1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ч! Чг 207. При каких а и Ь (аЬ ф О функция у = ах — Е(Ьх+ с) периодична и каков ее наименьший положительный периодГ 208. Привести примеры непериодических функций 7" и д таких, что функции: Ц,(+д; 2) У'д' периодичны и имеют наименьший положительный период. 209. Привести примеры периодической функции 7 и непериодической функции д таких, что функции: Ц У+д:, 2) У.д; 102 Гл. 1.
Введение периодичны и имеют наименьший положительный период. 210. Существует ли функция, для которой каждое иррациональное число являетсн периодом, а каждое рациональное не являетсяГ 211. График функции у = Г" (х), х Е й, симметричен относительно каждой из прямых х = а и х = 5, а ~ 5. Доказать, что у = 1(х) периодическан функция, .и найти ео период. 212. График функции у = 7(х), х Е Я, симметричен относительно точки А(а; 5) и прямой х = с (с ф- а). Доказать, что 7(х) -- периодическая функция, и найти ее период. 213.
Доказать, что функция 7' является периодической, если существует ТфО такое, что для любого х Е Р(() х+ ТЕ РЯ, х — ТЕ е Р()) и выполнено одно из условий: 1) ~(х+ Т) = — ~(х); 2) ~(х+ Т) = 7(х) ' 3) 1() +Т)= „7( )+; 4) У( +Т)= Найти период функции 1. 214. Пусть функция д обратна самой себе, и пусть определена композиция д е г'.
Пусть существует Т ~ 0 такое, что для любого х Е Рч ) выполнены условия х + Т 6 Р(7), х — Т Е Р(г) и 7(х + Т) = д®х)). Доказать, что 7 периодическая функция, и найти ее период. Построить график функции (215, 216). 215. 1) у = 2 сов(2х+ 1); 2) у = с18(х/2+ я))6) — 1; 3) р = в)пхс1ях; 4) у = совх+ ~ соях~; 5) у = ~в)п2х — сов2х~; 6) у = в)п х+ сове х. соь х 1 -~- 2 соя х 1-)-сов х ' 1 -)- в)ах 4) у = ~вшхьях~; 5) у = Построить график функции (217.-219). 217. 1) у = 0,5) "и'; 2) у = 2'в', 3) у =108 ,—,совх; 1 4) у = 1ояз , .5) у = 1ояеме вшх; вш(я/б) + в)п х ' е) у=1+ете: 2 218.
1) у = сов хе; 2) у = вшхе; 3) у = сов(сов х); 4) у = в)п(2вшх); 5) у = вш(1)х); 6) у = 18(т/хз); 7) У = в)п(тх/(1+ хз)); 8) У = сов!обз(х))2). 219. 1) у = х+ вшх; 2) у = хв)пх; 3) р = хасовх; я 7. Числовые функции Последовательности 103 4) у = е 'вшх; 5) у = х сов(1/х); 6) у = (2вшЗх)/(1+ хв); сов 2х 1 . 1 7) у = ',, 8) у = — сйп —, 9) у = (1+совх) соя4х. х- х х' 220.
Построить график функции 7" (х+ 21) + Г" (х — 21), где ) 1+совх, ~х( < л, О, )х( ) т, полагал; Ц 1 = 0, :2) 1 = сг/6; 3) 1 = и/4; 4) 1 = и/3; 5) 1 = л/2. Построить график функции (221-224). 221. Ц у = Затесов(х/2)+1; 2) у = агсс18~х~; 3) у = агсс18~х~ — агстд~х); 4) у = х+ агссбх; 5) у = агсьйп(1/х).
222. Ц у = агс18(18х) и у = 18(агсгдх); 2) у = агсс18(018х) и у = 018(агсс18х); 3) у = атосов(в1пх); 4) у = атосов(соях) — х; 5) у = х — агс18 (18 т); 6) у = х агсьйп(вш х):, 7) у = х атосов(сов х); 8) у = агс18 х — агссг8 (1/х); 9) у = агссоя(сов х) — агсгйп(япх). 223. Ц у = атосов ьсТ вЂ” хв; 2) у = 4агсвш т71 — х'-', 3) у = сов(2агссовх): 4) у = яш(Загсв1пх), 5) у = 18(Загстдх); 6) у = агсс8 2х 1 — х 7) у = атосов 1+ хе 224.
Ц у = Е(вшх); 2) у = совх — Е(сов т); 3) у = агсв1п(х — Е(х)); 4) у = агссоях — Е(агссоях). 225. Пусть шах(1'(х),д(х)) .. наибольшее, а пг1п(7'(х),д(х)) наименьшее из двух чисел )(х) и д(х) при х е Р()) й Р(д). Постро- ить график функции: Ц у = шах(х', цубу); 2) у = пгах(хз,1/х); 3) у = игах(вшх,совх); 4) у = ш|п(2*,9Д1+ 2 ')); 5) у = шш(сов х, сов 2х); 6) у = пцп(1о8в х,!о8, 2).
226. Построить график функции; Ц у = сов(Загссовх); 2) у = сов(4агссовх); 3) у = яш(2 атосов х), 4) у = яш(3 агссоя х). 227. Доказать, что длн любого п а 7у: Ц функция Ти(х) = сов(пагссовх) совпадает на ( — 1;1) с полино- мом степени и; 2) фуакциа вш(пагссовх) совпадает на [ — 1;1] с функцией ви- да ъ'Т вЂ” хв Я„~(х), где Яи 1(х) полипом степени и — 1. 228. Построить график уравнения: 104 Ель 1.
Введение 1) уз = хе+ 4)х) + 4; 2) уз + 4(у+ х! — 4х+ 3 = О; 3) у — (ое' — 1)(у — 1) = О; 4) М = 5) 18(ху — 1) = 18Н1 — х)(1 — у)); 6) !у! = 1ойз1з 'их+ 2! — Ц; 7) хз + уз — х — Зу = 0; 8) хз + уз = 2(/х! + /д!). 229. Доказать, что уравнение Х/У + хр — хт1У вЂ” х = 0 задает функцию, и построить ее график. 230. Построить график уравнения: 1) )у) = воях; 2) гхзя)х(+я1п(у! = 0; 3) (яшх~е+ )соях(н = 1; 4) )у — гйпх+ 1(+ )д — я1пх! = 1.
231. Найти значения С, соответствующие точке А кривой: ц А(0;0), .=12 1 у 1з 2) А(З, 2), х = 2 16 1, д = 2 щпа 1 -~- яш 21: 3) А (2; 2), т = 2 181, у = 2 я|п 1 + яш 21; 4) А( — 9;0), х = 3(2соя1 — соя21), у = 3(2яш1 — гйп21). 232. Выяснить, какие из точек А, В принадлежат кривой: 1) А(5;1), В(1; — 1); х = 2+ 5соя1, у = 5я1п1 — 3.
2) А( — 31.3) В(10 8) х = 1з+1 у = 1з+21 233. Задать кривую уравцениеяи и построить ес: 1) т = 61 — 12, у = 31; 2) х = 1з + 1, у = 1з; 3) х = соя1, д = яш21; 4) х = 181, у = яш21+2соя21; 5) х = яш 31, у = яш 234. Построить кривую; 2-~-1 1з 1 3) — , у — , 4) — , у— Й~ . 1+ (1! ' 1+1' 1 — 1!' 1 — ф ' 5) х = 3 соя 1, у = 4 я1п 1; 6) х = 12 — 21, у = 12 Ч- 21. 7) х = соя1, у = 1+2яш1; 8) х = 2' ', у = (1з+1)/4.
235. Построить график функции в полярных координатах: 1) г=; 2) г= 2~сояЗф; 3) ее=; 4) ее=агсяш(г — 1). Зе — г г — 1 236. Пусть а —. иррациональное число, 1'(х) = ат. — Е(ох), х 6 х. Доказать, что: 1) г'(х) < 1 для любого х 6 х; 2) 1'(хз) — 1'(хз) = )'(х, — хз), если 1'(хз) — 1'(хз) > 0; ,((хз) — ((хз) = 1(хз — хз) — 1, если )'(х~) — 1(хз) < 0; О 7. Числовые фуннции. Последовательности 105 3) для любого е > О найдется число х Е л такое, что 0 < 1'(х) < е.
237. Функцию Р называкзт выпуклой вверх (вниз) нв пролселсутне Х, если для любых хы хз я Х и любого а Е [О;1] верно неравенство з (ах1 + (1 а)хз) < аз(х1) + (1 — а)7 (хз) (соответственно 7"(ахь + (1 — а)хз) < а Г(хг) + (1 а)Йхз)). График выпуклой внерх на отрезке [о:Ь] функпии лежит нс ниже прямой, проведенной через точки (а;7'(о)), (6;7(д)). Доказать, что функцил: 1) у = охз + ух + с выпукла вниз на й при о > О и выпукла вверх на 17 при а < О; 2) у = и' выпукла вниз на 17; 3) у = 1ой, х ныпукла внерх на (О; +со) при а > 1 и выпукла вниз на (О;+со) при 0 < о < 1; 4) у = агах выпукла нверх на [О;л] и выпукла вниз на [ — я; О]. 238.
Указать промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз функции: 1) д = [х[; 2) у = хз; 3) у = †; 4) у = 3) у = с1зх; 6) у = 51зх; 7) д = 18[х[; 8) у = [1п х[. 239. Доказать, что если 7' и д -- выпуклые вверх функции, то и функция сер+ Зд, где а > О, П > О, также являетсн выпуклой вверх. 240. Доказать: 1) функция, обратная к выпуклой вверх строго возрастающей функции, ныпукла вниз; 2) функция, обратная к выпуклой вверх строго убывающей функции, выпукла вверх.
241. Указать промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз функции; 1) д = 1д х, х Е ( — т/2; л/2); 2) у = соаз х, х 6 (О; 2я); 3) д = агсз1пх, х Е [ — 1;1]: 4) у = агсстйх, х б й. 242. Функция Г такова, что для любых хм хз Е 17 верно нера- 7" [ ) < -(,Г( ) +.Г(* )). Доказать, что для любых хм ха, хз Е Я верно неравенство т'[ ) < -У( )+П )+.г( )). 243.
Функция Г выпукла вниз на й. Доказать, что длн любых хмхз,...,х„Е Я и любых аыаз,,.,,ао, О < а < 1 О = 1,2,...,п), аь + аз + ... + аи = 1, верно неравенство (неравенство Йенсена) ,((аьхь + азха + ... + а„х ) < аь ((хь) + аз,Г(хз) + ... + аьь~(хи). Гл. 1. Введение 106 244. Функция г"(х) определена на Я, и для любых хм хе Е Я л(х1) + л(хз) — л(х1 + ха). 1) Доказать, что для всех рациональных х .(( ) = У(1) 2) Доказать, .что если г" неограниченна в окрестности некоторой точки, то она неограниченна в любой окрестности любой точки.
245. Функция 1 с ПЦ) ф (О) такова, что для любых о,Д Е Я и любых тиха Е П(1) выполнены УсловиЯ ох1+)ахи е ПУ), .У(ох~ +))хз) = оУ(х1) + Щхз). Доказать., что ВЦ) = Я и для любого х Е Я ,((х) = П1) . 246. Для функции 1 существуют числа Т ~ О и а такие, что для любого х С 12(Г) имеет место х+ Т Е ОЦ), т — Т б Тд(1) и верно одно из равенств: 1) т(х+Т) = 1"(х) + ад 2) т(х+ Т) = т(х) +ах. Доказать, что соответственно: 1) ((х) = р(х) + — х, 2) ~(х) = р(х) + — (ха — Тх); где ~р(х) --- периодическая с периодом Т функция. 247. Для функции 1 существуют число Т ф О и многочлен б)„(х) степени в такие, что для любого х б 1лЦ) имеет место х+ Т б ЮЦ), х — Т б 0Ц) Г(х+ Т) = Г(х) + ед„(х). Доказать, что существует многочлен Реь1(х) степени и+1 такой, что 1(х) = ~е(х) + Р„е (х), где ее(х) -- периодическая с периодом Т функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
