1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 29
Текст из файла (страница 29)
277. Точка движется в круге равномерно и прямолинейно, отскакивая от его границы по закону отражения. Центральный угол, под которым видны две первые точки встречи с границей круга, равен 1 рад. Доказать, что в любом секторе будут находиться точки встречи с границей. 278. Доказать, что 1пп п([в+ 1) — и ) =+ос, 0 ( оь П вЂ” Ь ОО 279. Найти: 1) 1пп ', '; 2) 1пп — [1п[лЯ+ 1 — п)[Р; 'П вЂ” ЬСО П П-С СО 'П р~ 3) 1пп „, где а>0, Ь>0. пл~ 2п 280. Доказать, что из всякого бесконечного множества интервалов, объединение которых покрывает отрезок [а; Ь], можно выделить конечное подмножество интервалов, объединение которых также покрывает [а; Ь].
ОТВЕТЫ 26. 1) 3; 2) 1/2; 3) 17'2; 4) 1, 5) 1; 6) О, 7) 1/2:, 8) — 1, 9) 1; 10) 2/3, 1Ц 1/3. 34. 1) 5; 2) 0,6; 3) 17'3; 4) — 1; 5) 1; 6) 0; 7) 1; 8) — 1/6; 9) — 1: 10) 0; 11) — 0,5. 35. 1) — 1; 2) 1/2; 3) 3; 4) — 1/2. 36. 1) 27; 2) — 15/2; 3) 0; 4) 176; Гл. к. Предел и непрерывность функции 5) 1, если !а( > 1; 1/2, если а = 1; О, если !а~ < 1; 6) О, если )а( ф 1; 1/2, если а = 1; ие существует при а = — 1; 7) 1, если )а.! > 1; О, если )а( = 1; — 1, если !а! < 1. 38.
а/2. 39. Ц +ос; 2) 2/3; 3) — 1; 4) — 1; 5) 19800; б) 1: 7) 1/5; 8) 2; 9) рч(ч-р)/2. 40. Ц с!/2; 2) 1Д2с!); 42. Ц 1/9; 2) 5/11; 3) 26/111. 44 Ц 1/2; 2) 1/ъ'2; 3) 1/4 45 Ц 3/4; 2) б; 3) — 1; 4) т/й, 47. Ц Не следует: 2) ие следует. 53. Ц 0 2) 0; 3) 2; 4) 1/3; 5) — 1/4; б) 1/3.
54. а = 1; 5/2. 55. Ц (аь+ ее)/2; 2) (аь + аа+ ад)/3; 3) (аь + ад+ ... +а„)/р. 57. Ц вЂ” 2; 2) 0; 3) 1/б; 4) 0; 5) +ос; б) — оо; 7) О. 58. Ц О, 2) 0; 3) 0; 4) О. 59. 1. 61.Ц1; 2)1; 3)1; 4) — 1/2: 5)1; б)1; 7)1; 8)3; 9)1/2; 10) 3; 1Ц 4; 12) 11; 13) 1. 62.Ц 1;2) 1;3) 1;4) 1;5) 1;б) 1;7) 1;8) 1/2;9) 1;10) 1;1Ц1. 64. Ц 1/3; 2) О, 3) 3; 4) 4/5; 5) 1. 66.ЦО; 2)5; 3)0; 4)0; 5)1/2. 68.
Ц 0:, 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) 0; б) 0; 7) 1. Т1. Ц вЂ” 4) и 7) — 9) 0; 5) — б) 1. 73. О. 74. Ц 3: 2) 1; 3) шах(а;Ь). 75. Ц 1: 2) 1; 3) 1. 77.Ц1; 2)1; 3)1; 4)1; 5)1; 6)1; 7)2; 8)1; 9) — 8; 10) 1; 1Ц 4. 95. Ц а<5; 2) а>5; 3) а=5. 96. Ц р(д; 2) р>д. 99. Ц а>1; 2) 1нп хи=1/2 при а=1, 1нп хи=О при н<1. и — ьж и — ьсо 113. Ц 0; 2) +со; 3) -со; 4) 1, — 1; 5) О, +со; б) О, ~1/~) 2, ~ 1; 7) О, ~со. 116. Ц ~1/2, ~1; !нп хи = 1, 1нп х„= — 1; и сс и >~ 2) х2; 1пп х„= 2, .Итп хи сс — 2; и ь сс иь сс 3) О, +оо; 1нп х„= +оо, 1нп хи сс 0: и — ьж и — ьсо 4) [О; Ц, 1нп хи си 1, !нп хи сс О. 117.
Ц 1нп ти сс 1; !нп хи = 0; кирхи сс 1,5; шГхи сс — 1; и ~ос и сс 2) 1!пь х„= вар хи = 3; йп хи сс !пГхи сс — 3; и- сс и — ь сс 3) 1!пь х„= кирхи сс +ос; 1пп хи сс !пГхи си — оо, и-ьсс и — ьсо 4) 1пп хи сс 1; япрхи сс 3/2; !нп хи сс !пГх„= — оо! 'и — ь 'х' и-Мю 5) 1пп хи сс впрхи сс +со; 1нп хи сс 1; !пГх„= О. иьсс и 'сс Ед. Предел последовательности 169 123. 1) О, ~1; 1ш1 хп 001, 11п1 х„= — 1, япрхп 001, шЕхи 00 — 1; П вЂ” Соо П-ФСИ 2) х1; 11ш хп 00 1, 11п1 хп 00 — 1 яорхи 00 3/2, шЕхи 00 — 1; СС вЂ” 1 СИ 3) — со: 0; 1; 1пп хп =1, йп хп 00 — оо, япрхп 001, шЕхп 00 — со: П вЂ” 100 СС-Ф~ 4) О ~ /3/2' 1пп хп = х/3/2.
11ш хл л;и со Л -И Оо + Ъ'3)/2, шЕхи 00 — Ъ'3/2; 5) О, 2; 1ПП Хп 00 2, 1ПП Хп 00 О, яорХ„= 2, ШЕХЛ 00 0; и — 00 6) 1; 11Ш Хи 00 111П Хи сп 1, Вор ХП си Ъ'6, П1ЕХЛ 00 1; П вЂ” С 00 лс оо 7) О, +ОО; 1Ш1 Хп 00 +СЮ; 1ПП Хп 00 О, ВПРХП 00+СО, ШЕХЛ 00 0; и — 100 П вЂ” 100 8) О, 1; 1ш1 х, = 1, 11ш хи 00 О, япрхи 00 1, шЕхи = О. и — ~с ° 124. 1) 10;1]; 2) ]О;+ос) и +со. 125.
1пп х„= 2, 1пп х„= 1. Л вЂ” ~ 137. М е [АС] и Есс я 1АС], где АЛХ = — АС, АМ = — АС. 1 2 3 ' 3 162. 1) О; 2) 0; 3) О. 164. 1) 4; 2) л ~~/5: 3) в=~а; 4) а) — в) 1/3; 5) (1+ ъ'55)/2. 166. 1) е, :2) е; 3) е ', 4) ея; 5) 1/е; 6) е 170.1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) О,если а>1; +со,еслиа<1: 6) +сю, если а>1; — сю, если 0<а<1. 175. 1) 1: 2) 1; 3) ев; 4) 1/е; 5) 1/ее. 177. 1) +сю, если а > 1; — оо, если а < 1; 2) 1. 183. Ц ев; 2) е '. 184. 1) 1/а1сЕ; 2) 1/т/сс. 185.
10а/81. 186. 1пахта1, ая, ..., ас). 188. 1) 2; 2) 0; 3) — 1; 4) 1/3; 5) 1/3; 6) 1/2; 7) 4/3; 8) ав + а + 1/3. 189. 1/6. 190. 1) 1/3; 2) 1/2. 191. Й(й+ 1)/2. 192. О. 194. шах1а1сая, ...,ал). 198. 1) О, 2) О. 199. Ц/(1 — 4)'. 200. О. 212. 1) 4/(1 — 9). 213. 1) сЕ/(1 — 11), если ]с1] < 1 или д = — 1; со, если ]с1] > 1; 2) а — сЕ/(1 — 11), если ]11] < 1; оо, если ]с1] > 1. 214. (л — а)/3. 215. 1г/3. 216. а) и б) а/3. 217. (1+ хссГ+ 4а)/2. 218.
1) Сходится; 2) расходится. 219. ц 6 ]О;1/4]. 220. 1/а. 221. 5. 223. 1) (х/5 — 1)/2; 224. 1) — 4) Сходится. 225 (Ь+ ъ/ЬЯ + 4а)/2. 226. 1 — Х/1 — а при — 3 < а < 1; 4 при а 00 — 8. 227. 1) б) Сходится при х1 = О, х1 611;2]; расходится при хс < О, хе > 2.
228. 2) т/аЬ. 229. 1) Сходится при а = Ь; расходится при а ф Ь, Гл. Ге Предел и непрерывность функции 170 2) сходится при а = Ь; расходится при а ф Ь: 3) сходится при а = Ь = О; расходится при а 7- .О или Ь 7: О; 4) сходится при а = Ь = О; расходится при а ~ О или Ь 7': О. 230. 1) О; 2) О. 231. 1) 3; 2) 2; 3) 4.
232. Ц-3) О. 234. 1) — 1; 2) -ьоо; 3) — 1; 4) +ос. 235. 1. 236. 1) 3) 1/2. 238. 1) Сходится к — 17'2; 2) сходится к — 2. 239. Сходится к р., если О < р — а < 1. 240. О при а = О или (Ь) < (с); (Ь вЂ” с)/д при )Ь! > (с!. 241. (1+ уТ+ 4Ь)/2 при а 7'= (1 — ч71+4Ь)/2 и а ф О; а при а = (1 — ./Г+ 4Ь)/2. Ы2. Ь ь 71; ЪЛà — ) ь ° «1. 2ЬЗ.Ь. 244. хо = а(э — ъ'41)/4., Вш хо = О.
247. О. е — ьсе 252. 1) 17'е; 2) О; 3) 4,7е; 4) О; 5) +со. 255. 1) 17'(р+1);. 2) 1/2. 274. 1) 1; 2) О при а > — 1:, оо при о < — 1; не сушестнует при а = — 1. 276. 1пп М„= М, где А711 = — АС. 2 в — ь сс 3 279. 1) со при а < 1; О при о > 1; 2) О; 3) ъ'аЬ. 0 9. Предел функции СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Определение предела функции. Пусть функция Г(х) определена е проколотой бо-окресткостпи точки хо, т. е.
на множестве 1 ос(хо) = (х: О < )х — хо~ < бо) 1) Число а называется пределол (по Коши) функции 1(х) в точке хо (или при х -ь хо), если для каждого е > О сушествует такое число б > О,. что для всех х, удонлетворяюших условию О < (х — хо! < < б, выполняется неравенство ) ((х) — а! < ш Если число а лвлиетсл пРеДелом фУнкЦии 7"(х) в точке хо, то пишут 1нп 7"(х) = а или ((х) — ~ а при х — ь хо е — ьео Используя логические символы, определение Коши можно записать следующим образом: 1ии Г(х) = а ео оо 17е > О Вб > О Чх (О < )х — хо~ < б ~ ~У(х) — а~ < е).
Утверждение 1пп р(х) ф а записывается так: .ь-ьхь 1пп 1 (х) ~ а Ф; чо Эе > О Ю > О Вх (О < )х — хо! < б Л )ц'(х) — а~ > е). ад. Предел функции 171 Из определения следует, что функция не может иметь двух разных пределов в одной точке. Из определения следует также, что значения функции 1(х) в точках х, лежащих вне некоторой окрестности точки хо, и значение фУнкции 7" (х) в точке хо не влинют ни на сУЩествование, пи на величинУ пРеДела фУцкции 1(х) в точке хо. 2) Число а называется пределом (по Гейне) функции 1"(х) в точке хо, если для любой последовательности (х„), х„с о7зо(хо), схо- дЯщейсЯ к хо, последовательность (1(х„)) сходитсЯ к а. Для того чтобы доказать, что функция ф(х) не имеет предела в точке хо, достаточно указать какую-нибудь последовательность (7(хн)), не имеюЩУю пРеДела, или Указать Две послеДовательности (7(х„)) и (1(х'„)), имеющие разные пределы.
3) Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны. 4) Если функция 7" (х) определена в точке то, существует 11п1 7"(х) = а и а = 7"(хе), то функцию 7"(х) называют непрерывной е -о о о в точке хо (см. з 10). Отметим, что основные элементарные функции Я 7) непрерывны во всех точках их области определения. 2. Бесконечно малые функции. 1) Если 1пп о(х) = О, то функцию о(х) назьовают бесконечно е — оео малой при х — 1 хо.
2) Сумма конечного числа бесконечно малых при х — 1 хе функций есть бесконечно малая функция при х -+ хо. 3) Если а(х) бесконечно малая при х — 1 хе функция, а,З(х) функция, ограниченнан в некоторой проколотой окрестности точки хо, то о(х)13(х) бесконечно малаЯ фУнкЦиЯ пРи х -Ч хо. В частности, произведения двух (или конечного числа) бесконечно малых при х †>хо функций есть бесконечно малая функция при х -+ -+ хо.
3. Теоремы о пределах. Теорема 1 (о пределе "зажатой" функции). Если в некоторой проколотой окрестности точки хо выпвлнлютсл неравенства д(х) < < 1(х) < 6(х), и если 1пп д(х) = 1ш1 6(х) = а, х — оно '-ооо то !пп ф(х) = а. е — оо'о Теорема 2 (о пределе суммы и произведения). Если 1пп ф(х) = =а, Впо д(х)=Ь, то о -~ео 1пп (((х) х д(х)) = а х б, 1пп (Г(х)д(х)) = ад. Гл, Рн Предел и непрерывность функции 172 Теорема 3 (о пределе частного). Если 11ш ф(х) = а, 11ш у(х) = г — ьоо л — ьло =Ь, где ЬфО, то 11ш .((*) о-ьло у(х) Ь Теорема 4 (о пределе сложной функции).
Если существуют 1пп уо(х) = а, 1пп Ду), причем в некоторой проколотой окрестносл — око л — ~о ти точки хо выполняется условие ор(х) ф а, то сложкак функция г" (ор(х)) имеет предел в точке хс и справедливо равенство 1пп Дор(х)) = 11ш Д(у). (1) В случае непрерывности функции 7"(у) в точке а равенство (1) можно записать в виде 1пп Д(р(х)) = ф( 1пп ор(х)). 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
