1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

/(х) ,сх -1-,/х . Г ! 2) Так как 1пп = 1«ш = 1пп ~(1 + — = 1, :С вЂ” 2-Нес Н«Х -х-Нес,~хх х -2 Е 'у/ Н«Х то /(х) т/х при х — > +со. П р и м е р 12. Вычислить: «Зп2х+ 2 агс«иЗх+ Зх' 1пп хмо !О(1 Ь Зх -!-вше х) -Ь хе* "„«Т+ 10х — «)«Г+ Зх 1пп х — 2О ахсеьп(Зх + хе) — ОЬ (2х -!- хх) ' 3) 1!п« х(1п (1+ — ) — 1п — ). 49, Предел функции а 1) При х — > 0 имеем зш 2х 2х, агс133х Зт, хе* х.

Так как 1п(1+ и) - и при и -+ О, то 1п(1+ Зх+ япх х) Зх+ япе х Зх при х — ~ О. Следовательно, зш2х = 2х+ о(2х), агстяЗх = Зх+ о(Зх), 1п(1+ Зх+ яп х) = Зх+ о(Зх), хе' = х+ о(х), и поэтому еш 2х+ 2 агст8 Зх+ Зх . 2х -~- о(2х) + бх -Ь 2 . о(Зх) ж Зх 1пп = 1пп е — ю 1п(1 ж Зх -~- япе х) -~- хе* л-ло Зх+ о(Зх) ж х+ е(х) 8х ж о(х) . 8 -!- о(х)/х е,е 8; — 1пп о(х)/х = !пп = !пп *-~о 4х + о(х) *-ло 4 + о(х)/х 4 ж 1пп о(х)/х Еея 2) '1'ак как (1 + 1) 1 + а1 при С -~ О, то 4)гТ+ 1Ох 1 + — 10х = = 1+2х, фГ+Зх 1+х при х -+ О, откуда получаем оТ+!Ох = = 1+ 2х+ о(х), ~~/1+ Зх = 1+ х+ о(х) при х — ~ О.

Аналогично, учитывая, что агсяп! А аЫ - г при 1 — > О, находим агсяп(Зх + хз) = Зх + о(х), аЬ (2х + хз) = 2х + о(х) при х — ~ О. К1 -~- 10т — егТ:~ Зх . х + о(х) Следовательно, !!ш — 1пп = 1. ' * — ~о агсега(Зх -~- хе) — ей(2х+ хе) е — ~о х ж е(х! 3) 1пп х(1п (1+ — ) — 1п — ) = 1пп х1п (1+ — ) = 1пп х( — + + о( — )) = !!пг (2+ о(1)) = 2. а ЗАДАЧ И 1. Определить, при каких полоекительных значениях б из неравенства 0 < !х — хо~ < б следует неравенство !/(х) — а~ < е, если: 1) /(х) = хх; хо — — 2; а = 4; е = 0,001: 3) /(х) = яп х; хо = л/2; а = 1; е = 0,01:, 4) У(х) = з!япх; хо = 0: а = 1; = 1,5.

2. Определить, при каких положительных значенинх б из неравенства !х — 1~ < б следует неравенство: 1) )!ях) < 2; 2) (!8х! < 1; 3) )!8х( < 0,1; 4) !!Зх! < 0,01. 3. Для каждого числа е > 0 найти такое число б > О, при котором из неравенств 0 < !х — Ц < б следует неравенство Зхе — 4х -~- 1 — 2~ <я х — 1 184 Гл, Я.

Предел и непрерывность функции 4. Длн каждого числа е > 0 найти такое число б > О, при котором из неравенств О < ~х — 3~ < б следует неравенство е — 9(<е. 5. При каких б из неравенства (х! > б следует неравенство 1/(1+ + хе) < с, где с --- некоторое положительное числоГ 6. При каких б из неравенствах < б следует неравенство агсгй х + + л/2 < е, где с . — некоторое положительное числоГ Чему равен 1пп агонии х Г 7.

Доказать, что 1ш1 /(х) пе существует, если: х — ье Ц /(х) = агсс1я(1/х); 2) /(х) = 81лп 81п(1/х). 8. Доказать, что 1пп /(х) не существует, если: х н -Ь ~ 1) /(х) = сов х; 2) /(х) = х — Е(х). 9. Пусть функции /(х) и д(х) не имеют предела в точке хв. Следует ли отсюда., что /(х) + д(х) и /(х)д(х) также не имеют предела в этой точкеГ 10. Доказать, что если для любой последовательности (хп), сходящейся к точке хо, последовательность (/(хе)) сходится, то 11п1 /(х) существует.

х-эхо 11. Доказать, что если из любой последовательности (х„), сходящейся к точке хо, можно выделить подпоследовательность (хп„), для которой 1ш1 /(х„е) = а, то 1пп /(х) = а. й-хсо х — ьхс 12. Доказать, что если функция /'(х) в точке хо имеет конечный предел, то /(х) = 0(1) при х э хо. 13. Доказать, что если функция /(х) удовлетворяет неравенству /(х) > С, х Е (сн /д), х р'- хо Е (сц Д), С постоянная, и существует 1пп /(х), то справедливо неравенство 11гп /(х) > С. х-эха 14. Доказать, что если функции /(х) в точке хо имеет конечный положительный предел, равный числу а, то существует такой интервал (ой д), содеРжащий точкУ хо, что У(х) > а/2, х Е (ейД), т р'- хо. 15.

Доказать, что если на интервале (гц /1), содержащем точку хо, справедливы неравенства дг(х) < /(х) < дз(х) ' ~ ' о и функции д1(х) и дз(х) в точке хо имеют один и тот же конечный предел, равный а, то 1йп /(х) = а. х-нха 9 У. Предел узункции 16. Сформулировать утверждения: Ц !пп 7(х) = а; 2) !пп 7(х) = оо; 3) 1пп 7(х) = +ос; 4) 1пп 7'(х) = — оо. 17. Используя логические символы, записать утверждения: Ц 1пп 7'(х) = О; 2) !пп Д(х) = 4; 3) !зш 7"(х) = — оо; 4) 1пп ~(х) = со.

18. Используя логические символы, записать утверждения; Ц !пп 7'(х) ф О; 2) 1пп 7"(х) ф 4; 3) 1пп Дх) ~ — оо: 4) 1шз Д(х) 7'= оо. 19. Используя логические символы, записать утверждения: ц функции д(х) в точке хо имеет конечный предел; 2) функция 7'(х) не имеет конечного предела н точке хе.

Найти предел функции (20 — 38). 26 ц И х 94х — 5 2) И х 94х — 5 х — зз х — 1 е — зз х- — 1 хе+ Зхе+ 2х 5) !. х — 8 х — з — з х' — х — б ' х — зз х' — Зх — 2' 2х" — 2хеах — 1 ) !. х — Зх-Ь2 л — зз хз — хе + Зх — 3 ' е — зз хз — хз — х ж 1 ' хе — 5х -~- Зх -> 9 1!ш е-зз хз — 8хе ж 21х — 18 ц И хз Ч 5х ж 4хе 2) И 2х' — 11х — 21 †«о х' + 2хз ' -зт хе — 9х + 14 х — х' + т — Зх+2 4) !! х — 2х+1 е — зз х' — хе — х-!-1 ' е-зз х' — 2х+1' х'е' — 101х + 100 , .

(хе + 2х)' — 14(х' + йх) — 15 1пп 6) 1пп хе — 2х+1 ' л з а хл — 29х' + 100 7) 1пп -!-; 8) !шз 3 1 ( . / 2 1 л — зз ~ 1 — хз х — 1 Р л-зз ~ 2х — хе хе — Зх+ 2)' (' хе — 4х + 6 * — 4 е — зз ~ хе — 5х ж 4 Зхз — 9х, ж 6 ) (х+ 5)*+ (х Ч- б)'+ (х+ 7)', . (х+ це(З вЂ” 7х)' 1зпз 2) 1пп х'+ Э' л — » (2х — Цл (2хе ж 7х — Ц, . (1-~-хн -~-7х'з)з !пп 4) 1пп 3 ! (2х' — 13хе ь .)з 4З 1 (1 «,)щ 23. !пп ' ', Р(х)=аох" +...+аз, („зь(х)=5ох'+...+Ьу Яу(х) Гл.2. Предел и непрерывность функции 34ногочлепы ао ~ О, Ьо Ф О. 24. 1) 1ип „, пбй Е И; х — 11 х" — 12 2) 1!ш ' й И !х — Цв х — 11 (, — 1)!хх — 1)..4х" — 1) 25. 1) 1пп; 2) !ип,; 3) 1пп х — )о х — 6 х — 10 ./1)- х — 1 х — )1 1 — 63)х ' 4) !пп 5) 1ш1 х — 10 х2 4-40 3 — т/4-'с х 6) Ош Гб 2 . — *' — 1Т Х вЂ” 92 2х — хх 7) 1пп ",; 8) !ип Н — 2 б — ' 2* — б .

9.+б — 2 х — )з хх — 4х -)- 3 о т/Г+ 2х — 1 ВГВ ТТВ 1 — Св ТТВ 11ш 10) 1ип х — 1 — В А!5 +2Х-)-1 х — )О х 26. 1) 1ип . 2) 5 2 ве' ' 'Вчбис-Т' 97 '4*' '" 9*+1 — В* 1пп 4) 1ш1 /0+4 4' ' 2))хб+Т вЂ” КР:1 ' /хб + 6 Ч- ф ф ~- 4/х — б/1 -~ 3/х 5) 1пп,; 6) 1ип )сс т/х) + 2 — ~х~ х — бы7 1 — /! — 5/х 27.

1) 1ип (~(х' — 1 — 1/Р+ 1). 2) В )Х*)42 1 Сн) 2 1) 3) В ) 'б.. 4 13 - 7 — 2 ); 4) В )йЗВВ* -';бе — Й вЂ” 3* -10; Х вЂ” 9 СС 3) В ) .'4)7*'49 ы — Яе); Х вЂ” 1 СС 3) В (ВХВ Ь)47 2 ) 28. 1) 1пп „, п,ЙЕИ; ив)Х 2) 1ип ', пЕИ, а>О; Х-ВО х 49. Предел функции 487 6/Г+ ах — й/Г+ ух 3 1пп , ий6И; х — )О х 4) 1шг,, и,/сЕШ; х — )О е/Гл ЕХ ф~ Н 5Х 5) 1пп ,. Г (Л~-Х-+Х)е-(Л рХ2-Х)и , иЕИ; х-хо х 6) 1пп ( " 11+ хг)12+ хг)„,144 -)- хе) — хе), и Е И, 29. 1) 1пп: 2) 1пп е; 3) 1пп хс185х; яп Зх .

184х * — )о х ' х — )о япх' х — )о 4) 1пп, )3 ф 0; 5) 1пп * — ю я1)г)дх ' х — ю яшбх — яп7х 11 ( 2 1 ) 7) 11 соя Зхе — 1 х — ~о (яп2хвшх я)пех/' х — ~о япв2х 4 810)к/6 + х) я10)к/6 4- 2х) — 1 8) 1пп х — го яш х 9) 1шг 4811 4- х) 4811 — х) — 48-'1 х-ю сбех 30. 1) 1пп '; 2) 1пп ',,; 3) 1пп хяп —; х — )) яп2хх' * — )х хе — хе ' х — )ее х' 2( 1 31 .. 1 — сбех 4) 1шг х (соя — — соя — 1; 5) 11пг * — )ее ( х х ) х — гх/4 4/2 соя х — 1 с)оя(2.г/3 — х) ( г 6) 1пп ' ' '; 7) 1шг ( ' — 2х18х1; х — )х/Е 4/3 — 2 СОВ Х х-сх/2 ( СОВ Х 1 — соя х соя 2х соя Зх 1пп х — гх 1+соях 31. 1) Г 46 х, .;/1+ сбх — 4/Г)- япх 1пп 2) 1пп х — )о г/2 — 4/Г+ соя х х-40 хг и) + гге се — ис- е)г с.

х483х 1пп ; 4) 11пг х — )о яп бх ге + и*2* — / + иг ~ъ)сов 4х — 6)сов 5х, . 1 — соя хх/соя 2х 1пп 61 !пп * — )о 1 — соя Зх ' х — ю гб хр х — )х )2 СОЯ" Х х — )хе агсяш 2х, . 43 2:г — 3 агсяп 4х 1пп 21 1ш) х — го х ' х — со яш 5х — 6 агс43 7х ' ) г -' сеи)" Е. г Ессеагг-Гссеесж 1пп 4) 1ш) х — )О °, ТХЙЕЕ Сх —,Т:;ЕМ.

' .; (,.;,)х .: (-,'2)'""' 3) 1пп ( ' ) ; 4) 1пп ( ) Гл. 2. Предел и непрерывное«пь функции 188 ) . 1Зх — 1, . 1и(1+Зх-ух )»-1и(1 — Зх+х ) 1нп ': 2) 1пп х-«1о х — 10 ' -«о х2 3) 1. 1 10+х 4) 1. Л+х х — «аа ~ 5+х ' х-«о 1и(1»-х) 1и 18 (х««4 -Н 4х), . 1и сое 5х, . 1 — ссй пх 6) 1нп 7) 1пп х — «о х ' * — «О 1и сон 4х ', ~1,«л !п си их 8) 1пп хо 1псое —. 35. Ц 11п1; 2) 1нп х(3~«х — Ц; 10х — 1 х — «О 2х — 1 ' х-«ас' 3) !нп хх(4~«~ — 4»Пах»»): 4) 1нп ;: — «аа х-«о »их 5) 1ш1; 6) 1нп х — «о 1и(1»- 2х) ' т;«о ««Г1-»- сйи хл — 1 ех — сое х ) . «««Г»- Зх — й«Г+ 2х х — «о н»и х х — «о т««1Н- 5х — К1»- 2х 36. Ц 1ш1 (, ); 2) 11ш(т««1+ х — х)~«х; 3) 11ш(1+Зх~)'Гпп '; 4) 1нп (1+ ссйх)'8'» х — «О х — «хГО 5) 1нп(соах) '~«х 6) 1нн (8»пх)~8 '"" 7) 1пн(соабх) "8 х х — «О х — «х!О х — «О 1НП (Сеа Х + атСОЗХХ)1«ага«ах х — «О 37 Ц1ш» — 2) Б 3)Ы х — «о х ' * — «о соех — 1' х — «о хе «и ах «их «,, с62х 1«х 7) 1нп ); 8) 1пп( х — «О ( )''' ( )'" ' 1+ хехссах '11«18 х / 1 +х1и(1»-х) )1!а»п х ейх х — «о 1 — х ассе«и х / 38.

Ц 1нп,, а>0; 2) 1пп . х . а>0, Ь>0, а~6; х †«а ах Ха х — «О ахх — Ь:" 2 3) 1пп( ), а>0, Ь>0; ах+1»- 6 " 1«'х 4) 1нп ( ), а > О, Ь > О. 39. Найти: а) 7"( — 0); б) 7'(+0); если: Ц 7"(х) = ™; 2) 7"(х) = атссоа(х — Ц; 3) Д(х) = е 1»*; 4) Д(х) = 2 "8'. 4 9. Предел функции 40. Найти: а) /(хо — О); б) /(хо + О); если: 2(1 — х2) -~- )1 — х [ "/(*)= ( — -)-~ -*-!'х'=" 2) У(х) = в!бп совх, хо = Пг/2; 3) Ях) = асс!5 15х, хо = -г/2; 4) 1(х) =,,, х 1 х -)- 3) 7 )8 41.

Характеристики

Список файлов книги