при х -+ ос. Число а называется пределом функции 1(х) при х — 7 со, если для каждого числа г > О существует такое число б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию ~х~ > б, выполняется неравенство ~Дз:) — а~ < е. Если число а является пределом функции 7"(х) при х ч оо, то пишут 1пп 1(х) = а. Теоремы о пределах справедливы и для пределов функций при х — о оо. 2) Бесконечный предел. Говорят, что предел функции Дх) в точке хе равен бесконечности, и пишут 1пп ф(х) = ос., к — око если для каждого числа г > О существует такое число б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию О < )х — хо~ < б, выполняется неравенство ~Дх)~ > Аналогично, 1пп 7(х) = сю, если для каждого числа г > О существует такое число б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию ~х~ > б, выполняется неравенст- во ~Д(х)~ > г.
Функция ф(х) называется бесконечно большой при х — ь хе, если 1пп ф(х) = оо. 3) Односторонние предельс Пусть область определения функ- ции ф(х) содержит интервал (в;хо). Число а называется пределом слева функции ф(х) в точке хс (или при х -у хс — О), если для каж- дого числа е > О существует такое число б > О, что для всех х, удовле- творяющих неравенствам хо — б < х < хо, выполняется неравенство 'ь((х) — а~ < у 9. Предел функции 173 5. Некоторые замечательные пределы. Вычисление пределов во многих случаях производится с помощью двух важных формул: 11ш =1, (2) о-оо х 1пп(1+ х) ~е = е.
о-ое Часто используются также следующие формулы, являющиеся следствием формулы (3): (4) а. 1ОКо(1 —; х1 1 о «о х 1па 1пп =!па, а > О. (6) е — ое х (3) (б) Предел слева функции Дх) в точке хо р': О обозначают 11ш ~(х) о-ооо -О или 1(хе — 0). Если хо = О, то пишут 1пп г(х) или Д( — 0). е-о — О Аналогично, в случае, когда область определения функции д(х) содержит интернал (хо1Д), вводится понятие предела справа.
Предел спРава обозначают так: 1пп ~(х) или д(хо+0), если хо ф О, и ,ео 1пп д(х) или ~(+0), если хо = О. — н-о Функция ~(х) иоиеет предел в точке хо тогда и только тогда, когда существуют предел слева и предел справа и они равны; при этом 1пп ((х) = ~(хо — 0) = ~(хо + 0). Для функций, область определения которых содержит интервал (а;+со) или интервал ( — оо; Д), вводятся понятия предела при х — ь -+ +со и соответственно ири х — и — ж.
Эти пределы обозначают 11ш 1(х) и 11ш 1(х). оо Например, число а называют пределом функции 1(х) при х — э +ос, если для каждого числа е > 0 существует такое число Б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию х > б, выполняется неравенство ~Дх) — а~ < е. Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы (разности), произнедения, частного и о пределе композиции функций. По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и односторонние бесконечные пределы: 1пп г"(х) = со, 1пп ~(х) = — со, 1пп ~(х) = +со и т.
д. о-оло -О о-олове о — о — оо Например, запись 1пп г"(х) = — оо означает, что для каждого -ье числа е существует такое число б > О, что для всех х, удовлетворяющих условию хо < х < хо + д, выполняется неравенство Г"(х) < е. Гл, Рх Предел и непрерывность финикии 174 В частности, при а = е !а(1 -~-х) 1пп хае х (О) 1пп = 1. (8) х — ае х Приведем еше одну формулу: (1+ х)а — 1 1пп =сс, сьЕЯ. х-ае х 5. Сравнение функций. 1) Эквивалентные функции.
Символы 0(1) и о(1). Пусть функция д(х) не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки :со. Тогда: а) если 1пп ' = 1, то говорят, что функция 1" (х) эквивалентна хеа:а д(Х) функции д(х) при х — 1 хо, и пишут Дх) — д(х) при х -+ хе,. б) если существует число С ) 0 такое, ~то в некоторой проколотой окрестности точки хо справедливо неравенство < С, йх) у(х) то говорят, что Д(х) есть 0 большое от д(х) при х — 1 хо, и пишут )(х) = 0(д(х)); Д(х) в) если 1пп = О, то говорят, что 7"(х) есть о малое от у(х) х — аха 9(Х) при х — ь хо, и пишут ,7(х) = о(д(х)), х -1 то.
(10) Равенство вида (10) следует читать только слева направо, так как его правая часть обозначает класс функций, бесконечно малых по сравнению с д(х) при х — 1хо. Приведем примеры таких равенств: хг = о(х), соахгйпзх = о(х), тьхзха1п — = о(х), х — > О. В частном случае, когда д(х) = 1, запись 7"(х) = о(1) при х — з хо означает, что функция 7"(х) нвляется бесконечно малой при х -1хо. Если 1(х) = о(д(х)), х -+ хо, где у(х) бесконечно малая функ- ЦиЯ пРи х -+ хо, то фУнкЦию 1(х) называют бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с у(х) при х — 1 хе.
Запись 1(х) = 0(1) пРи х — 1 хо означает, что фУнкЦиЯ )(х) огРапиченна в некоторой проколотой окрестности точки хо. 2) Замена функций эквивалентными при вычислении пределов. Пусть функции д(х) и дз (х) не обращаются в нуль в некоторой проколотой окрестности точки хо, ((х) д(х) и (ь(х) д~(х) при х — ~ хо, существует 11ш —.
Тогда существует 1шь — и справедливо Л(х) 1(х) ха д (Х) :а-аха д(Х) равенство У(х) 1'1(х) 1пп — = 1пп х ~ха д(Х) х ~ха рн (Х) д д. Предел функции 176 3) Критерий эквиаалентности функций. Для того чтобы функция Г(х) была эквивалентна функции д(х) при х -+ хо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство 1(х) = д(х) + о(д(х)), х -Э хо. При вычислении пределов часто используется следующан таблица эквивалентных функций: 7. Частичный предел функции.
Число а называется частичным пределом фунниии 7'(х) при х э хо, если существует последовательность (х,„), х„ ~ хо, такаЯ, что х„ -эхо и 1пп 1'(хн) = а,. н-чж Аналогично определнются бесконечные и односторонние частичные пределы. Наименьший и наибольший частичные пределы функции 1(х) при х — н хо называют соответственно нижним и верхниле пределом функции и обозначают !пп 7"(х) и !пп 7"(х).
»-~хо е-нее ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Доказать, используя определение Коши предела функ- х — 16 ции, что 1пп ' = 2. *-ч4 хе — 4х х — 16 Я Рассмотрим функцию 7"(х) =, в некоторой окрестности хе — 4» точки х = 4, например на интервале (2; 5). Возьмем произвольное положительное число е и преобразуем ~ ((х) — 2~ при х ф 4 следующим образом: х' — 16 ( (х+4 ) )х — 4! Учитывая, что х Е (2; 5), получаем неравенство х~ — 16 2~ ~» — 4! 1.-' хе — 4х ! 2 Гл. 2.
Предел и непрерывность функции 17б 2) Так как числитель тз — 4 и знаменатель хз — х — 2 дроби имеют предел в точке х = 2, равный нущо (имеет л«есто неопределен- 01 ность нида — ), то теорема о пределе частного непосредственно не- О )' применима.
Для "раскрытия неопределенности" преобразуем данную функцию. Разделив числитель и знаменатель на х — 2, получим при х ~ 2 равенство х — 4 хц-2 хе — х — 2 х->1 Так как !пп(х+ 1) ф О, х — «2 х — 4 2 1пп х — «3 х" х то по теореме о пределе частного найдем 1пп (х -Ь 2) х+2 х« = 1тп1 — = 2 х †«з х + 1 1«п«(х + 1) 3 х — «2 из которого видно, что если взять б = 2б, то для всех х Е (2; 5) и удовлетворяющих неравенствам О < ~х — 4) < б выполняется неравенство х — 16 б — 2 < — =б. хе — 4х 2 Согласно определению Коши число а = 2 является пределом функх — 16 ции 1(х) =, в точке х = 4. а хх — 4х П р и мер 2. Доказать, что функция 1(х) = з!п(я/х) не имеет предела в точке х = О.
4«Возьмем две последовательности х„= 122п и х'„= 2/(4п+ 1), сходящиеся к точке х = О. РасслютРим соответствУю1Цие послеДовательности (2(хи)) и (7'(хп)) значений функции. Так как последовательность )'(хи) = = гйппя сходится к нулю, а последовательность ((х'„) = гйп(я(4п+ +1)7«2) — к единице, то предел функции 1(х) = з!п(я22х) в точке х = О не существует. А Пример 3. Найти: « 2 1) 1пп,; 2) 1пп,'; 3) 1пп х — «1 хе — х — 2' * — «з хе — х — 2' х — «сс хе — х — 2 ' 2 4) 11щ х — « — 1 хе — х — 2 А 1) Применяя теоремы о пределе разности и произведения, находим предел знаменателя: !пп (х2 — х — 2) = ( 1пп х)( 1пп х) — 1пп х — 1пп 2 = — 2. х — «1 х — «1 х — «1 х — «1 х — «1 Предел знаменателя не равен нулю, поэтому по теореме о пределе частного получаем 1пп (х — 4) 1пп х — «1 х' — х — 2 1пп(х — х — 2) — 2 2 х — «1 )77 дд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
