1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 35
Текст из файла (страница 35)
А При мер 3. Найти точки разрыва функции, установить их род, вычислить скачки в точках разрыва 1-го рода, построить график: Ц у = (81бпх)з; 2) у = Е(х); 3) у = )х! — х а 1) Из определения функции яяпх сле- (Ю ) =110' График этой функции изображен на рис. 10.1. Функция у = (81йпз«)з непрерывна во всех точках, кроме х = О. В этой же точке у( — 0) = у(+0) у= у(0). Значит, х = 0 --- точка устранимого разрыва. Скачок функции в этой точке равен О. 2) Пусть п Е л. Если и — 1 < х < н, то Е(х) = «ь — 1, а если п, < х < п + 1, то Е(х) = и. График показан на рис.
10.2. Если хе .— нецелое число, то существует окрестность точки хе (не содержащая целых чисел), в которой функция постоянна, а потому и непрерывна в точке хе. Если же хо = и -- целое число, то Е(п — 0) = и, — 1, У10. Непрерывность 4ункции 199 Е(я+0) = п, и, значит, хо = и точка разрыва 1-го рода, причем зЕ(п) = 1. 3) Функция у = (]х] — х)/х~ определена для всех т Е Й, кроме х = О.
Следовательно, х = О - точка разрыва этой функции. Так как ]х] — х ][О, х > О, хе [ — 2/х, х< 0, то !пп у = О, 1ш1 у =+со; зто означает, что х = 0 точка разрыв-ь-,св е-ь — Π— 2 — 1 О Рис. 10.9 Рис. 10.2 ва 2-го рода. График этой функции изображен на рис. 10.3. П р и мер 4. Пусть функцин Х определена и непрерывна на отрезке [а; Ь], ьч = шХ Х, ЛХ = зпр Х. Доказать, что для любого С е [т; М] (о;ь! найдется ~ Е [а; Ь] такое, что Х(Ь) = С. а По первой теореме Вейерштрасса функция Х ограничена ца [о; Ь], поэтому ее верхняя и нижняя грани числа, и имеет смысл говорить об отрезке [пц ЛХ]. По второй теореме Вейерп1трасса, существуют х1,хз Я [а,Ь] такие, что Х(х1) = т, Х(хз) = ЛХ.
Допустим, что х~ < тз. По теореме о промевкуточных значениях, на отрезке [х1, хз] найДетсн число ~ такое, что Х® = С. Если х1 > хгы то теоРемУ о промежуточных значениях следует применить к отрезку [хз,х1]. Если же х1 — — хз, то ьч = ЛХ, а Х . постоянная, и в этом случае утверждение очевидно. А П р имер 5. Пусть а > 1, Ь > 1. Доказать, что уравнение а" +Ь" =х (1) задает единственную непрерывную функцию у(х), определенную на (О;+ос). А Функции аи и Ь" строго возрастают и непрерывны на Н. Значит, и их сумма строго возрастает и непрерывна на й.
Вроме того, !пп (аи + Ь") = О, 1пп (а" + Ь") = +со. в у — ьВ-ос В силу этого по второй из указанных теорем о непрерывности обратной функции существует функция, обратная к функции а" + Ь", Гл.2. Предел и непрерывность функции 200 р Е 22Г, определенная, строго возрастающая и непрерывная на 101 +СО). Этот результат можно выразить и иначе: уравнение 11) для любого х > О имеет и притом единственное решение у, непрерывно зависящее от х и строго возрастающее с ростом х. А Пример 6. Доказать, что последовательность, заданная рекуррентным способом: хг = О, х22.21 = соях„, и Е й1, сходится и ее предел является ре- 2 шепнем уравнения х = соя х.
а Очевидно, хо и все члены с Рис. 10.4 большими поморами удовлетворяют условию О < х„< 1, и Е /Ч, т. е. данаая последовательность ограниченна (рис. 10.4). При и, > 3 преобразуем разность: Еп — 2 ' Хп Ьзп — 2 х„,1 — х„1 — — сояхп — сояхп 2 = — 2яш ' яш 2 2 Поскольку х, ц- х О< хп хп 2 <1 2 ХП Хп — 2 2 имеем Хп Ц- Хп-2 яш >О, Следовательно, Хп Хп — 2 Я1Кп (Язп 1 = Я1Кп Гхп — хп 2), 2 я1КП 11Хплм — Хп — 1) = — яКП (Хп Хп,— 2) при п>3, апри п>4 ь1Кп ьхп-21 хп — 1) = — ) — ЯКп(х„1 — хп з)) = ЯКп)хп-1 — хп — з) (2) Рассмотрим подпоследовательность 1хзь 1) с нечетными номерами.
Имеем хз = СОяхе = СОяСОяО = СОя 1 > О, хз = соя хз = соя соя 1 < 1, т. е. хз < х2; отсюда и из Г2) заключаем, что 1хзь) убывающая последовательность. Таким образом, подпоследовательности 1хзь 1) и 1хзз) ограниченны и монотонны, следовательно, они сходятся. Обо- значим 11ш х2ь 1 =о, Ь вЂ” 2СС 1пп хзь = 6. Ь вЂ” 2СК т. е. хз > хг. Отсюда и из 12) по принципу математической индукции следует, что 1хзь 1) возрастающая последовательность: хзе+1 > > хзь 1, Й Е Я.
Для подпоследоватсльности с четными номерами Ехзь) имеем 410. Непрерывность функции 201 Из Равенства хвв = сов хвь ы й е Й, в силУ непРеРывности фУнкции совх следует, что Ь = 1пп хву = 1пп совхвв 1 — — сов [ 11ш хвн г) = сова, в — ~ж к — ~ее у — ссю а из равенства хввч 1 — — сов хвы Й 6 И, следует, что а = 1пп совхвв = соя [ 1пп хвь) = соя 6, Н вЂ” ~ее  — ~се т. е.
6 = соя а, а = сов Ь. [3) Заметим, что поскольку О < х„< 1, и Е 61, то и О < а < 1, О < 6 < 1. Из соотношений [3) длн разности а — Ь имеем а — Ь . а-~-Ь а — Ь = совЬ вЂ” сова = 2вш в1п 2 2 Учитывая, что О < [а+ Ь)/2 < 1, а следовательно, а+Ь О<вш <в1п1 2 и что а — 61< и — 6 вп1 получаем [а — 6[ < [а — Ь[.
в1п1. Это возможно лишь, когда [а — 6[ = О, т. е. а = Ь. Итак, обе подпослеДовательности 1хзк) и 1хзв д) схоДЯтсЯ к оДномУ и томУ же пределу а, значит,и вен последовательность 1х„) сходитсн к этому пределу. Из (3) и того, что а = Ь, вытекает, что этот предел является решением уравнении а = сова. А ЗАДАЧИ 1. Пусть функция 2 определена в окрестности точки хо. Ее приращение 1л2 Явлнетсн бесконечно малой функцией приращения аргумента схх при сух — г О. Верно ли, что функция 2 непрерывна в точке хоГ Верно ли обратноеГ 2. Пусть функция 2 определена в окрестности точки хо.
Сформулировать на "нзыке - †отрицание того, что: а) 1пп 1[х) = )[хо); б) 1пп ст1 = О. е — ~ко сте — се 3. а) Пусть функция 2 определена на промежутке (а:хо1 Сформулировать на "языке в — 6" отрицание того, что г' непрерывна слева е точке хо б) Пусть функция 2 определена на промежутке [хо, 6). Сформулировать на "нзьпсе в- д" отрицание того, что 2 непрерывна справа в точке хо. 4. Пусть функции 2 определена в окрестности точки хо. Может ли функции быть непрерывной в точке то справа и быть не непрерывной в ней слеваГ 202 Гл. 2. Предел и непрерывность функции Ь. Доказать, что функция у(х) непрерывна в каждой точке сноей области определения, если: 1) У = 2х — 1; 2) У = хз; 3) У = ьсх; 4) д = 1ссх; 5) у=ах+5, ау'.-0; 6) у=ф 7) у=хе.
8) у з~хх 9) у = 1/хз. 6. Доказать, .пользуясь нераненстном ~ зшх~ < ~х(, непрерывность функции у в каждой точке области определения, если: 1) у = гйпх; 2) у = совх; 3) у = е1п(ах+ 5). 7. Сформулировать на "языке е — 5н определение непрерывной: 1) слева; 2) спрана в точке хо функции; и записать его, используя символы 5, К 8. Доказать, что; 1) функция ~Л вЂ” х непрерывна в каждой точке хо ( 1 и непрерывна слева в точке хо = 1; 2) функция хЕ(х) непрерывна справа в каждой точке хо = и, п Е л.
9. Доказать, пользуясь свойстнами предела и результатами задач 5, 6, непрерывность функции у(х) в каледой точке области определения, если; 2х — 1 3 1) у= .,; 2) у= 18х; 3) д=х-+2ешх; хе+2' 4) д=ьсхаш2х; 5) д=х", пЕИ; 6) у=11хп, пбр1 10. Доказать, пользуясь монотонностью функции у = а', х Е Й, и тем, что 1пп а~О' = 1 (см.
2 8, пример 9 и задачу 60), непрерывность и — > оо в каждой точке х Е Й фуцкпии у = а', х Е Я. 11. Функция 7 определена в окрестности точки хо, кроме самой точки хо. Доопределить функцию 7, задав 7(хо) так, чтобы получившаяся функция была непрерывна в точке хс, если: ,з 1) У(х) =, хо = -1; 2) У(х) =,, хо =1; 5) У(х) = хс18х,. хо = 0; 6) У =,, хо = О.
12. Сформулировать определение непрерывной в точке функции, используя определение предела функции по Гейне (т. е. на языке последовательностей). 13. Доказать, что если функция непрерывна в точке, то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки. 14. Пусть функция г" непрерывна в точке хо и 1(хо) р': О. Доказать, что сушсствуют число С ) 0 и окрестность точки хо такие, что для любого х из этой окрестности верно неравенство ~Г(х)~ ) С. 2 10. Непрерывность функции 200 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
