1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Последовательность 1х,) такова, что для всех и, начиная с некоторого, О < х, гг < т„, и последовательность ( ~ х„,) сходится. Ь=.г Доказать, что 1гнг ихо = О. га — гос 162. Доказать, что последовательность )х„) сходится, и найти ее предел, если х„ равно: гг 2000" 10п ' и! 8 11 8 11 Згг-Ь5 3) хг=8, хе= — —, ..., хо= 1 7' ' " 1 7 би — 5' 163. Доказать, что последовательность 1хп) сходится, если хп равнш 164. Доказать, что последовательность 1х„) имеет предел, и найти его, если: 1) хг = 13, х„ег = гЛ2-~- хп; 2) хг = ььг5, х,ег = фбх„, где й й И; 3) хг — — ььга, .х„ег — — ь/ахп, где й й И, а ) О; 4 1 1 7 4) Холг = — Մ— Х„: а) Хг — — —, б) Хг = —, В) Хг = —, з.
3 " 6' 2' 6' 1 5) хг — — 1, х ьг — — 1+ —, и й И. 1у казан ие. РассмотРеть поД- хо последовательности 1хзь) и гхзь — 1) ) 165. Доказать, что последовательность )(1 + 1ги)"+1) монотонно Гл. 2. Предел и непрерывность фрннцни убывает и !пп (1+ 1/и)" = е. 166. Найти !пп х„, где х„равно; и — лсо Ц(1+ — „),ЙЕИ; 2) ( „); 3)( — ); 4) (1+ — ): 5) (1+ — ); 6) (1 — — ) . 167. Пусть 1н„) последовательность натуральных чисел и !пп !с„= +со.
Доказать, что !пп 11+ 1/й„)ь" = е. и — л~ 168. Доказать, что !пп !п11+ 1/и) = О. п — лспо !Указание. Доказать, что !а!1+ 1/и) < 11'и, и 6 И.) 169. Доказать, что монотонная последовательность имеет предел, если какан-либо ее подпоследовательность имеет предел. 170. Найти !пп хп, если хп равно: и — л ~ы 171. Доказать, что последовательность 1х„) сходится, если х„ равно: 1 1 1 11 21 п1 1) — + — + ... + —; 2) 1+ — + —, + ...
+ —; и и+1 2п' 4 41 4" ' З) (1 —,') (1 —,',) ...(1 —,'и), 172. Пусть хп > 0 для всех п > по. Доказать, что последователь- и ность 5п = ~~~ х1, и Е И, имеет предел, конечный или бесконечный. Ь=1 173. Последонательность 1х„) ограниченна, рп = П1аХ 1ХЬ), Зп = ППП 1ХЬ), и Е И. 1<Ь<п 1<1<п Доказать, что последовательности 19п) и 1х„) сходятся.
Обяза- тельно ли их пределы нвляготся частичными пределами последова- тельности 1х„) Г 174. ПУсть хпч1 > х„, Р .11 ( Уп, и 6 И, И !пп 1хп — Рп) = О. П вЂ” 1 ос Доказать, что последовательности 1х„) и 1р„) сходятся и !пп х„ = = !пп Пп. и — лов 175. Найти !1га хп, если х„равно: и — лес Гл.2. Предел и непрерывность функции 158 187. Пусть х„= 122+ Ц ' — п, п Е И.
Доказать, что: 1) )пп х„=О при О<а<1: 2) !пп х„=+со при а>1. П вЂ” 2ОО П вЂ” 2 Ы2 188. Найти !!п2 х„, если хп равно: и-ьж 222-!-Зп — 2 1-ЬЗ Ч-5-Ь .. -!- 'Ь2п — Ц 1-Ь2-Ь...+п' ие 1 — 2+3 —...+(2 — Ц вЂ” 2 12+2 -Ь...+п~ 3) пе 1 2-52 Зц-...-рп(пц-Ц ) 1 -Ь2 +...-!-п и пз п2 3' 1 -!- 3 Ч- ... -!- (2п — Ц пе 8) — ((а+ — ) + (а+ — ) + ...
+ (а+ ) ). 189. Доказать, что последовательность П 2 Нп со ~ ~ — '„п Е И, 2=-1 2=1 имеет предел, и найти его. 190. Найти !пп х,„„если: П вЂ” 2ОО 2) Х1 — — 1, Х„=(1 — о)(1 — —,)...(1 — —,,), ПЕИ, П>2. 191. Пусть х„ф 1, п Е И, !пп хи = 1. Найти 22 — 2ОО 2 ,ь хо+хо+" +хп пп й и '<к :со — 1 192. Найти !пп (222 — Ц!! и — ьоо (2п)!! 193. Пусть !!ш хп оо О, а > О. Доказать, что !пп а'" = 1. П вЂ” 2ОО и-2оО 194.
Пусть рь,рз,...,р~, аь,аз,..оаь полоькительные числа. Существует ли Г Если существует, то найти зтот предел. 195. Доказать, что !пп где р, д е И, ао,2ао > О. 196. Доказать, что !пп и 2'~" = 1. р В. Предел последовательности 159 197. Доказать, что если 1пп хи си+со, хи > О, п Е И, то и — ссс 1гш х ~е" = 1 и 198. Найти; 1) 1пп п( ); 2) 1пп и — ех~ ( 2п — 1 ) и-вс 11 Ч- Ъ)п)ие 199. ПУсть ~У~ < 1, Яи сс д+ 2д~+ ЗДз+ ... -)ид", п Е И.
Доказать, что существует 1пп Я„и найти его. и — еос 200. Найти 1б(би Ч-Зи -с 1) и — ~ж зсси -~- 1 201. Доказать, что для любых а > О, а ф 1, гл > 0 11ш „= О. 1оа и 202. Пусть 1пп х„= +ос и хи > О, и б И. Доказать, что для иех любого а > О, а ф 1, Ко,' 11 и — есе Хи 203. 1) Доказать, что если последовательности 1хи) и )у„) таковы, что 1пп (~х„+ у„~ — (х„— у„() = +ос, то 1пп ~х„~ = !1ш ~уи~ = 1пп хиу =+ос и — есс и — ес и — есс 2) Доказать, что верно и обратное утверждение. 204.
1) Пусть 1пп хи = +оо, т„= ш11хь), и Е И. Доказать, и — ~ос ь>и что 1пп ш„= +ос. 2) ПУсть 1пп хи сс — оо, М„= зпР1хл), п Е И. Доказать, что и — еос ь>и 1пп ЛХи сс — со. ивж 205. Пусть 1Р„) последовательность натуральных чисел, и пусть последовательность Яисс — + — +...+ —, пбИ, 1 1 1 Рс Ре Ри сходитсн.
Доказать, что сходитсл и последовательность аи = (1 + ' ) (1 + ' )...(1 + ' ), п б И. и 206. Пусть Яи сс 1+ ~ —,, и б И. Доказать, что: 1 Ьи! 1) 11ш П„=е; 2) е — Яи < и — есс иуи з- 1)е 160 Гл. 2. Предел и непрерывность функции 207. Доказать, что Разность е — Яп, и Е И 15„из задачи 206), убывает с ростом и быстрее, чем разность е — 11+ 1)п)".
и ( — 1) 1 208. Доказать, что 1цп (1+ ~ ) = —. и ~ее Ч к! е ь=з 209. Доказать, что число е иррационально. 1 210. Пусть а„= 3 — о,, п Е И. Доказать, что: 1) 1пп ап =е; п — ьсо 2) разность ап — е убывает быстрее, чем разность е — Я„, где Яп из задачи 206.
211. Доказать, что длн любого п Е И е < 11+ 1/п)п11+ 1/(2п)). 212. Последовательность 1хп) такую, что хь = а, хпез = цхп + й, и 6 И, называют арифметика-геометринеской прогрессией со знаменателем д и разностью Й. Доказать, что; 1) при ~д~ < 1 эта последовательность сходится, и найти ее предел; 2) при ~П~ > 1 и а ~ ф(1 — д) эта последовательность расходится. 213.
Пусть 1х„) -- арифметика-геометрическая прогрессия со знаменателем д ~ 1 и разностью с) 1сьь задачу 212), Я„= хз + ... + хп, и,6Ш. Найти: 1) 1пп — '"; 2) 1цп 15„— пх„). п — ьы; и п — ьж 214. В треугольнике АВС~ проведена биссектриса СзСз, в треугольнике .4СзСз проведена биссектриса СзСз, в треугольнике АСзСз . биссектриса СзСе и т. д. Доказать, что последовательность величин углов СпььСпА, и 6 И, имеет предел, и найти его, если угол В.4С равен о.
215. Вписанная в треугольник АчВзС~ окружность касается его сторон ВзСы СзАз и АзВз в точках Аз, Вз, Сз соответственно, вписанная в треугольник АзВзСз окружность касается его сторон ВзСз, СзАг: АзВг в точках Аз, Вз, Сз соответственно и т. д. Найти предел последовательности величин углов В„.4пСп при п -ь со. 216. В трапеции АВСР 1ЛР~~ВС) точки Вз и Сз середины диагоналей АС и ВР, в трапеции АВзСзР точки Вг и Сз середины диагоналей АСз и В,Р и т. д. Найти 1нп ~„ф~, если ~АР~ = а в случаях: а) (АР) > )ВС); б) ~ЛР~ < ~ВС~.
217. Пусть а > О, хь = чГа, хпез =,,/а+хи, п Е И. Доказать, что существует 11пз х„, и найти его. и — ьос 218. Исследовать на сходимость последовательностзк р 8. Предел последовательности !61 1) х! — О, х ч! —, иеИ; хп Ч-1 хпч-2' 2) х! =1!!2, х,,! =[1 — хп)', об И. 219.
Пусть х! = а, 0 < а < 1, х„е! = 1+ с7хп, и Е И. При каких !7 Е [О;1) последовательность )х„) сходитсяГ 1/ о. 220. Пусть т! > О, хпн ! = — [х„+ — '), где а > О, и Е И. Дока- 2 хп зать, что существует 1пп хп, и найти его. 1 / 126 ! 221. Пусть х! > О, хпе! — — — [2хп + †., 7!, и Е И. Доказать, что хп существует !пп хп, и найти его. и-л м 222. Пусть х! = у2, хпл! = ° '2+, 'х,, и Е И.
Доказать, что последовательность )х„) сходится. 223. Доказать, что: 1 1) последовательность !хп), где .г! — — а, а > — 1, х„е! —— 1-!- хп имеет предел, и найти его; 2) у последовательности !х„), где х! = а, 0 < а < 1, хп,! = 1— — х;„ ее подпоследовательности )хзь) и 1хзе !) имеют пРеделы, являющиеся корнями уравнения х = хз(2 — хл). 224. Исследовать на сходимость последовательность [и Е И): б 7 1-!- хп 1) х! = -3, хеь! = 1+ —; 2) х! = — —, хпч ! = хп 13' " 2хп 8 1 3 6 3 3) х!= —, хпег= — — —; 4)хг= —, хпл!=4 — —.
17' хп 2' 7' " о:„ 225. Пусть х! > О, хпе! —— — ' + 6, и е И, где а > О, Ь > О. ДокаХп зать, что последовательность )х„) сходится, и найти ее предел. 2 а а хп 226. Пусть а Е !7, х! = —, хпе! = — + — '. Найти все значения а, 2' 2 2 при которых последовательность )хп) сходится, и найти ее предел. 227.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
