1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Доказать, что уравнение хп = Ри,[х), где Р„,[х) мпогочлен [п — 1)-й степени с положительными коэффициентами, имеет единственный положительный корень. 103. Доказать, что: 1) уравнение а~ ае ас + + — — О., где а~ > О, аз > О, аз > О, Л~ < Лз < Лз, имеет по одному действительному корню в интервалах [ЛШ Лз) и (Лз, .Лз); Гл. е< Предел и непрерывность функции 2) уРавнение Е., — , где а~ > О (у = 1,2,...,.п), Ле < Лз < ... < Л„имеет по одному действительному корню в интервалах (Л,: Л ьг) О = 1, 2, ..., п — 1). 104.
Доказать, что уравнение имеет и притом единственное решение: 1) х 2к=1; 2) хил=2; 3) хр азшх+а, 0<с<1; 4) хз агсгдх = а, а ~ О. 105. Доказать, что уравнение х = а зш х + Ь, где 0 < а < 1, Ь > О, имеет по крайней мере один корень на (О:, а+ Ь). 106. Доказать, что уравнение 10' ' = х имеет только один корень хо Ф 1.
107. Доказать, что уравнение 2' = 4х имеет по крайней мере два действительных корня. 108. Доказать, что уравнение хзшх — 0,5 = 0 имеет бесконечно много решений. 109. 1) Доказать, что существует бесконечно много функций, определенных на (а; Ь) и удовлетворяющих уравнению д' = 1. 2) Пусть 1 — непрерывная и пологкительнан на (а; Ь) функция. Доказать, что существует единственная непрерывная на (а; Ь) функция д = ~р(х), уцовлетворяющая уравнению дз = Пх) и условию, что фхо) > 0 в некоторой точке хо б (а;Ь). 3) Сколько существует непрерывных на й функций, удовлетнояющих авнению Р УР д =(х — 1) Г 4) Сколько существует непрерывных на отрезке [О;гь), и Е И, функций, удовлетворяющих уравнению д" + 2д + созе лх = ОГ 110.
Доказать, что существует единственная непрерывная функция д(х), удовлетворяющая уравнению д = агсс18хд, х Е гт. 111. Найти все непрерывные на й функции Г', удовлетворяющие условию: для любого х Е Й нерио равенство: 1) ф(х/3) + ((2х/3) = х; 2) Д(х) + ((Зх) = х; 3) д" (ах) + Щх) = ах + Ь, ар' р': О; 4) у (Зх) — д'(2х) = х; 3 с(хз) + е(х) , з + . 0) е( д) с(х) з В 10. Непрерывность функнии 112. Найти все непрерывные на Я функции 1 такие, что для лю- бого х 6 й верно равенство Аг'(ах) + Вг"(Вх) = ах+ Ь, где асгВАВ ф О, Аа + В,У ф- О, А + В ~ О. 113. При каких а существуют непрерывные па Я функции отличные от постоянной, такие, что для любого х 6 Я: 1) 1(ха+ сг) = Дх); 2) ~(ахг+1) = ((х)Г 114.
При каких а, Ь, .с существует непрерывная на й функция 1, отличная от постоянной, такая, что для любого х Е Я г(ахз + Ьх+ с) = 1(х)Г 115. 1) Найти все непрерывные на й функции 1, удовлетворлю- щие для любых х,у Е Я равенству г(х+У) = г(х) +1(у). 2) Привести пример разрывной функции 1, удовлетворяющей для любых х,у Е Я раненству г (х+ у) = г'(х) + ) (у). 116. Найти все непрерывные на й функции, удовлетворяющие для любых х, у б й равенству г(х+ у) = г"(х)г'(у).
117. Найти все непрерывные на (О;+ос) функции, удовлетво- рлюшие для любых х, у Е (О;+ос) равенству: 1) ((ху) = ~(х)+((у); 2) ~(ху) =((х)((у). 118. Найти все непрерывные на й функции, удовлетворяющие для любых х, у Е й равенству г'(х+ у) + г'(х — у) = 2г'(х)г" (у) и условию: 1) 1(х) ( 1; 2) 1(х) > 1. 119. Найти все непрерывные на Я решения функционального уравнения 1(х+ 1(х)) = 1(х), х Е Я. 120.
Функция Г' определена и непрерывна на Я, и для любых х, у 6 6 й верно равенство Доказать, что 1 --- линейная функция, т. е. существуют а и Ь такие, что 1(х) = ах+ Ь. 121. Доказать, что периодическая, непрерынная на всей числовой оси функцил., отличная от постоянной, имеет наименьший положительный период. Привести пример периодической функции, определенной на всей числовой оси и отличной от постоянной, которая не имеет наименьшего положительного периода. 122. Пусть 1 и д — непрерывные, периодические с периодом Т функции и Пш (Г"(х) — д(х)) = О.
Доказать, что Р = д. Гл. 2. Предел и непрерывность фуннчии 123. Непрерывная функция 7' имеет два несоизмеримых периода, Т, и Тз (т. е. Т1/Тз иррациональное число). Доказать, что 7 = = сопят. 124. Построить непрерывные на Н функции Г" и д такие, что для любого Т > 0 функции г'(х + Т) и д(х) различны, но для каждого е > 0 существует Те > 0 такое, что длн любого х Е Я верно неравенство ]1(х -ь Т,) — д(х)] < ю 125.
Пусть функция 7" непрерывна на [ — 1; Ц и ]7"(х)] < 1, х Е Е [ — 1: Ц, Доказать, .что функция 7(х) — соз(п втсхоз х), и Е И (см, задачу 227, у 7), не менее в раз обращается в нуль на отрезке [ — 1;Ц. 126. Пусть Р(х) = 2" 'х" +а1х" '+ ., + оп, Доказать, что найдется ~ Е [ — 1; Ц такое, что ]Р(у)] > 1. 127. Функция 7" непрерывна на [О, Ц и 7(0) = 7" (1) = О. Доказать, что существует непрерывная, выпуклая вверх (задача 237, з 7) функция д такая, что д(0) = д(1) = 0 и д(х) > 7'(х) на [О: Ц. 128.
Функция 7" непрерывна и периодична с периодом Т. Доказать, что есть такая точка хе, что У(хо+Т!2) = У(хо) 129. Функция г непрерывна, монотонна на [О; Ц, и г"(0) = О, г" (1) = 1. Доказать, что если длн некоторого в Е Х при любом х Е [О; Ц (о го...о г(х) =х, то и 1(х) = х на [О; Ц. и рее 130. Пусть функция 7" непрерывна на [О; Ц и множество ее значений содержится в [О; Ц. Доказать, что существует точка с Е [О: Ц такая, что 7"(с) = с (всякое непрерывное отображение отрезка в себя имеет неподвижную точку).
131. Пусть 7" и д определены и непрерывны на отрезке [а;6] и 7(а) < д(а) и 7(6) > д(6). Доказать, что имеется точка с Е (а;б) такая, что Г(с) = д(с). 132. Функции г" и д определены и непрерывны на [О; Ц и (од = = д о 7. Доказать, что существует точка с й [О; Ц такая, что ((с) = = д('). 133. Непрерывные функции г" и д отображают отрезок [О; Ц на самого себя. Доказать, что существует точка с Е [О; Ц такая, что 7(д(с)) = д(ф(с)). 134.
Функция 7" непрерывна на й и 7(7(х)) = х для любого х б й. Доказать, что существует точка с, в которой Г(с) = с. у 10. Непрерывность функции 135. Привести пример функции; 1) непрерывной на интервале (О;1); 2) непрерывной на Н, для которой уравнение /(х) = х: не имеет решений. 136. Функция / монотонна, непрерывна на [О; Ц и 0 < /(х) < 1 для любого х Е [О; Ц. Доказать, что для любого аг б [О; Ц последовательность аы аоьг = /(ап)., и, б И, сходится к одному из решений уравнения /(х) = х.
137. Пусть функция / непрерывна на [а;Ь], и пусть определена последовательность (хп): хо б [а;6], х„ = /(х„ г), и Е И (т. е, для любого п б И /(хп г с [а;6]). Доказать, что: 1) если / возрастает, то (х„) -- люнотонная последовательность и существует Рйп х„ = с такой, что с = /(с); и — ьы 2) если / убывает, то (хгь) и (хеь г) — монотонные подпоследовательности, имеющие пределы. Получить уравнения для этих пределов. 138.
Функция / строго возрастает, а функция д строго убывает на [а; 6] и Е(/) й Е(д) р': ~. 1) Доказать, что уравнение /(х) = д(х) имеет и притом единственное решение. 2) Пусть хо е [а;6] таково, что /(хо) б Е(д), и для любого п 6 И уравнение д(х„) = /(хп г) имеет решение хио т. е.
определена последовательность (х„). Доказать, что подпоследовательности (хзв) и (хзь г) сходятся, каждая к одному из решений уравнения д г(/(х)) = = У '(д(х)). 139. Для последовательности (хи), заданной рекуррентным способом: хг — — 1/2, хив г = /(х ), и, 6 И, где (2 — Зх)/5, х < — 1/6, /(х) = — Зх, [х] < 1/6, — (2+ Зх)/5, х > 1/б, найти пределы подпоследовательностей (хаь) и (тгь г). Построить график функции / и показать на рисунке построение пяти первых членов последовательности. 140.
Функция /, определенная на Я, удовлетворяет условию Липшица: существует 6 > 0 такое, что для любых хм хг б й верно неравенство ]У(хг) У(хг)[ < Ь[хг хг[. Доказать, что осли Й < 1, то существует и притом только одно решение уравнения /(х) = х. 141. Множество значений функции /, определенной на [а;Ь], со- Гл.2. Предел и непрерывность функции держится в [а; Ь].
Для любых х,у Е [а; Ь], х ф у, верно неравенство [У[х) — /[у)[ < [ — у[ 1) Доказать, что уравнение /[х) = х имеет и притом единственное решение с. 2) Пусть хо й [а:Ь], х, = /[хп г), п е И. Доказать, что: а) последовательность 1[х„— с[) убывает и имеет предел !пп ]хп — с[ = й: б) сУществУет подпоследовательность ]хпь), сходнщаЯсл к аг., Рав- ному либо с+ Ь, либо с — г3; в) [/[г)) — с[ = гл и сл = О, .т.
е. 1пп хп = с. и — ьос 142. 1) Доказать, что уравнение гдх = а/х, а > О, имеет на каж- дом интервале [ — и/2+ пп; и/2+ пп), и Е И, одно решение. 2) ПУсть хп Решение УРавнениЯ тих = а/х, а > О, из иптеРва- ла [ — и/2 ч- пп; и/2 ч- пп), и, й И. Доказать, что 2а ь,.—, и. 143. 1) Доказать, что уравнение гбх = ах, а > О, имеет на каж- дом интервале [ — гг,г2+ пи; гг/2+ пп), и Е И, одно решение хп, 2) ПУсть хп -- Решение УРавнениЯ !йх = ах, а > О, из интеРва- ла [ — и/2+ пгг; и/2+ пп), и Е И. Доказать, что при всех достаточно больших п Е И гг 2/а О < — + ггп — х„< гг в+ тГп+ и — гг 3) Найти !шг [хпег — тп), где последовательность )хгг) опредеи-пес лена в Ц и 2). 144. Для последовательности, заданной рекуррентпым способом, доказать существование предела и найти его: 1) хг Е 11., хпцг — — в!пхп, и Е И; 2) хг = О, хпжг = хп — ашхи + 1/2, и Е И; 3) хг — — г/2, хпег = уп+ соахп — 1/2, и е И; 4) хг Е гг, х„ьг = агс$3хп п 6 И; 5) хг = О, хпжг = хп — агсгбх„+ и/4, п Е И, 6) хг — — 2, .хпч г = 1+ !пхп, п е И.
1 145. 1) Пусть 1пп хп = оо. Доказать, что !шг ]1+ — / = е. и — гоп 1 — ьсо хи 2) Пусть !гпг хп = О, х„~ О. Доказать, что !пп [1+ хп)'~'" = е. и — ьыь п — гоп 146. Пусть аг,а, Ьг, Ьз Е Я. Исследовать на сходимость послсдо- вательность 9 10. Непрерывность функции 2Щ и найти ее предел, если он существует. 147. Использун непрерывность соответствующих функций, вычислить предел последовательности: 1) ( (1 + — о ) ), если 11гп х„ = х 6 Я; 2) ((соя — + Ляш — ) ), где х, Л Е Я; 3) ((" + )"), где >О, Ь>01 4) (((1+ — )(1+ — )...(1+ — )) ), где ЬЕИ, об Я; о) ( (1 + ) (1 + )...(1 + ) ), 6) ( соя соь я.соя 7) (гйп (л/в'"+ и)); 8) (и — ); 9) (п — с18 — ); 10) ((соя(хггтггп))"). 148.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
