1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Доказать, что последовательность: 1) ((1+ 1сс(2п))") возрастает; 2) ((1+ 1сп)" ' ') убывает. 312. Доказать, что при лсобом т > 0: 1) последовательность ((1 -1- хссп)е) возРастает; 2) последовательность ((1 + х/и)" '), где 7 Е И, 1 > х, убывает. 313. Доказать, что при а ~ 1, а > О возрастает последова- тельностсп 1) ~ ~1 2) (п(1 — ассе)). хс=а>0, рс=Ь>0 1 ре.сс = †(хс + р-'), и е И. 1 'епес = — (:гп + уп) 2 Доказать, что: 1) р„>х„, гс6И, п>2; 2) последовательность (хн) возрастает (п > 2); 3) последовательность (уе) убывает (п > 2); х„+1 314. Доказать, что последовательность хс = -10, хеес = п+1 ' и Е И, убывает, начиная с некоторого номера, указать этот номер.
315. Пусть хс — — 3, х„ы — — 0,5т;„', — 1, и Е И. Доказать, что эта последовательность; 1) ограничена снизу, но не ограничена сверху: 2) возрастает. 316. Пусть хс — — 2, х„ ес — — 0,5х~, — 1, п Е И: 1) доказать, что эта последовательность ограниченна; 2) Доказать, что поДпослеДовательности (хзе) и (хгь 1) Данной последовательности монотонны, начиная с некоторого номера. 317. Доказать, что последовательность (хн), где хс = 4, х„ес = = (2+ хс ))(2хе), п Е И, убывает.
318. Последовательности (х„) и (р„) заданы рекуррентным способом: д 7. Числовые функции. Последовательности 115 4) [упьз — Х„ЕГ [ ( [Ь вЂ” Ц774". 319. Доказать, что если хг — — о>0, уг — — Ь>0, Хп-1-7 =,7Хпу77 Уп-,-г = 0 О(Х77+ Уп), П Е И, то: 1) последовательность 1х„) возрастает,а последовательность 1У„) убывает; 2) обе последовательности 1х„) и 1У„) ограничены; 3) [уп.нз — Х„, Г[ < [Ь вЂ” О[772". 320. Доказать, что любая последовательность содержит монотонную подпоследовательность.
321. Пусть С =1, Со=С" '., пЕИ, где обй. 77 Доказать, что: 1) Сп о(о-1)-До - +') , пЕИ: 2) последовательности 1С" ), 1С" )., 1С" . ), 1С" ) ограниченны; 3) последовательности 1С"з), 1С"за) неограниченны; 4) последовательность 1С ) ограниченна при о > — 1; 5) последовательность )С") неограниченна при о < — 1; 6) последовательность 1[С" [) убывает [в широком смысле) при о > -1, начиная с некоторого номера; 7) последовательность )[С,"[) возрастает (в широком смысле) при о < -1, начиная с некоторого номера; 8) последовательность 1С" Ч") ограниченна при о < — 1, [Ч[ < 1.
ОТВЕТЫ 1.1)хф1");2)хф1,хф-1: 3)хф2,хф4; 4)хф — 2,хфО,хф2; 5)х>0; 6)хф †3,хф372; 7) х ф — 3/27 х У': — 1772. 2.1) Я; 2) 10); 3) х<2; 4) [ — 2:Ц: 5) ( — 1;1); 6) [ — со: — 1) 1д (1;+ос): 7) х ф — 3;:г ф 3, 8) ~0) 0 [2; -1-со); 9) [0,5; Ц 1д [3; +со). 3. Ц 2 ' + зх'+ о; 1х — хз) 1х ха) 1х хз) (Х вЂ” Хз)(Х вЂ” ХЗ)[х — ХЗ) 2) уг + Уз+ 1хг — х )(хг — хз) (хг — хз) (хз — тгЯХ вЂ” хз) [х — тз) (х — х Дт — т Дх — хз) (х — хг)(х — хз)(х — хз) + Уз + Ул. [хз хзДхз хз)1хз хз) [хз — хг)(хз — хзНхз — хз) *) '1'акан краткан запись означает, что областью определения является множество 1х Е Й: х Я вЂ” 1). 11б йи 1. Введение и»-1 и в 1 4.Р(х)=~; П (х,).1 1=1 г=1,гф» 5.
1) ( — сс;3]; [ — 1:+ос); [ — 1;3]; 2) [-1; Ц; (х Е Я: х ~ 1/2), (х е [-1; Ц: х ~ 1/21; 3) [3;+ос); ( — сс; — 2) 1» (2: )-оо): [3;+со):, 4) (О;5); (х Е Я: х ф гг/2+ ггп, .п Е Е); (х Е (О;5): х ~ н/2; х 7': Зк/21; 5) ( — 4;4); (х Е Я: х ~ )г/2+ 2гга, п Е л11 (х Е ( — 4;4): х ~ и/21; 6) [1;+ос); [1;+ос); [1:+оо). 6. Ц Я; Я; 2) Я, (х 6 Я: х ф. 2, х ф — 2); 3) ( — 1; 1); (х Е ( — 1; 1): х ~ О); 4) [ — 2;+со); (х Е [ — 2;+ос): х ф — Ц; 5) [ — 1/2;+ос); (х Е [ — 1/2;+ос): х ~ О); 6)й;(х6Я)х~ ~ ); 7)й;Я; 8) Я; (х Е Я: х Ф ( — Цин/4+ ~тгг, и Е Е)) 9) (хай) хогга, пол): (хай: х~)гп, х~)г/4+на, пбл». 7.
а = 2, Ь = 5 при т ф п; а Е Я, Ь = а + 3 при т = пг. 8. — 2. 9. 85'. 10. 1) а — 1/а; 2) 1/а — а; 3) а — 1/а: 4) 1/а — а. 11. 1) [-9; — Ц; 2) [О; 4]; 3) (-ж; — Ц 0 (0) гл (1; +оо); 4) [-4; +со) 5) ( — оо;9/8]; 6) [ — 9;23]; 7) [2;+оо); 8) ( — ж; — 4]; 9) [О;1).
12. 1) [1;+ос); 2) [О;+ос); 3) [О;2]; 4) [ъ 6;+ос); 5) ( — оо; — 2»/аЬЬ~ ») [2ъ~аЬ;+ос); 6) Я; 7) [ — 2;2], х Е Я. 13.1) 7од(х) =х, х>0; до/(х)=х, хай; 2) / о д(х) = у о /(х) = [х[, х Е [ — 1; Ц; 3) / о д(х) = х, х > 0; д о /(х) = х, х ~ Я; 4) / о у(х) = (х + 5)', х Е Я; д о /(х) = хе + 5, х Е Я; 5) / о у(х) = ~ )е ' „ ' д о /(х) = О, х е Я, 6) /од(х) =1пегп~х, хана, пбл; до/(х) =вгп1пх~, х~О. 14.1) ' 1е Гге — ); 2); 3) 1Е Е ' г нее.' 1о8, »/в)их ' еФ'е'+ ) 16. 1) /(х) =: 2) /(х) = —, + 1; 3) /(х) = 4) /(х) = хе — 2; 5) /(х) = 1 — хвг~.
17. Не супгествует. 18. 1) /о/о/(х) = „Ье, (х о Я: ах+Ь т- О, а(1 + Ь)х + Ъ ф О, а(1 + Ь + Ьь)х + Ь» ф О); 2) додод(х) = р 7. Числовые функции. Последовательности 117 3) если Ьф1, то /о/о...о/(х) =, (хЕ Я: а х+Ь" ~0, Ь=1,2,...,п), аесли Ь=1, то /о/о...о/(х) = Ь1' — 1 Ь вЂ” 1 (х Е Я, а3сх + 1 р'. -О, Й = 1, 2, ..., и); апх -г 1 4) если ад ~1, то додо...од(х)— тп 1 (олп 1)/(из 1)хт а если о = 1, то додо...од(х) = Л+пхз 19.
1) Четная; 2) нечетная; 3) ни четная, ни нечетная; 4) четная; 5) ни четная, ни нечетная; 6) ни четная, ни нечетная; 7) ни четная, ни нечетная; 8) четная; 9) нечетная. 29. 1) а) у = — х, х Е ( — со; 0), у(0) Е Я *); б) у = х, х Е ( — сю; О); 2) а) у = хл, х Е ( — оо; 0), у(0) Е Я; б) у = — хз, х Е ( — сю; 0); 3)а) у=т/ — х, хЕ( — сю;0), у(0)ЕЯ;б) у= — т/ — х, хЕ( — оо;О); 4) а) у = -х + 5, х Е (-оо; 0), 'у(0) Е Я; б) у = х — 5, х Е (-со; 0), у(0) = 0; 5) а) у = ч'1 — хз, х Е ( — 1; 0), у(0) Е Я; б) у = — т/1 — хз, х Е Е (-1; 0), у(0) = 0; 6) а) р = х + 4х+ 3, х Е ( — со: 0), у(0) Е я; б) у = — хз — 4х — 3, х Е ( — оо; 0), у(0) = О; 7) а) у =, х Е ( — оо;0), у(0) Е Я; б) р =, х Е ( — сю;0), у(0) = О.
35. 1) Янляются; 2) являются; 3) не являются; 4) не являются. 36. 1) Обратная функция у = (х+ Ц/2; 2) необратима; 3) обратная функция у = х 17з1 4) нообратима; 5) ОбратНая фуНКцня у = тз/ХЗ; 6) Обратиая фуНКцня у = „/ф азяПХ. 37. 1) а) а = — 1, Ь Е Я или а = 1, Ь = 01 2) ст = х1. 39. 1) 1/С > О Вх Е Р(/) /(х) > С1 2) чС > О Лх Е Р(/) Д(х) < — С. 43. 1) пшх/ = 0 **), пшт/ = — 9; 2) шах/ = 1/4, ппп/ = — 6; 3) шах/ = 3, ппп/ = 5/4; 4) шах/ = 1, ш1п/ = — 5/13; 5) шах/ = 5, 1шп/ = 4; 6) шах/ = 1/6, шш/ = О. 46 1) — 9/4; 2) т/2:. 3) 0' 4) — 1/3. 47.1) -2; 2) -2;Г2; 3) 1; 4) 1. 48.
1) апр / = +со; иК / = шш / = 2: 2) апр / = шах / = — 2; 1пГ / = — оо: 3) апр / = 1; 1пГ / = ппп / = 0; 4) апр/ =+ос; 1пГ/ = — оо; 5) ацр/ = 1; 1пГ/ = ппп/ = О. 54. Возрастает на ( — 1;О) и (1, :+сю), убывает на ( — оо; — Ц и (О; Ц. *) Здесь и далее в аналогичных примерах эта запись означает, что за у(0) мол'па взять любое действительное число. ~~) там, где ясна, о каком множестве Х идет речь, вместо твх/ написано твх/. Гл. 1.
Введение 56. 1) ( — сс;0) Гд (О;0.,25) Гд(0,25;+ос); 2) ( — сс;О]; 3) ( — сю;0) Г1(0;+со); (О;+ос); 4) (О;1)(](1;+со); 5) ( — сс; 99) Гд (99; 100); 6) (1, +со); ( — ос; 0) СГ (1;+со); 7) (-3; -2) Г! (-2; -1) 0 (1; +со); 8) (О; 1). 57. 1) (О, :1]; 2) ( — оо; 0) Гд (1; +ос); 3) [3/4:, +ос); 4) [1; +сю); 5) ( — сс;2]; 6) ( — оо; — 2) 0(2;+ос). 58.
1) Ни четнан, ни нечетная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) нечетная; 4) ни четная, ни нечетнан; 5) четная; 6) нечетная; 7) нечетная; 8) четная; 9) ни четная, ни нечетная. 63. 1) зпр/ = гпах/ = 1, 1пЕ/ = 0; 2) зпр/ = +ос, гпЕ/ = шш/ = т/2 — 1; 3) зпр/ = 1, шЕ/ = — со; 4) зпр/ = 8, !пЕ/ = — со; 5) апр/ =+ос, !пЕ/ = — ос; 6) апр / = +со, шЕ / = ппп / = 0; 7) зпр / = гпах / = 4, шЕ / = — со. 66. 1) Строго возрастает на ( — оо;0) и (О;+со); 2) строго убывает на ( — сю; 0], строго возрастает на [О;+со); 3) строго убывает на й; 4) строго возрастает на ( — 1; -Г-сс); 5) строго убывает на (О;1) и (1:+ею); 6) строго возрастает на (О; 2], строго убывает на [2; 4); 7) строго убывает на ( — со! — 1), строго убывает на (О;+со). 69.
1) а) у = — 3 2 ', х е ( — со О), гу(0) Е й; б) у = 3 2 х 6 (-со;0), у(0) = 0; 2) а) р = 1 — 2 !8( — х), х 6 ( — сю; 0), у(0) 6 й; х 6 ( — со; 0), у(0) 6 й; б) у = — 1+ 2!я( — х), х Е ( — сс; 0), у(0) = О; 3) а) У = 1о8з е( — х)., х е ( — оо;0), У(0) 6 й; б) У = — !обз ( — х), х 6 (-ос; 0), .у(0) = 0: 4) а) у = — С!г(х+ 1), х 6 ( — сс; 0), у(0) е й;. б) у = 1Ь(х+ 1), х Е (-оо;0), у(0) = О. 70. 1) у = !обз(3/х), х Е (О;+со); 2) у = 10е ' — 2, х 6 й; 3) у = !о8е(х/(1 — х)), х 6 (О; 1); 4) у = 10гге, х 6 й, х ф 0; 5) у = !оцз(х+ т/хз + 2)., х б й; 6) у = сЬх, х Е ( — ос;0).
71. 1) у = 1п(х — т/хз — 1); 2) у = 1п(х+ т/хз + 1); 3) у = — 1п '; 4) у = — 1и 73. 1. 75. Ц 2к/3; 2) 8/3; 3) х/3; 4) л-, 5) и/2, 6) 2я; 7) я/2. 78. 1) х ~ нп/2, и Е У; 2) х Е [ —;г/2+ 2хгг: и/2+ 2кп], и Е Е! 3) х 6 (2ггп; х/6+ 2хгг) (](5н/6 + 2хп; и + 2хп), и 6 л; 4) х 6 [2;4]; 5) х Е [О;4], 6) х 6 ( — я/2+ 2нп;и/2+ 2ггп), п Е х; 7) х = я/2+ 2япе п Е х. 79 1) [ — 1;1]; 2) [ — т/3;ъ'3]; 3) [1/2;1]; 4) ( — оо;0]0[2;+ос); 5) [Огп/2]; 6) (я/2гх], 7) [О:1]; 8) [ — и/4еп/4]. 80. 1) Нечетная, 2) четная; 3) четная; 4) четная; 5) нечетная, 6) ни четная, ни нечетная; 7) ни четная, ни нечетная; 8) ни четная, пи вечетная.
81. 1) Четная; 2) ни четная, ни нечетнан; 3) четная; 4) четная; я 7. Числовые функции. Последовательности 5) четная; 6) нечетная; 7) четная. 86. Ц япр / = пгах / = 21, шГ / = ппп / = — 3; 2) япр / = игах / = т/3/2, шГ/ = ппп/ = 0; 3) япр/ = шах/ = 1/2. шГ/ = ппп/ = — со; 4) яггр/ = +ос, шг" / = пап/ = 2; 5) япр/ = 1, ш(/ = — 1; 6) япр/ = х/2, шГ/ = — гг/2, 7) япр/ = шах/ = гг/2, шГ / = О. 87. Ц Строго убывает на [ — х; — я/2) и ( — х/2,0], строго возрас- тает на [О;я/2) и (гг/2;я]: 2) строго возрастает на [2/(Зх); 2/х], строго убывает на [2/я, +со); 3) строго убывает на ( — оо;0) и (О;+ос); 4) строго возрастает на [ — 1; О], строго убывает на [О; Ц; 5) строго возрастает на Я, 6) строго возрастает па ( †:О], строго убывает на [О; +со); 7) строго убывает на Я.
91. Ц а) у = 1 — ьбпх, х < О, д(0) 6 Я; б) у = — 1+ гбпх, х < О, д(а) =О; 2) а) у = — с18х, х < О, у(0) 6 Я; б) д = ст8х, х, < О, у(0) = О; 3) а) у =, х < О, у(0) Е Я; б) у = —, х < О, 1 1 ф+ 18ех ф+ ьбех у(О) =О; 4) а) у = х — агссоя 2т, х < О, д(0) Е Я; б) у = агссоя 2х — х, х < О, д(а) =О; 5) а) у = — агст8(х+ Ц, х < О, у(0) Е Я; б) д = агс18(х+ Ц, т, < О, у(0) = О. 92. Ц у = — х — агся1ггх; 2) у = — агссоях; 3) у = х+ агсг8х; 4) у = агсстбх — х; 5) у = (я — агсягп(х/2))/3; 6) у = 2 ятп(х/2), х Е [ — х:, х]; 7) у = — соя х, х с [О:, х/2]; 8) у = соя х, х Е [О: я/2]; 9) д = с18 х, х 6 ( — гг/2; и/2), х ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
