1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти: а) /(хо — О); б) Д(хо+О); если: 1) У(х) =, хо = — 1; 2) /(х) = х+ [х~], хо = 10; и 2х" — 3 3) /(х) = 1пп „, хо = 1; 4) У(х) = !пп „ , хо = 1. 42. Найти; а) !пп Дх); б) 1пп Дх); если: 1) /(х) = атс15х; 2) /(х) = агг)с1ахб 3) Дх) = е'", 4) Д(х) — агсяп; 5) /(х) — ( ); 6) Д(х) — (1 -)- — ) ) 7) 7)*) = 77 4 7*4 — 4 — 4 8) 7) ) = 43. Вычислить предел: )) П ),,Э 48,48 —,)е)44,48); 2) П (*-8 ); 2) П )2*- 'Пе -7*-;-4); 4) !!гп атсяп(т/хл + т + х); 5) 1пп Š— ) — ЕП л — 2-«О Х вЂ” Х СОВ П/Х ' ( 1+япт — совх 1«)е, .
!п(2+ и/х) е — )-«О (1-)- впп4х — сов 4т / ' е — ).)-Пе !п(б 4- 447/х) ' 1п(4+ ое е), . атосов(1 — х) !пп 9) 1пп е-)асс 1п(1 + 2еП*) ' 2 — )-«о х/х ,/к †,/атосов х !)ш е — 2 — Поо 2/х -~- 1 44. Выяснить, какие из следующих функций являются бесконеч- но малыми: )2() .З 2) Д(х) = х/х' + 1 — х: а) х †« +ос, б) х †« — со: 3) Д(х) = ' - /сов*, .
« 4 0) 1 — сов«/х ' 4) л"(х) — ,: а) х -+ +ос, б) х †« †: 1 5) Д(х) = яп!п(хе+ 1) — в!и!п(хв — 1), х — «сс; !00 Гл. 2. Предел и непрерывность функции 45. Выяснить, какие из следующих функций являются бесконечно большими: 1 1 хе — 4хе Ч- 4х хе — Зх -> 2 ' 2) )(х) = х(~/х~ + 1 — х): а) х — 1 +сю, б) х -+ †; пс[е=, 'о — '*и ЕСМ=е* — е*: )* +, е)к 5) С"(х) = ( ): а) х — 1+ос, б) х — 1 — оо; 6) Д(х) = (1 — х)'се: а) х — 1+0, б) х — 1 — О. 46.
Найти значения а и Д, при которых функция 1(х) является бесконечно малой: х (х — 1) 1) Д(х)= ', — ах — 6, х — еоо; (.ч 1)е пс(е=,'3ст т1 — * — е: е* +, б)* с(, ) зз/,.2 д 4) 1(х) = — ох — Дс а) х — 1+со, б) х — 1 — со; ел — 1 5) 1(х) = (х+ 4)еср* — ссх — Д: а) х + сю, б) х — 1 — О; 6) Д(х) =!п(1+ еле) — ах — Дс а) т — 1+со, б) х -+ — оо; 7) Д(х) = хатс16х — ах —,6: а) х -++со., б) х — > — оо. 47. Найти значения а и сд, при которых функция 1(х) является бесконечно малой при х -> +О: 1) Дх) = х'а1п —; 2) Дх) = 3) У(х) = х атссд —,; 4) Дх) = (1 — х )' .
48. Показать, что 1(х) бесконечно малая функция при х -+ О, и найти функцию д(х) вида Ах такую, что Д(х) д(х) при х -+ О: 1) Д(х) = 3 япз х' — 5х'; 2) 1(х) = ис4 — хл + ха — 2; 3) Д(х) = 1 — хл — соеха; 4) 1(х) = 2япх — 182х; 5) Д(х) = яп(ъ'х~+ 9 — 3); 6) ((х) = 2л — 1. 49. Показать что 1(х) бесконечно большая функция при х — 1 хо и найти фУнкцию д(т) вида лх" такУю, что ((х) д(х) пРи х — 1 хо..
1)по= . =; 2) с()= тт*+1,*,= 2х" Ч- х Ч- 1 ' 3) сс(х) =, хо =;оо; 1 ъ~хц- 2 — тс'х + 1 ' 4) У(х) = ХО = +Ос; ~Гх+2 — 2исх+ 1+ сс'х 9 д. Предел функции 191 5) /(х) = (х/1+2х — 1)сьйзхз ха = 0:, 6) /(х) 1 — сов хк/))ов 2т О 50. Установить, какие из следующих утверждений верны: 1) ха=о(х) при: а) х-+0, б) х-+со; 2) х = о(хз) при: а) х — ~ О, б) т -э со; 3) л/хз + х — т = о(1) при: а) х — н +со, б) х э — сс:, 4) !п(1-)-е ) = о(1) при: а) х — н -)-сс, б) х — ~ — сс.
51. Пусть х э О, и е И, й е И, и > й. Показать, что: 1) о(х") + о(хь) = о(хк); 2) о(хо) . о(х") = о(хн нь). 52. Найти функцию д(т) вида Ат" такую, что /(х) д(х) при х, — ~ хе.' 1) /(х) =,',, хо = О, хе = +ос; х" -)- те + 1 2) /(х) — Б' + 1 — х, хе — +со, хе — -сс; 3) /(т) = 4Т+ хз — и†хз, хе = О, хе = сс; 4) /(х) = " в)п(1/(х -~- 1)) , хо = О, хо = сс. (/т Ч-,/х 53. Установить, какие из следующих утверждений верны при х — э 1) 100х+ха!пх = 0(х); 2) г, = 0(100х+ха)пх); 3) х+хвшх = 0(х); 4) х = 0(х+хвшх); 5) т/хз+ 1 — ~х~ = 0(1/х) 6) 1/х = 0(у'х~+ 1 — ~х~) 54.
Доказать, что при х э хе. 1) 0(О(/)) = О(/); 2) о(О(/)) = о(/); 3) О(о(/)) = о(/); 4) и(/) + 0(/) = О(/); 5) о(/) О(/) = о(/ ). 55. Пусть х э О, и 6 И, й Е И, и > й. Показать, что: 1) 0(х") + 0(хь) = 0(х"); 2) 0(т") . 0(хь) = 0(х" ""). 56. Пусть х — ~ сс, и, Е И, й Е И, и > й. Показать, что: 1) 0(х") + 0(х") = 0(х"); 2) 0(х") 0(х") = О(х"тл).
57. Определить, при каких значениях а и )3 функции /(х) и д(х) = ахд эквивалентны: 1) ~)н) = у2,л,/;=+~: .) .,О, б) . 2) /(х) = /à — 2т — лз/1 — 3х, х — > О; 3) /(х) = 2ел + (совх — 1)в+ та — 2, х -+ 0; 4) /(т) = впР 2х+ атсв1пзх+ 2ахс1пхз, х — > 0; 5) /(х) = 1 — сов(1 — сов(1/х)), х -э сс; 6) /(х) = Е(1/х), х — н сс. Гл. 2.
Предел и непрерывность функции 58. Вычислить: 1) 1ш) о; 2) 1шо агсьи (2 — х) + яп(х — 2)в , ьс1 ж хв -1- хо — 1 е — оз хо — 4 ' о — оо !псовх х (ф1+Зх — Ц+япох 11гп о 1 — Я +х' 4) 1пп (вш 2х — 2 Ои х) + (1 — сов 2х)о х — оо вдсбх -~- япо х 59. Пусть 1пп уо(1) = а, причем цо(1) ~ о при 1 р': 1о н некоторой с — ооо окрестности точки 1о.
Доказать, что: 1) если Г(х) = о(д(х)) при х — ь хо, то Г"(уо(1)) = о(д(ср(1))) при 1 — ь 1о; 2) если 1"(х) = 0(д(х)) при т. — + хо, то 1'(ср(1)) = 0(д(ср(1))) при 1-+ 1о. 60. Найти 11ш г'(х), х Е Й, если ~о ° 11сд при х = р/д, '( О при х иррациональном, где р и д -- взаимно простые целые числа. 61. Пусть 1пп Р(х) = а и 1пп д(1) = хо. Слодует ли отсюда, что о-аоа сиса ' 1пп 1(д(1)) = аГ 62. Доказать, что если функция Г(х), т 6 (хо, +сю), ограниченна в каждом интервале (хо, хо ) и существует конечный или бесконечный Г ф(' ) ф() ( с 61,2...) е-о-~-се х" то 1пп — = — 1пп ф(х) 1 .
ф(х+ Ц вЂ” 1(х) с — о-Ьж хп о и+ 1 с — он-ао х"' 63. Найти 11ш ~(х) и Бп~ 1"(х), если; :с — ос'о о-оеа 1) ((х) = есооН~е о; 2) 2(х) = —, яп- —; 3) 1(х) = агсс18 —; о) С(*) = ЛТ*':в7е — со* 64. Найти 1пп г(х) и 1пп г(х), если: п — ооо иооо ос в 1 -~- х -~- бх 1) Г"(х) = — сове х+ агс18х; 2) Г(х) = ,, япхв; 2 1 — х -Ь 2хе о) уи) = (Ле Ро*о о — 4. — . О(! . 2*); 4) с(х) (1 1 с — вз х)с,ссоо о 65. Доказать, что !пп (совх+ яп ъс2х) = 2. и — о ос бр.
Предел функции ОТВЕТЫ 1. 1) б ( тЛ,001 — 2 и 0,00025; 2) б ( 4/51, 3) б < л/2 — атсяп0,99 - 0,14; 4) б не существует. 2.1) б<0,99; 2) б<0,90; 3) б<1 — 1/ЯОю0,21; 4) б < 1 — 1/ т/ГО 0,023. 3. б < е/3. 4. б < ~Г9+е — 3. 1.В 1 Ь б н; (1, деД~~ — )и. 6. Если е > т, то б любое число; если я < л, то б ( — с18е; 1~п атсе8 х = — и/2. 9. Не следует. 17. 1) Чя > 0 Лб > 0 Чх ( — б < х < О.=у //(х)! < е); 2) Че>0 Вб>0 Чх (!х/>б=р!/(х) — 4!<е); 3) Че Вб > 0 Чх (1 < х < 1+ б =~ /(х) < е); 4) Чя ) О Лб Чх (х < б =~ !/(х)! > е).
18. 1) Ве > О Уб > О Лх ( — б < х < 0 Л !/(х) / > с); 2) Ля > О Ы > О Вт (!:е/ > б Л //(х) — 4! ) е); 3) Ве 'тб > 0 Лх (1 < х < 1+ б Л /(х) > с); 4) Ве > О Ы Вх (х < бд/(х) < е). 19.1) Ва Уе>0 Вб>0 Чх (0< !х — хо/ <б=у !/(х) — а! <е); 2) Ча Ве>0 йб>0 Вх (0<!х — хо/<бд//(х) — а~>я). 20. 1) 7/3; 2) 3; 3) 1; 4) — 2/5; 5) 4/3: 6) 3/4; 7) 3/2; 8) 4. 21. 1) 2; 2) 17/5; 3) 2; 4) 1/3: 5) 5050; 6) 64/105; 7) 1:, 8) — 1/2; 9) 1.
22. Ц 3; 2) 49/16; 3) 8; 4) 0; 5) 3; 6) — 9/4. 23. О, если и, < й; ао/Ьо, если п, = й; оо, если п > й. 24. 1) п//е; 2) (пе — 2й+ п)/2; 3) С~,'; 4) (и, — Ус)/2. 25. 1) 1/4; 2) 3; 3) 5/3; 4) 3/4; 5) 3; 6),/7/4; 7) — 1/3; 8) 1/12; 9) 2; 10) 4/7. 26. 1) 7; 2) 5: 3) тЛ; 4) 3, 5) — 2; 6) 7/12. 27 1) 0; 2) 2; 3) 13/4; 4) 2; 5) 1/2; 6) т/2/8 28. 1) Ь/п; 2) 2,"/а/(па); 3) (аЬ вЂ” Ьп)/(пИ); 4) пй/(Иа+ пЬ); 5) 2пд 6) (и+1)/2. 29. 1) 3; 2) 4; 3) 1/5; 4) о//д; 5) — 1; 6) 1/2; 7) — 9/128; 8) Зт/3; 9) 18 л1 — 1 = — (сое 2)/ сеял 1.
30. Ц вЂ” 7/2; 2) 1/(2л): 3) тО 4) 4; 5) 4: 6) 1; 7) 2; 8) 14. 31. 1) 4т/22; 2) 1/4; 3) 13/6; 4) 2; 5) 1/3: 6) 3/2; 7) 1/24; 8) О. 32. 1) 2; 2) 10/37: 3) 2; 4) — 2/21. 33. 1) 0; 2) 0; 3) не существует: 4) 1/е. 34. 1) 1/(101п10); 2) — 7; 3) 5/1п2; 4) — 2/3; 5) 8; 6) 25/16. 7) 1; 8) — хе/2. 35. 1) (1п10)/1п2; 2) 1п3; 3) 1п4; 4) 5; 5) 2; 6) 2; 7) 3/2; 8) 3/10.
194 Гл. к. Предел и непрерьгенеегпь функции 36. Ц ее; 2) 1/тГе: 3) сз: 4) е; 5) т/е; 6) 1/т/е; 7) е 8) егг'1 9) е/гг; 10) т/е. 37. Ц 1; 2) — 4; 3) 25/2; 4) 2; 5) 1п2; 6) езгз; 7) еггз; 8) ез 38. Ц о." 1пиц 2) 1п(и/Ь); 3) тггоЬ; 4) ие/ген ьгЬьгге "'. 39. Ц а) 1; б) 0; 2) а) Не существует, б) п1 3) а) О, б) 0; 4) а) О, б) +оо. 40. Ц а) 3/2, б) 1/4; 2) а) 1, б) — 1; 3) а) л/2, б) — л/2; 4) а) О, б) 1/3. 41. Ц а) 1, б) -1-со; 2) а) 109, б) 110: 3) а) О, б) 1; 4) а) 3, б) 2. 42.
Ц а) — гг/2, б) л/2: 2) а) л, б) 0; 3) а) 0; б) +оо; 4) а) — гг/2, б) Не существует; 5) а) +ос; б) 0; 6) а) 1/е; б) е; 7) а) -4, б) 4; 8) а) О, б) 1п4. 43. Ц вЂ” 2; 2) — 1/2; 3) 7/4; 4) — г./б; 5) 1/2; 6) 0; 7) 3; 8) 2; 9) т/2; 10) 1/т/2л. 44. Ц; 2) а); 3); 4) а); 5). 45. Ц; 2) б); 3); 4) б); 5) б); 6) б). 46.Ц а=1, /5= — 3; 2)а) а=2, 6=1/4, б) а= — 2, /5= — 1/4: 3) а= — 1., /5=1/3; 4)а) а=1, 6=0, б) а=гЗ=О; 5) а) а = 1,,5 = 5; б) а = гЗ = 0; 6) а) а = Зь,З = 0; б) а = г5 = 0; 7) а) а = .г/2, /5 = — 1: б) а = — л/2, 55 = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
