1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Функция ( непрерывна в точке хо, и в любой окрестности этой точки имеются как значения х, в которых функция положитель- на, так и значения х, в которых функции отрицательна. Найти ((хо). 16. Пусть функция определена в окрестности точки хо. Сформу- лировать, используя символы Л, '55, утверждение, что функция не является непрерывной в точке хо. 17. Доказать, что функция ( не является непрерывной в точ- ке хо, построить график этой функции, если: (х+1, х>0, 1) 5(х)='( 2 <О хо=О; 2) ((х) = ~ О = 0 (1ггх, х фО, 3) ((х) = зал (х+ 1), хв = -1; 4) ((х)=~ '' ' ' хо=О; 5) 1(х)=Е(х), хо=2.
18. Найти точки разрыва функции, установить их род, найти скачки функции в точках разрыва 1-го рода, построить график функ- 15'(х — 1), х < О, 1) ((х) = (х + 1)г, О < х < 2, 2) у = 1 — х, .2 <х; 3) у=,,; 4) у=,,; 5) у=х — Е(х); 1 (х 5- Ц вЂ” (х — 1) х — Е(х) ' хг т 8)у — ~ ( ) 9)у= (в5аа(х+ 1))е(х+ 1+ (х — 1) в58пх) ' сов х ' 10) у = 19. Установить, существует или не существует значение а, при котором функция ( непрерывна в точке хо, если: 1) ((х) = 5 х""(15 х) х Ф О,. = О '( а, ( 1-Ьх 2) ((х) = 1 -Ьхз' ~ ' хо = -1' ао х= — 1, <О хо— 4)Х(х)= '.(."',) .*,-'О ' =О 20.
Установить, существуют или не существуют значения а и Ь, при которых функция ( непрерывна на своей области определения, Гл.2. Предел и непрерывность функции если: (х — 1)з, х< 0, 1) 1(х)= ах+Ь, 0<х<1, тУх, х>1; (х, Ц<0, 2) Х(х) =1 з+ах+Ь ~, ~ > 1 3) ~(х) = 4) У(х) = а, Ь, 21. Доказать, что осли функция монотонна, то всякая оо точка разрына является точкой разрына 1-го рода. 22.
Доказать, что функция ) 1, если х рациональное число, ( О, если х иррациональное число, разрывна в каждой точке. 23. Доказать, что функция ) т, если х --. рациональное число, ( О, если х --. иррациональное число, непрерывна в точке х = 0 и разрывца в остальных точках. 24. Доказать непрерывность функции в канедой точке ее области определении: 1) у = Зхь + 1/хз: 2) у = айх; 3) у = ч'тз — бх"'; 4) д = „ ,; 3) у = соз(т — чсà — хз); 6) д = хе~и" *П*. 25. Исследовать на непрерывность функции 1(д(х)) и д(л (х)) в точках, где определены эти композиции, если; 1) 1(х) = яйпх„д(х) = 1+ хз; 2) ((х) = яйпх, д(х) = хз — х; 3) 1(х) = яцп(х — 1), д(х) = яцп(х+ 1); 4) 1(х) = я3пх, д(х) = 1+ х — Е(х).
26. Доказать, что многочлен непрерывная в каждой точке функция. 27. Доказать, что функция у = " , где Р и 1) . ненулевые Р(:г) многочлены, непрерывна в каждой точке хо, где ьу(хо) ~ О. 28. 1) Функция 1 непрерывна в точке хо, а функция д разрывна в точке хо. Доказать, что функция Г+д разрывна в этой точке. у 1О. Непрерывность функции 206 2) Привести пример разрывных в точке хо функций ~ и д, сумма которых: а) разрывна в точке хв, б) непрерывна в точке хо. 29. 1) Привести пример непрерывной в точке хо функции 1ь и разрывной в точке хо функции д, произведение которых: а) разрывно в точке хо, б) непрерывно в точке хо.
2) Привести пример разрывных в точке хо функции Г' и д, произведение которых: а) разрывно в точке хо, б) непрерывно в точке хо. 30. Привести пример непрерывных в точке хо функций г и д, частное 11'д которых разрывно в точке хо. 31. Доказать правило замены переменной для пределов непрерывных функций: пусть функция у = д(х) непрерывна в точке хо, а функция ((у) непрерывна в точке уо = д(хо), тогда 1цп )'(д(х)) = 1пп 1(у). 32. Доказать перестановочность знака предела и знака непрерывной функции: пусть для функции д = д(х) существует предел 1ии д(х) = ув, а функция 1"(у) непрерывна в точке ув, тогда в некоеыеа торой окрестности точки хо, исключая, быть может, саму эту точку, определена композиция Г(д(х)) и существует 1'(д(х)) = П,1' и д(хИ = аде) 33.
Исходя из непрерывности показательной функции доказать непрерывность гиперболических функций: 1) у= с1зх; 2) у= 1Ьх; 3) у= сгЬх, 34. Исходя из непрерывности показательной функции доказать непрерывность логарифмической функции у = 1оц,х, а > О, о ф 1. 35. Исходя из непрерывности тригонометрических функций до- казать непрерывность обратных тригонометрических функций; 1) у = атсзш т; 2) у = агссоз х; 3) у = агс18 х, 4) д = агсщ18 х. 36. Исходя из непрерывности показательной функции доказать непрерывность степенной функции у = тн (х > О, .д Е й). 37. Доказать, что если у = г'(х) — . непрерывная функция, то не- прерывны и функции у = )У(х)~ у = Ях0. 38. Пусть г" непрерывная на промежутке Х функция. Дока- зать, что функции /1(х), если 1(х) > О, .)'О, если ((х) > О, ( О, если ) (х) < О, 1 ((х), если 1(х) < О, непрерывны на промежутке Х.
39. Привести пример функции, непрерывной на каждом из про- межутков Хь и Хз, но не являющейся непрерывной на множест- 206 Гл.2. Предел и непрерывность функции ве Хг 0 Лг. 40. Привести пример непрерывной на интервале функции: 1) неограниченной на этом интервале; 2) ограниченной на этом интервале, но не достигающей ни своей верхней, ни нижней грани. 41. 1) Функция г" определена и непрерывна на отрезке [а; Ь], и все ес значения положительны. Доказать, что существует число д > О такое, что 1(х) > гг для любого х Е [а; Ь). 2) Привести пример функции г", непрерывной на интервале (а; Ь), принимающей лишь положительные значения и такой, что для любо- го д > О найдется значение )(х) < д,;г, Е (а;Ь).
3) Привести пример функции 1, определенной на отрезке [а;Ь), принимающей лишь полоясительные значения и такой, что для любо- го д > О найдется значение функции 1(х) < Гк х а (и; Ь). 42. Функция Г" непрерывна на интервале (а; Ь), ш= ш11, г1ф=апр(.
~тьг ~е;ь1 Доказать, что для любого у е (пг; ЛХ) существует х е (а; Ь), такое, что 1(х) = у. 43. Доказать, что если функция определена и непрерывна на от- резке, то множество ее значений --- отрезок. 44. Привести пример разрывной функции, определенной на отрез- ке и имеющей в качестве множества значений отрезок.
45. Привести пример непрерывной функции, которая принимает значения, равные 1 и 3, но не принимает значения 2. 46. Пусть функция определена и монотонна на промежутке и мно- жество ее значений промежуток. Доказать, что эта функпия не- прерывна. 47. Доказать, что уравнение хэ — Зх = 1: 1) имеет хотя бы один корень на (1;2); 2) имеет не менее трех корней на Я. 48. Доказать, что: 1) любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один дейст- вительный корень; 2) если многочлсн четной степени принимает хотя бы одно значе- ние, протиноположное по знаку коэффициенту старшего члена, то он имеет не менее двух действительных корней. 49.
Доказать, что уравнение х = у — кешу, где О < а < 1, задает одну непрерывную функпию у = ((х). 50. Доказать, что разрывная функция у = е" 61япх имеет непре- рывную обратную. 410. Непрерывность функции 207 52. Доказать, что система уравнений х = (1 + Цг)21, д = (г — Ц)21 определяет две непрерывные на Й функции т(д) и четыре непрерывные на множестве (х: )х~ > Ц функции д(х). 53. Пусть функция )" определена в окрестности точки хо. Будет ли фУнкцин 1 непРеРывной в точке хо, если: Ц Бв > 0 Бд > 0 Чх ()х — хо~ < б =у )7(х) — г(хо)~ < е); 2) ггб > 0 Зв > 0 )гх ()х — хо( < б =ь )1(х) — 1(хо)! < в): 3) дв > 0 Лб > 0 ))х Д ((х) — ((хоЯ < в ~ )х — хе! < б); 4) дб > 0 Ле > 0 ьУх Я(х) — Дхо)! < е =ь ~х — хо~ < б):, 5) Бв > 0 губ > 0 Чх (~х — хо~ < б =ь 1~(х) — )'(хо)~ < е) Г 54.
Функция г' определена в окрестности точки хо, и существует последовательность (е„) такая, что во > О, .и 6 Й, 1пп сп = 0 и для каждого е„существует б„> 0 такое, что если х 6 В(7) и )х — хо~ < < бп, то ) Г(х) — 1(хо) ~ < а„. Доказать, что функции 1 непрерывна в точке хо. 55. Функция 1' непрерывна в точке хо. Пусть Я(б) = зпр )", ) е а — б, е а -)-б ) в(б) = ш1 геа — б,еа-~-б) Доказать, что 1)пг(Н(б) — в(б)) = О.
ба о 56. Указать множество точек, в которых непрерывна функция, найти ее точки разрыва, установить их род, нарисовать график функ- ции 1 — х, х з 2) д= (х — Цз 0 4 — х, 2 ""= Ы"-Ц, <О, (х<2, <х; (хз+2, х < О, 1 д=1' (х — 1, х>0; С в 1/х, х< 0, 5х — хз, х>0; < 2а, — 1(х<1, 1, х=1, х — 1, 1<х<со; < соз х, — я)2<х<я/4, 1, х=я)4, хз — яз,)16 к/4 < х < гг. х< — 1, х> — 1; 3) д= 5) д= 6) д= 51. Доказать, что данная система уравнений определяет непрерывную функцию д(х) или х(д); построить график этой функции: 1 Ц х = агс1яу, у =,; 2) х = сйу, д = зЫ; 1+Ге ' 3) х = 1п(1 + с '), д = 1п(1 -)- ег).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
