1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Последовательности (а,„) и (Ь„) таковы, что 0 < а„ < 1, 1пп ан = 1, 0 < Ь„< —, сояЬ„= а„. Найти 11пг к Ь„ о — гсо 2 ' н — гсо ьггг — ао ОТВЕТЫ 11. 1) 7( — 1) = — 2; 2) 7(1) = З,г2; 3) 7(0) = 1г2; 4) Д(0) = 1; 5) ДО) = 1; 6) ДО) = 1гг2. 15. У(хо) = О. 18. 1) х = О, гз7" (0) = 2, х = 2, сь7" (2) = — 10; 2) х= — 2, АД вЂ” 2)=2; 3) х = — 2, т = 2 -- точки разрыва 2-го рода; 4) х = 0 — точка разрыва 2-го рода, х = 1, 212"(1) = — 2; 5) хе=и, два(п)= — 1, пЕЕ; 6) хо = п, и Е х, тачки разрыва 2-го рода; 7) х = О, х = 1 точка разрыва 2-го рода; 8) х = — 1, сз7" ( — 1) = О, х = 1, гз7" (1) = — 2, х = 0 точка разрыва 2-го рода; 9) хо = гГг2+ лп, и Е х, — точки разрыва 2-го рода; 10) х = О, гл7"(0) = О, х„= лп, п 7': О, и Е х, точки разрыва 2-го рода.
19. 1) а =О, 2) а = 1ГЗ; 3) не существует; 4) а = — 1. 20. 1) а = 2, Ь= — 1; 2) а= 1, Ь= — 1; 3) не существуют; 4) а=1, Ь=л,г'2. 25. 1) 7" о д непрерывна, у о 7" разрывна в точке х = 0; 2) Г" о у разрывна в точках х = О, х = х1, .д о 7" непрерывна; 3) 7' о д разрывна в точке х = — 1, д о 7 разрывна в точке х = 1; 4) 7" од и д о 7" непрерывны.
51. 1) у =соягх х Е ( — лгг2 л,г2) 2) *= ьггГ+у~ д Е Я Гл. 2. Предел и непрерывность функции 3) П= — 1п(1 — е *), х>О иди х= — 1п(1 — е и), у>0. 52. хс(П) = — хз(у) = ~/уз~+ 1, П Е Я, ус(х) = — дз(х) = осхз — 1, ]х] > 1, уз(х) = — уе(х) = тссхнз — 1е18пх, ]х] > 1. 53. 1) .5) Не будет.
56. 1) (х Е Я: х р'= 0), х = 0 - точка разрыва 1-го рода; 2)(х б Я; х ф О, х р': 2), х = О, х = 2 точки разрыва 1-го рода; 3) (х е Я: х ф О), х = 0 --. точка разрыва 2-го рода; 4) (х 6 Я: х ~ — 1, х ~ 1), х = — 1 точка разрыва 1-го рода, х = 1 точка разрыва 2-го рода; 5) (х Е [ — 1,:4]: х ф Ц, х = 1 точка разрыва 1-го рода; 6) (х е ( — пг/2; н]: х у'= х/4), х = хсс4 --- точка разрыва 1-го рода. 57. 1) х = — 3, х = 2 точки разрыва 2-го рода, 2) х = — 1, х = О, х = 4 точки разрыва 2-го рода, 3) точек разрыва нет; 4) х = — 1 точка устранимого разрыва, Д( — 1) = 1(3; 5) х = 1 точка разрыва 2-го рода, х = О, х = 1 точки устранимого разрыва, Д(0) = — 1, 1" (1) = 0; 6) х = — 2 ..
точка разрыва 2-го рода, з: = 1/2 . точка устрани- мого разрыва, 1(1сс2) = 2/5; 7) х = 1 точка устранимого разрыва, 1(1) = — 1/4. 58. 1) х = т,с2+ ха, и Е Е, — точки разрыва 2-го рода; 2) х = 0 --- точка устранимого разрыва, ф(0) = 0; 3) х = 0 точка устранимого разрыва, ДО) = 1сс2; 4) х = 0 . точка разрыва 2-го рода, х = 1 . точка устранимого разрыва, Д(1) = — х/2; 5) х = .т/2+ е~, и Е л, — — точки разрыва 2м о рода, х = нсн и Е Е л, точки УстРанимого РазРыва, 1(нгь) = ( — 1)н3сс2. 59. Ц х = 0 точка разрыва 2-го рода; 2) х = 1 - точка разрыва 2-го рода; 3) точек разрыва нет; 4) х = 1 точка разрыва 2-го рода; 5) х = 0 точка разрыва 2-го рода; 6) х= О, т, = 2 точки разрыва '2-города, х=1 . точка устра- нимого разрыва, .г"(1) = 0; 7) х = — 1, х = 1 точки разрыва 2-го рода; 8) х = 0 точка устранимого разрыва, ДО) = 0; 9) .т, = 0 -- точка разрыва 2-го рода.
60. 1) х = — 1, х = 3 — точки разрыва 1-го рода, ЬГ"( — 1) = — 2, слг"(3) = 2; 2) х„= и/2+ хп, п 6 Е, точки разрыва 1-го рода, ЬД(хн) = 2( 1)н-~- ~ . 3) х, = пн п Е Е, — точки разрыва 1-го рода, с1у"(хн) = 2( — 1)";. 4) х = 0 точка разрыва 2-го рода, х„= Цп., и Е Е, точки разрыва 1-го рода, с11'(х„) = 2( — 1)н 5) точек разрыва нет; 210. Непрерывность фуннции 221 6) х = 0 точка разрыва 1-го рода, глав(0) = л; 7) х = 0 . точка разрыва 1-го рода, сл7"(О) = 0; 8) х = 0 точка разрыва 1-го рода, слг"(О) = 4гги, 9) х = 0 --.
точка разрыва 1-го рода, ел гг(0) = 2; 10) т, = 1 точка разрыва 1-го рода, ЬД1) = — 1; 11) х = 0 точка разрыва 1-го рода, гзг"(0) = 2; 12) х = 0 - - точка разрыва 1-го рода, гл г" (0) = О. 62.Ц а=п; 2) а=1гг2: 3) а= — 2; 4) а=1; 5) а=1пс; 6) а = 1гг2; 7) а = 1; 8) а = 0; 9) а = 0; 10) а = е. 63. 1) Нельзя; 2) нельзя; 3) у(0) = 0; 4) у(1) = 1гг4; 5) нельзя. 64. 1) Область определения й, непрерывна на ( †; — 1), ( — 1;1) и (1; +ею); х = — 1, х = 1 --- точки разрыва 1-го рода; 2) область определения х ф. 1; непрерывна на ( †; — 1), ( — 1; 1) и (1, +со), х = — 1, х = 1 точки разрыва 1-го рода; 3) область определения х ~ гт + 2-гп, п б х; периодична с периодолг 2тт; непрерывна на (2лп;тг+ 2ятг) и (я+ 2тгп;2л(п+ 1))., п, е х; х = нтг, п, Е х, точки разрыва 1-го рода; 4) область определения Ят непрерывна на ( — лггб+ япо л/6+ лп) и (гтгг6+ ттп; 5я/6+ ггп); и 6 х; х = хл/6+пот, и Е х, точки разрыва 1-го рода; 5) область определения Я; непрерывна на ( — со; 0) и (О;+со); х = = 0 точка разрыва 1-го рода; 6) область определения й; непрерывна на ( — со; 0) и (О;+со); х = = 0 точка разрыва 2-го рода; 7) область определения Й; непрерывна на Й; 8) область, определения х ф ттп.
а Е х; непрерывна на (игг;.г/2 -Ь + лп); х = 0 .- - точка устраниыого разрыва, х = ттп(2, и, ф О, и, Е Е,-- точки разрыва 1-го рода; 9) область определения Й; непрерывна на Й; 10) область определении Я; непрерывна на ( — со; 0) и (О;+ос); т, = = 0 -.— точка разрыва 1-го рода. 65.х= — 1, х=1. 67. Непрерывна в каждой иррациональной точке, каждая рациональная точка точка устранимого разрыва. 68.
7 од непрерывна на й, до 7 непрерывна в точке х = 1, разрывна в остальных точках. 99. 0,2. 109. 3) 8, 4) 2". 111. 1) 7(х) = х; 2) Д(х) = хгг4; а Ь 3) если,'3 ф — а, то 7(х) = х+ —, если В = — ат то Решеа-~-Д 2' ние существует только при а = 0 и Д(х) = со(х) + Ь,Г2, где гр(х) произвольная непрерывная, нечетная функция: 4) ~(х) = х + С, С Е й; 5) 7(х) = х; 6) Д(х) = х + С, С Е й. 112. Д(х) = х -ь -ь го(х), где; Аа+ ВВ А+ В Гл.2. Предел и непрерывность функции если ~о/~3~ = 1 или ~о/Д < 1 и ( — ~ > 1, то уо(х) = О, х Е Я; В если ~о/,3~ < 1 и ~В/А( < 1, то со(х) = хччЬ (1пх), х > 0; ~р(х) = ~х~чфр (1п(х!), .х < 0; р(0) = О, где в = 1о8~ 7з~ )В/А(, и если а/р > О, то фв(1) произвольные непрерывные на Я функции, удовлетворяющие условию фт(Г) = — фт(1+ 1п(фск)) з18пАВ, т 5 Я (периодичность при АВ < О, антипериодичпость при АВ > 0), а если о/Ь' < О, то чрь(ь) — — произвольная непрерывная на Я, периодическая с периодом 21п ~о7а~ функция, (г) = — укь(т+ 1п ~сл/Я а1пп (АВ).
При ~о/Д > 1 в приведенном ответе следует поменять местами а и,З,АиВ. 113. 1) а > 1/4:, 2) а > 1/4. 114. Если а р'. -О, то (Ь вЂ” 1)' < 4ас; если а = О, то Ь = 1. 115.1) 7'(х)=ах, абй, хай. 116. ('(х) = е", а Е Я, и ф(х) = О, х Е й. 117. 1) 7(х) = а1пх, 2) ф(х) = х', а Е Я, и ~(х) = О, х Е Я. 118. 1) 7(х) = совах, а Е Я, и 7(х) = О, х Е Я; 2) г'(х) = с1тах, а Е Я. 119.
7(х) = сопвс, х Е Я. 137. х = 7" (7" (х)). 139. 1пп хрь = — 1, 1пп хгь 1 — — 1. 143. 3) н. 144. 1) 0; 2) х,16; 3) х/3; 4) 0; 5) 1; 6) 1. 146. О, если а1 < аг, едь' ьН7п, если а1 = аг = а; +ос, если а1 > > аг. 147. 1) е'; 2) е~', 3) тlаЬ; 4) емьеОп7г; 5) исе; 6) (а1пх)/х при х~О; 1 при х=О; 7) 1; 8) 0; 9) 0; 10) е 148. у'2.
х 11. Асимптоты и графики функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Использование понятия предела часто позволнет более точно отразить свойства функции при построении ее графика. Перед построением графика следует выяснить, имеет ли функция левые или правые пределы (конечные или бесконечные) в концевых точках своей области определения и в точках разрыва. Если функция имеет предел при х -+ хе (х -+ хе + 0 или х ь хо — 0), то иногда удается, используя метод выделения главной части, установить "схожесть' ее графика в окрестности точки хо с графиком более простой функции. Например, если 1пп 7(х) = 0 и если д(х) главная часть функции при х — ьхо, л-~ко СС11. Асимптоты и графпки функций У(х) = д(х) + о(д(хИ, (1) где 1шс д(х) = О, то график функции г"(х) осхолсо с графиком функг-«о'о ции д(х) в окрестности точки хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
