1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Предел функции 3) Числитель и знаменатель при х — э оо являются бесконечно большими функциями. Поэтому теорема о пределе частного непосредственно неприменима. Разделим числитель и знаменатель на хз и к полученной функции применим теорему о пределе частного; е ) е йп) (1 — 4/х) 1пп, = 1пп — 1. х — хее хе — х — 2 х — хж 1 — 1/х — 2/х" !ш) (1 — 1/х — 2/хе) 4) Даннан функция представима в виде произведения двух функций /(х) = 1/(х+ Ц и д(х) = (хз — 4)/(х — 2). Функция /(х) = = 1/(х+ 1) при х г — 1 является бесконечно болыпой, функция д(х) = (хх — 4)/(х — 2) в окрестности ( — 3/2; — 1/2) точки х = — 1 удовлетворяет условию е = )х+ 2( ) —.
Отсюда следует, что функция /(х)д(х) является бесконечно большой при х -г — 1, т. е. х — 4 1цп, = со. а хх — ) хе — х — 2 Пример 4. Найти; х — а . т/х+ Г1 — 2т/х — 1 х — ~а т/х — т/а ' х)з хе — 25 3)В ™ 2; 4) В )Йх8*хе — х у*). ххс х х — )се О д 1) Здесь имеет место неопределенность вида †.
Преобразуем О данную функцию, разложив ее числитель на множители: х — а (т/х — х/а)(т/х+ т/а) х/х — т/а т/х — т/а Тогда 1пп ' = оп(т/х+ т/а) = Пш т/х+ т/га х — )е Ч/х — т/а х — )а х — )а Используя непрерывность функции т/х в точке а, получаем 1пп т/х = „1ш~ х = т/а х — )х Ч х — 'х и, следовательно, !цп = 2 т/и. х — ха х/х — х/а О 2) Для "раскрытия неопределенности" нида — умножим и разде- О лим данную функцию на т/хс+ 11+ 2ь/х — 1.
Тогда при х ~ 5 будем иметь т/х 4- 11 — 2~~х — 1 х + 11 — 4(х — 1) хе — 25 (хе — 25)(~/х + Г1 -Ь 2~х — Т) (х+ 5Пх/х+ 11+ 2х/х — 1) Гл. 2. Предел и непрерывность функции 178 К полученной функции применима теорема о пределе частного, поэтому ь/х+ 11 — 2~/х — Т 3 3 Так как 11 (7+3!х') = 7, «- !/! х ! Нг л ~6!! ° (! + ! Н') = !. то !! (нР ь в*х ь 3 — иР ье) = Т/2. Пример 5. Найти: япот,, 0 2) 1.
совЗХ вЂ” сов 7Х х — !О Х х — !О хв 4) !1ш 0182х. с18(п/4 — х). х — !л/4 А 1) Положив ох = у, согласно формуле (2) получим ) 11 вьсьхх х — ьо Х япох . япох . япу 1пп = о1пп = о1пп =о. х — !О Х х — ьО аХ В вЂ” !О У 2) Так как сов Зх — сов 7Х яп 5х яп 2х =2 хх х' х яп 5х 11ш хх 5, х — ьв х яп 2х 1пп х — ьо Х то по теореме о пределе произведении находим сов Зх — сов 7х 1пп х — ьв х 1шз х-ьв хв — 25 1пп(х + 5)(~/х + 11 + 2~/х — Ц 80 ххв При вычислении последнего предела мы воспользовались непрерывностью функции /х в точках х = 16 и х = 4. 3) Здесь удобно ввести новую переменную.
Положим у = ф32+х, тогда получим 1пп б/32+х — 2 . у — 2 . 1 =1пп . =11ш 1 * — ьо х и — ьз у" — 32 и — ьз у'+ 2ув+ 4уе+ 8у+ 16 80 4) В этом случае имеет место неопределенность вида со — оо. Преобразуем данную функцию следуюшим образом; /. ~ве ! — !!. ь* хв ж 8х -~- 3 — (х~ Ч-хв) 7 ь 3/хи'хь. +3+ огг ! 8!*вТН ' ! !/ *- 4 9.
Предел функции 3) Перейдем к новой переменной у = агсвях« тогда получим агс1ях . у . сов у !цп = 1пп ~ = 1пп л — «О х р — «О ряу р — «о я1иу р Так как функция сову непрерывна в точке у = О, то 1цп сову = 1. р- о вшу Согласно формуле !2) !пп ' = 1.
Поэтому по теореме о пределе р — «О у частного получаем сов у р — «я 1!рп Пи р,. в1и р Йш у р — «««у 4) Данная функция является произведением бесконечно малой при х — р я/4 функции с!я 2х на бесконечно большую функцию свя !я!4 — х).
В таких случаях говорят, что имеет место неопределенность вида О . оо. Для вычисления предела перейдем к новой переменной у = я/4 — х. Получим 1пп с!3 2х . с13 ( — — х) = 1пп с!я ( — — 2у) с!а у = е-«к««Л '«4 л «л- о «2 в1в 2у сову = !!ш 'в у сов 2у р — «о «и Так как 1цп ' = 2, а 1цп в1и 2у . сов у =1«то р — «о я1««у ' р — «о соя2у вш 2у сов у,.
в1п 2у . соя у 1пп = шп . 1пп =2. А р — «о вшу соя 2у р — «о вшу р — ш сов 2у Пример 6. Доказать формулы 1а ) О, а ф 1): 1оя„(1+ х) 1 . а — 1 1) !цп " = —; 2) 1!ш = 1па. л — «о х !па' л — «о х я 1) Запишем данную функцию в виде 1од„(1+ х)~д'. В силу непрерывности логарифмической функции 1пп 1ой,(1+ х) «л = 1од, 1пп!1+ х)'«*, к-«О е-«О и так как согласно форк|уле 13) 1цп11 -Ь х)'~р = е, то л — «О !1п«Ке ! + *) !ой. е е «о х " 1па 2) Для доказательства перейдем к новой переменной у = а' — 1. Тогда х = 1од,11+ у), и если х — ~ О, то и у — р О, поэтому ае — 1 у 1 1пп = 1пп — — 1па. А л — «о х р-«о 1ояе(1 -> у) .
1ел !1.~. у) р-«««р Пример 7. Пусть функции о!х) и Ях) таковы, что о!х) ф О и ,о1х) ф О в некоторой проколотой окрестности точки хо, 1пп о1х) = л — «ло бу, Предел функции где 1 = 1/хз -+ 0 при х -+ со, находим, что искомый предел равен ез/з/е '/з = ез (пример 7). 5) Представим данную функцию в виде 2 — х 2* — 2 — !х — 2) 2х — 1 х — 4 2 — 1 — 4 — 4 (х+ 2), х — 2 х — 2 х — 2 х — 2 где 1 = х — 2 -+ 0 при х -1 2. Применив формулу (6) (см.
также пример 6.2), находим, что искомый предел равен 4(!и 2 — 1). 1' е 6) Так как (е'/л+ — ) = (е'+!)'/' = (1+1+ е' — 1)'/' где 1= х 1 = — — 1 0 при х — ! ж, а 1+е' — 1 21, 1 — э О, то искомый предел равен ез (пример 7), а П р и м е р 9. Доказать формулы: 1) !пи а'/' = О, а > 1; 2) !цп агсгд — = — . л — ~ — О -лл-о х 2 ' а 1) Возьмем е > 0 и длн х < 0 решим неравенство а~/е < е. Если з > 1, то неравенство справедливо при всех х < О.
Поэтому для каждого з > 1 в качестве б можно взять любое положительное число, например б = 1. Если е < 1, то, логарифмируя обе части неравенст- 1 1па ва, получаем — 1па < !пе, откуда х > —. Таким образом, и для х 1п е !па з < 1 существует б, а именно б = — — > О, такое, что для всех х, !Пе удовлетворяющих неравенствам -б < х < О, выполняется неравенство а~/е < е. Следовательно, предел слева функции а~/', а > 1, в точке х = 0 равен нулю. 2) Возьмем положительное число е и для х > 0 решим неравенство агс1а — — — ~ < ж 1 Е (16) х 2 Если е > л/2, то неравенство верно при всех х > О.
Поэтому в качестве б для всех е > з/2 можно взять любое положительное число, например б = 1. Если е < л/2, то, решая неравенство (16), получаем к 1 1 к 1 Гк — — агота — <е, агсгд — > — — е., — > !$) — — е), х < где, 2 х ' х 2 ' х ) 2 т. е. для каждого е < л/2 в качестве б можно взять б = гадж Таким образом, для каждого числа е > 0 существует такое число б, что для всех;г, удовлетворяющих неравенствам 0 < х < б, выполняется нера- 1 и венство агс1я — — — < н.
Это означает, что предел справа функции х 2 агс16 (1/х) в точке х = 0 равен я/2. а Пример 10. Найти: хЛх,'-' + 14 + х, . ~/~'-' + 14 + х 1пп 2) !цп — —;/хе — 2+ х и — ' — 'к ъ/х- "— 2+ х хл. Я. Предел и непрернсенеен«и функции 3) !пп «Ь (1/х); 4) 1пп «Ь (1/х). — ЕО х — 2 — О А Ц Данная функция при х — «+со является отношением двух бес+со 1 конечно больших функций (неопределенность вида ). Разделив -!-Ос числитель и знаменатель на х, получим ,Ззсс .. Т+ 22Е+2 1пп 1пп = 1. х — >есз 2/хх — 2 .2- х х -э-нес /1 2/хз 2) При х — 2 — оо функции х/хе+ 14+ х и т/хх — 2+ х представляют собой неопределенности вида со — оо.
Для вычисления предела переходим к новой переменной « = -х: 2/х'+ 14+ х 1«п2 х — 2 — зс 2/х'-' — 2 + х — Д«п — — 1шз '««еч. 14 — «( /«х+ 14 — «)(2/«"-+ 14+ «Н~Ф' — 2+ ') — (~IР— 2 — «)(,Ж вЂ” 2 -2- «)(Л + 14 ! «) !4(ф — 2/«2 + 1) !пп = — 7. ~~ н~ — 2(ф -~-14/«2+ 1) е2/* — е 2/х .
1 — е 3) !пп «!2 — = 1пп = 1пп, = 1, так как з — 2~-се х х2-со ед«* -!- е 2/* х — 2н-О 1+ е е/* !ш« е 2/х = !пп е«/« = О (пример 9, 1)). :с — 2+О з — 2 — О 2/х — 2/з Е/х 4) 1пп «Ь вЂ” = 1пп = 1«ш ', = — 1, так как х-2-О х х-х-О е2/* + е '/' х-2-О ее/ -!- ! 1пп ез/х = О (пример 9, 1)). д з — 2 — О Пример 11. Пусть /(х) = х/х+ т/х. Доказать, что /(х) фт при х — >+О и /(х) т/х при х — «+со. А 1) Так как 1ш« —,' = 1пп ", = !ш« 1/1+ т/х = 1, х-~.«О 22/х хх-2ЕО ~2«х х — ~-НО то /(х) тл/х пРи х — >+О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
