1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 25
Текст из файла (страница 25)
На координатной плоскости проведены прямые ААп через точки А(а; аа) и А„(х„;хе), и б И. ПУсть ап .-- абсцисса точки пеРесечениЯ ЯРЯ- мой ААп с осью Ох. Найти !нц ап. п — !со 39. Найти )ня х„, если хп равно: и — !и 1) и, ', „; 2) <п+ Ц! — <и — Ц' (и!+ За+ 4)с — (п! и Зп 4)! (п! Ч- ц' — (п! — це ' (пс -!- 5п -Ь 6)о — (пе -Ь 5п — 6)! ' п п 3 3) — ; 4) и— п + 1 и' Ч- 1 ' Зсп — 3/и! + 1,!п! ' ) (2 Ч-п)пе — п'м — 200п'е ) 1бе 10п ) 1о(п — п -Ь Ц псе — 10пс+1 ' 13! п 1я(псе+и+ Ц ' ') "'",,",":"!",'"')-'(("'-.)'-("-.')") " "' 40.
Пусп ап -- общий член, а о„-- сумма верных и членов арифметической прогрессии с разностью г) ~ О. Найти; 1) 1ш! —,; 2) 1!ш —, 1ап ф О). Я„. Я„ п — !сс и" и — !ос а,! 142 Гл. М. Предел и непрерывность функции 41. ПУсть )П/ ( 1, Яп оо ~ ~аа". Доказать, что Пш Яи оо и — ьоо 1 — у е=-о 42. Найти !пп хи, если; и-ооо 1) хи оо 0,11...1; 2) хь = 0,4, хз = 0,45, хз = 0,454, хо = 0,4545, хз = 0,45454, ..., ..., хзе = 0,4545" 45, ".; 3) хь — — 0,2, хз = 0,23, хз = 0,234, хл = 0,2342, хе — — 0,23423, хе = 0,234234, ".
43. Доказать, что 1пп ~ =1. 1 и — ьоо К1К -Ь 1) а=1 44. Найти: ( 1 1 1 1) 1пп ( — + — + ." + ,— ~ос 1 1. 3 3 5 (2и — 1)12и -Ь 1) ) 1 ( 1 1 1 2) 1пп — ( + +...+ и,— ~ыс ьрй 1 Я-Ь ьсЗ ~/3-Ь Л ъ 2и — 1+ тт2и-> 1) 3) 1пп + +...+ 1 1 и — ьоо(1 2 3 2 3 4 и1иц-1)1п-Ь2)) 45. Найти 1пп х„, если х„равно; ~~Г8 1 ЗЩ6 4пп,81 1 М6 — 1 1,'ь" 2 — 1)е 1 — 11'8 1 — ч'32 п'аь — 1 46. Привести примеры последовательностей (хи) и (уи) таких, что 1пп хи ео 1пп уи ео 0 и; и-ьоо и-ооо 1) 1пп —" =0; 2) 1пп —" = 1; 3) Дш —" =+ос, и-ьоо уп и — ьж Уп и — ьсо Уп 4) 1пп — '" не существует.
и — ~ос Уи 47. Известно, что 1пп хиуи оо О. Следует ли отсюда, что: Ц 1пп х„= 1пп у„= О; п-ьоо и — ьсо 2) хотя бы одна из последовательностей (хи) или (уи) стремится к нулюГ 48. Привести примеры расходящихся последовательностей (хи) и (уи), для которых сходится последовательность: 1) (хи + Уп); 2) (хпуп); 3) (хи/Уп) 49. Последовательность (хи) сходится, а последовательность (уи) расходится. Доказать, что при Ь ~ 0 последовательность (ахи + Ьуи) расходится. Гл. 3 Предел и непрераенеен20 функции 59.
Найти 1пп 2 + 1 1 +...+ 1 ( 0 22 'Б Ф2 00'2 Т) 60. Пусть О < а ( 1. Доказать, что 1пп р22а = 1. 61. Найти !пп тп, если х„равно; П вЂ” 2ОО 023 10) . 11) 4(22ез222ие15 12) 11 ! 11п)112п025 ~ч/2 1 ' 13) аеден "1, ГдЕ а > О, р > О. 62. Найти !пп х„, если хе равно: л — 2оо Ц лупи! 2) Яо; 3) ОЯКО; 4) ",~п1: 5) "Ц'п; б) фп + 3; 1-1- й22п ' 3 й1 е -1- Цбп ' ц и 2п — бп-1-3 пе 4-1 63. Доказать, что: 1) 1пп пуе = О, где (22( < 1; 2) 1пп — = О; 3) 1пп — = О; и — 2ОО и — 202 и е — 2оо 3е п 4) 1ш1 — „= О, где !а~ > 1, й натуральное число. о 2оо аи 64.
1!айти !пп хи, если хе равно: и — 2ОО 0+30 10 и ! 30 п 1,2бп !обо и 65. Пусть О < а < 1. Доказать, что 1пп ~" = О. 66. Найти 11ш х„, если х„равно: 22 — 2 ОО и 13 и, оп Ч- 1л и 1о31!и + 3) !обо (пе + 1) пе — 1' и — 3,5 ' и — 123 и п, — 13п 5) !о31(4е Ч- Ц а 67.
Доказать, что для любого а 1пп — = О. и — 200 и! 68. Найти 1пп х„, если х„равно: г"л.2. Предел и непрерывность функции 14б 1) зтигги; 2) инги', р,гс е И; 3) Огп+ а; 4) Оган+ 5; Е Ьгр — 3 Тг; 6) СΠ— г; г) 02" гг — 1; и 1 1 9) г)'и -Ь 2 гссир — 3 10) зи, и' — 2п -Ь 3 ]гг и 2"' О'грг — 3 Хгь-Ь2 и' -ь 1 Япд~+ 2 1]г' и -Ь1 78. Доказать, что если для любого и Е И 0 < сг(п~ < хи < Ьпп, Й,Р Е И, то ]1П1 уиСХ и — гсо 79. Доказать, что: 1) !нп и = +со: 2) 1нп (5 — 0,5п) = †; 3) 1пп ( — 1)ип = оо; и — гсо и,— гс г и — гсо 4) 1нп аи = со, где )а! > 1; 5) 1шг ~ьй — 100 = +со; и — гсо и — го:о 6) 1пп п'гр =+ею, где р б И; 7) ]нп ]яп =+ос; гг — гсо и — гсо 8) 1пп ]одоп=+ос, где а>1; 9) ]нп 1о8ипсс — со, где 0<а<1.
80. Доказать, что для того, чтобы 1нп х„= оо, необходимо и ДОСтатОЧНО, ЧтОбЫ 11П1 ]Хи~ = +Ос. и — гос 81. Пусть 1нп уи сс +ос ( 1нп у„= — оо) и для всех п, начиная с и-гоо и — гсо некоторого, хи > суи (соответственно хи < суп), где с > О. Доказать, что 1нп хи сс +со (соответственно 1нп хи сс — оо). 82. ПуСтЬ 11П1 уи ос +Ос И дЛя ВСЕХ П, НаЧИНая С НЕКОтОрОГО, и'и )х„! ) суи, где с > О. Доказать, что 1пп хи = сю. 83. Доказать, что: 1) 1нп и =+со; 2) 1нп и" =+со, где р) 1; и — гсо и — гос 3) 1шг (2п — 5)л =+со; 4) !нп (18п) =+ос; 5) 1нп (]он, п)р = +ос, где а > 1, р > 1; и — гос 6) !шг (0,5 — ( — 1)ифп) = оо; 7) 1нп ( — п)и = оо; 8) ]нп (4,уп — и) = — со.
гг — гсо 1 84. 1) Пусть х„ф- О, 1нв х„= О. Доказать, что 1ш1 — = сю. и — гсо и — гсо Хи 1 2) Пусть х„ф О, 1нп хи оо оо. Доказать, что ]нп — = О. и — г сс и — гсс Хи 85. Доказать, что (хи) -- бесконечно большая последовательность, если хи равно: ад. Предел пееледееателъиеети (п1П пе и! 1 2 10/ ' и+8' ' 4" ' ' уи2 — 1' ' 1 — си~и' бп и 6) — „; 7) —, где ~а~ > 1, л Е 1'е'.
и; пь 86. 1) Пусть 1пп х„= +ос и уи > с для всех п Е И. Доказать, п-Ос что 11п1 (хп+уи) =+ос и и со 2) Пусть 1пп ти = — со и уи < с для всех п Е Я. Доказать, что п,— ~со 1пп (х„+ уп) = — оо. П-Ож 87. 1) Пусть 1пп хп ОО а, где а это +со или — со. Доказать, П-Ож что: а) если для всех п, начиная с некоторого, у > с > О, то Пш х, у И ОС =а; б) если для всех п, начиная с некоторого, уп < с< О, то 1пп хоуп ОО ПОСО 2) Пусть 1ш1 хп ос оо и для всех п, начиная с некоторого, ~у„~ > И 'Оо > с > О. Доказать, что 1пп хпуп си оо.
И вЂ” ~Ос 88. Доказать, что: 1) 1пп 13(п — и) = — оо; 2) 1пп (18п+ 2 сов пп) = +ос; И- Со и исс 3) 11ш = +со; посо и -~- 1 4) 11ш (ап + 0) = +эо при а > О, 1пп (оп+ 0) = — сс при а < О, ПООО И и ос 06 Я; 5) 1ш1, = +ос; 6) 11ш ( Я вЂ” 1 — ъ~п) = +оо; п-Ооо и- + 100 иот 7) 1ш1 1 = — оо. ии оо,,/П ( .~ и' -— 1 — и) 89.
Записать с помощью символов Ч, В определение того, что; 1) 11п1 хи си оо; 2) 1пп хи си+со; 3) 1пп хи си — оо. и — со И-ОС:и иосО 90. Сформулировать на "языке а — М" и записать с помощью символов В, Ч отрицания того, что: 1) 1пп хп си оо; 2) 1пп хп си+ос; 3) 1пп хи Оо — оо. и-иоо посо и-поо 91. Верны ли утвержденин: 1) всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, 2) всякая неограниченная последовательность является бесконечно большойГ 92.
Сформулировать в позитивной форме утверждения: 1) последовательность не стремится к со; 2) последовательность не стремится к +ос; Гл.2. Предел и непрерывность функции 3) последовательность пе стремится к -оо. 93. Доказать, что последовательность !хи) неограниченна, но не стремится к сю, если: 1) х„= пз сов(лпг!2):, 2) х„= пг 3) хи =, и б И. 1+ па!в(лгг/2) ' 94. Доказать, что: п — и+3 пг — 100 1) 1пп, = +со; 2) 1пп, = +со.
и — гоо иг -Ь 1 ' и — гоо пе -Ь 100 95. При каких а последовательность и+1 ап пг — 2 оп+2' сходится ь: 1) +со; 2) — сю; 3) конечному пределуГ 96. При каких р и г1 из И последовательность аггп -!- аггг + ... + ар,п -!- ар хи— пЕИ, Ьопе+Ьше г ! ... ! Ь~ — ~-ЬЬ~ где ао р'- О, Ьо ~ О, имеет: 1) конечный предел; 2) бесконечный пределГ 97. Доказать, что: !пп ьггг! = +со 2) 1пп 2оси г = +со. и — гос и 'и пе !п п! 3) 1пп =+со, а>1; 4) 11ш "=+ос. и- !ОК (п о- 1) п 98. Доказать, что: 1) 1пп "' = — со; и — гоо ьгй — ггсп+ 1 2) 1пп ьгпз(;~п. + 1 —;гп — хгпп — 1) = — оо.
99. При каких а последовательность хи ои г!гп + гго гг, и 'и И, сходится к: 1) +сю; 2) конечному пределуГ Во втором случае най- ти этот предел. 100. Доказать, что 1пп хи = +со, если хи равно: и — гос (п -р 1Пп -!- 2)..42п — 1)2п ьиг — Г 1 ~" и 4) (1+ — гг) ' б) — (1+Л+" +ьЯ) 101. Пусть 1нп хи оо сю, у„.,с О, п Е И, и для всех п, начиная с и — гос некоторого, ~у„! ( С.
Доказать, что хи 1шг — = со. и — гоо угг 48. Предел паеледаеательнаети 102. Пусть 1пп хи = х, где х не равное нулю число, 1пп уи = и — лсо иооо сс (или равно +ос, -ос). Доказать, что: 1) 11ш хоуп оо ос (соответственно равно +ос, †) при х ) О; 2) 11ш хоуп = ос (соответственно равно †, +ос) при х < О.
и- оо 103. Пусть 1ша х„= сс. Верно ли, что; попо 1) если !у„~ ( С, и е Ш, то !пп хоуп = ос; 2)еслиуп)хи, пЕИ,то 1ппуи=сс; иооо 3) если 1пп уи = сс, то 1пп (хи+ уи) = ссГ попо оооо 104. Пусть !пп х„=+ос, 1!ш уи =+со и — >со или 1пп хп — ос~ и — лж 1пп уи = — сс. оооо Доказать, что 1пп хиуи оо +ос. 2) Пусть 1пп хи =+ос, 1пп уи = — оо. и — лсо оооо Доказать, что !пп тиун оо -сс. 105. Указать такие последовательности (хи) и (уи), что !пп х„ = +ос, 1пп у„ = +ос п — лх и — ноп и, кроме того: 1) 1пп —" = О; 2) !пп —" = 1; 3) 1пп —" =+со; и — лоо уи п — лоо уи и — еоо уи 4) последовательность (хи — уи) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
