1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1) Пусть 0 < х! < 1, х„е! = х„(2 — хп), и Е И: а) доказать, что последовательность )х„) сходится и !пп хп = 1; и — лос б) исследовать последовательность )хп) на сходимость, если х! ф ф [О;1). 2) Пусть О < х! < 1,1а, хеь! = х„[2 — ахп), и Е И, где а > О. Доказать, что последовательность 1хп) сходитсЯ и 1пп хп = 1/а. и — ьсо 3) Пусть О < х! < а, хпе! — — х (а — хп), и Е И. Доказать, что; а) !пп х„=а — 1 при а>1; б) !пп хп=Опри О<а<1. и- оо и — лес 228. Последовательности (хп) и зрп) удовлетворяют условиям: 162 Гл. 2. Предел и непрерывность фуннцни 1 Ц х1 = а > О, уг = Ь > О, х„нг — — — (хи + уп), уп нг =, !х„уп, и с И; 2 2) х, =а>0, д, =6>0, хпн1 — — — )хи+де), дпн.1= 2хпдп 2 " ' '' ' хп-'суп ай И.
Доказать, что последовательности 1хп) и 1дп) сходЯтсЯ и 1пп хп = !пп дп. В случае 2) найти этот предел. п — ос и — лоп ' 229. При каких а и Ь из й сходится (соответственно расходится) последовательность 1х„), если хг = а., хг = 6 и: Ц х н.г = 2хп.н1 — хп! 2) х .е-г = 4хп -1 — Зг.п; 3) хплг = — 2хпл1 — хп; 4) хпег = х„пс1 + 2хп, п Е ИГ 230. Пусть х1 = а, хп 1 — — х„/(4 — хп), и Е И. Доказать, что последовательность 1х„) имеет предел, и найти его, если; Ц 0<и<3; 2) 35<а<4. 231.
Доказать сходимость последовательности и найти ее предел, если: Ц хг = 4, Хп нг = „с6+;сп; 2) Х1 = 1, хпег = тз/6+ хп; 3) х1 = 3, хп-,1 —— ь/Г22 Ч- г:и, и Е И. тп 232. Доказать, что последовательность тг = а, х„е1 = 2-1- х„' и е И, имеет предел, и найти его, если; Ц а<0; 2) а<-2; 3) -1<и<0. Ь 233. Доказать, что последовательность х1 = а, х„ьг = 1 + — , хи и 5 И, где Ь < -1/4, расходится.
234. Пусть х1 = а, х„е1 = хг +Зхп+1, п Е И. Установить, имеет ли эта последовательность предел (конечный или бесконечный), и найти его, если; Ц а = — 5/4; 2) а = — 3/4; 3) а = — 7/4; 4) а = — 9/4. 235. Доказать, что сушествует 1пп х„„ и найти его, если п- со х1 = 2, хп.; 1 = 2 — 1/хп, 236. Доказать, что последовательность х1 — — а, хпл1 — — 1 — 1/4хп, п Е И, сходится, и найти ее предел, если; Ц а>1/2; 2) а<0; 3) 0<и<1/4. 237. Доказать, что если х, > О, хилг — — а1хп+ 1/хп), и, Е И, то: Ц !пп х„= +ос при а > 1; и- со 2) 5 * =от7о — ) 5 0«1.
ипоо 238. Исследовать на сходимость последовательность (и Е И): 48. Предел последовательности 163 1) х1 = 9/10г хиь1 = 1/(2х„ — 1); 2) х1 = 2, хим 1 = 6/)х„ — 1). 239. Пусть х1 = а, хии1 = хл + (1 — 2р)хи + рл, я,с И. Найти все значении а и р, при которых последователыюсть )х„) сходится. 240. Доказать, что последовательность Ьхи х1=а, х ч1= ', пЕИ, си-дх имеет предел, и найти его (а, Ь, с, 71 е Я и таковы, что с ч- 71х„ф 0 для любого и Е И, Ь71 р': О, !Ь! ф )с), ас1 ф Ь вЂ” с).
241. Доказать, что последовательность Х1 — — а, х„г1 —— 1+ Ь/хи, и Е И, где 0 > Ь > -1/4, сходится; найти ее предел. 242. Пусть Х1 > О, хгг.71 = ах„+ Ь/х„п Е И, где а > О, Ь > О. Доказать, что существует конечный или бесконечный предел этой последовательности, и найти его. 243. Доказать, что существует единственная последовательность 1Хгг) таКая, Чта Х1 = 1, Хи = Хи.71 + Х„не, Хи > О, а Е И.
ДОКаЗатЬ, что эта последовательность имеет предел, и найти его. 244. Последовательность х такова, что 5 хи.1-2 = Хи-1-1 + Хи, и Е И, Х1 = а,. 2 Как следует выбрать хл, чтобы эта последовательность сходиласьГ Чему будет равен ее пределГ 245. Доказать, что последовательность 1 1 ( Ци' по где а > О, сходится. 240. 1) Пусть 1ш1 хи = О.
Доказать, что и — 7 ос !пп — (Х1+ хл-1- ... -'и хи) = О. и — гсо 71 2) Пусть 1пп хи = а. Доказать, что и — 7 со 1пп — (Х1 + хь + ." + Хи ) — а. и-гсо и 3) ПРивести пРимеР Расходищейса последовательности 1хи), длн которой существует 'гХ1 + Х2 +" + Ги). и — 7 со 71 247. Найти 1шт — )1+ — + ... + — ). 1 7 1 1 гг — гсс и Ь72 1/й 248. ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ 1Х„) таКОВа, Чта 1Ш1 (Хи.71 — Хи) = а. и 7 со Хи Доказать, что 11п1 — = а. и — 7 со Гл.2. Предел и непрерывность фуннции 164 249.
1) Пусть хл > О, п Е И, 1пп хл со а. Доказать, что п,— гсо 11п1 = а,. гг-гсо 1/хг о- 1/хг -'с ... Е 1/хп, 2)Пу'сть !пп хл=х, 11п1 Уп=рггдсрфОИУ1+Уз+" +Уп~'О л — гоо и,— гсо для любого п Е И. Доказать, что Хг+Хг+...+Хп Х 1ш1 п — гсо Уг + Уг + ... + 'Уп У !здесь у -. число, х - — число, +со или — со). 250. 1) Пусть 1пп хл со 1, хп > О, п Е И. Доказать, что ° Ое;*ь Л„= г. и — гол 2) Пусть 1ш1 хл со х, хл > О, п Е И, х Х': О.
Доказать, что и — гол ь скй:..Ё.= .. 3) Привести пример расходящейся последовательности !Хл), для которой существует 1Пг Х1Х2... Х л — глг 251. Пусть хл > О, п, Е И, и !нп '"' = х. Доказать, что Л вЂ” гое Хп 1пп Огх„= х. 252. Найти: 1) 1пп '; 2) 1пп „; 3) 1ш1 " (п+ !)(п+ 2)...(2п); л — гол и, п — гос йГП! гг — гсо 4лп!, Злп! 4) 1пп,'; 5) 1пп и — гсо (ЗП)л п — гос Пп 253. (Теорема Штольца.) Пусть последовательность 1х„) строго монотонна, начинан с некоторого номера, и 1пп хл = +со. Последо- и,— гоо вательность !У„) такова, что !! п- оо Хпг1 — Хл Доказать, что и 1пп — = ас где а --.
число, +ос, -со или оо. Уп И,— гос Хп 254. Пусть !Хп) строго монотонная, начиная с некоторого номера, последовательность, 1пп хл = О. Пусть 1пп у„ = 0 и г. †г и — гол 1пп ' =а. Ул гг — Уп. п,— гоо Хп г — Хп Доказать, что и !пп †' = а, где а . число, +со, -со или сс. Чп п — гоо Хгг 255. Пусть р Е И. Найти: З д. Предел иооледовотпельиооти 165 1) 1пп,, (1" + 2" + ... + и"); 1 и — ьил ир'' 2) 1пп ( — (1" + 2" + ... +ар) — ).
/ 1 и и — ьы: р+! 256. Пусть !пп хи = а, 1пп уп = 6. Доказать, что и 'оо и — ьх храп, и хеуи — 1 + .. -~- хп — ьуь -~- хищ шп — ио. 257. Функция ~ неограниченна сверху (снизу) на множостве Х. Доказать, что существует последовательность (хи), хи Е Х, и Е 1е, такан, .что П!и 7'(хи) = +ос (соответственно 1пп 7(хи) = — сю). иьоо и — ьоп 258. Доказать, что если функция неограниченна па отрезке, то существует точка этого отрезка, в каждой окрестности которой функция неограниченна.
Верно ли зто утверждение для интервалаГ 259. Пусть Пш хи пи О, 5и пи х!+ха+ ... +хи, п Е К. и-иьо Может ли последовательность (ои) иметь только два частичных предела, если: 1) хи действительные числа; 2) х, комплексные числаГ 260. Последовательность х„такова, что для любого й > 1, й Е й, ее подпоследовательность (хрь) имеет предел, равный 1. Следует ли отсюда, что и последовательность (хп) сходится к 1 Г 261. Доказать, что всякую ограниченную последовательность можно разбить на счетное множество последовательностей, имеющих один и тот же предел. 262. Пусть (хи) и (у,) — — ограниченные последовательности с общим множеством частичных пределов.
Доказать, что найдется такая перестановка (л„) последовательности (уи) (см. задачу 33), что 1нп (хи — зи) = О. и-и оп 263. Дано счетное множество последовательностей (х„) (и; = 00 1!О = 1.2, ...) таких, что х, > О для любых п,lе е И и 1!и! х~„! = +ос ь ииоо для любого Й 6 И. Доказать, что существует последовательность (Ди) такая, что 1пп о„= 0 и 1!и! —" = 0 для любого й Е й. и оо и — лоь хнп 264. Привести пример возрастающей ограниченной последовательности (хи) такой, что последовательность ((и + Е)(хпл! — хп,)) неограниченна.
265. 1) Последовательность (хп) ограниченна. Доказать, что последовательность (гь(бич! — хи)) не может иметь пределом +ос. 2) Привести пример сходящейся последовательности (хи), для которой 1ш! п(хи ь! — х„) = оо. и — ьпо 166 Гл. 2. Предел и непрерывность функции 266. Доказать сходимость ограниченной сверху последователь- ности, удовлетворяющей условию: 1) хочз — хн > — 1/2", п Е И; 2) х„-~.ь х„> — 1/пг, и Е И; 3) х„ез — хп > а„„п Е И, где о„таковы, что последовательность ( ~ау~ сходится. и=1 267. Последовательность (х„) такова, что для любых т,п Е И 0 < х„,лн < х + х„.
Доказать, что последовательность (х„(зь) сходится. 268. Пусть (хн) -" возрастающая неограниченная последователь- ность, х„ ф О, и е И. Пусть К„ ---. число членов этой последова- тельности, не превосходящих п, (и 6 И). Доказать, что если сущест- вует один из пределов Кп . и 1ип — или !1ш и ьсо и о >ос Хо то существует и другой, и эти пределы равны. 269. (Признан Лейбница.) Последовательность (а„) такова, что 1!ш (анл1 — ан) = О, о — ьос !а„,з — аеч1! < ~анч| — ае(, (анчз — а„,—,з)(апчз — а„) < О, п Е И. Доказать, что последовательность (а„) сходится. 270. Последовательность (хо) имеет ограниченную вариацию, ес- ли ограниченна последовательность сге = ~хз — хз~ + !хз — хз~ + ...
+ ~х„ы — х„~, и 6 И. Доказать, что: 1) монотонная ограниченная последовательность имеет ограни- ченную вариацию; 2) последовательность с ограниченной вариацией сходится; 3) для всякой последовательности с ограниченной вариацией су- ществу1от возрастающие ограниченные последовательности (а„) и (Ь„) такие, что хн оо а„— Ьн, и Е И. 271. Пусть хн,с О, п е И, 1пп "' < 1. Доказать, что и — ьос Хо, 1ш1 х„= О. и — ьос 272. Пусть все члены последовательности (х„) различны.
Доказать, что множество подпоследовательностей последовательности (х„) несчетно. 273. Пусть 1пп а, = а, а > О, ан > О, и Е И, и пусть !пп Ь„ = Ь, Ь с Й. Доказать, что 1пп а„" =а п — ьс 48. Предел последовательности 167 274. Найти: 1) Вщ п[е 7П вЂ” 1); П вЂ” ЬОО 2) 1пп СО, где С„= "' ', оЕЯ. и — ьл: тй 275. Ц Доказать, что последовательность 1 1 1 х =1+ — + — +...+ — — 1пп, пЕ рХ, 2 3 имеет предел [его называют постоянной Эйлера). 2) Доказать, что /1 1 1 1пп [ — + + ...
+ — ] = 1п 2. и сс и п-~-1 2п 276. В треугольнике АВС проведены медианы АХХ, ВЕ и СР. На стороне АС взята точка ЛХв, ЛХо 7'.-А, ЛХо ф С, и попей найдена на АС точка ЛХ7 следУющим обРазом: пРоведены отРезки [ЛХвХлв][[[СР] [Л7о е АВ), затем [ЛХоРо]]][АР] [Ро е ВС) и, наконец, [РОЛХ1]]][ВЕ]. Отправляясь от точки ЛХы аналогично находится точка ЛХз и т. д. Доказать, что последовательность точек 1ЛХ„) сходится, и найти ее предел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
