1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 19
Текст из файла (страница 19)
248. Для функции 1 существуют числа Т ~ О и й > О такие, что для любого х Е ЙЦ) имеет место х+ Т Е О((), х — Т б РЦ) г'(х + Т) = к г'(х) . Доказать, что существует число а > О такое, что )(х) = а'р(х), где фх) -- периодическая функция. у 7. Числовые функции. Последовательности 107 х„= (сл+Д) "~~ о" 0 х„ьхь ь=о иЕИ, гь>2, 249.
Выяснить, какие из чисел а, 6 являются членами последо- вательности (х„), если: 1) а = 1215, 6 = 12555; хп = 5 . Згп з, п Е И; 2) =ь,ь=ь;*,= 'Р-ь32 —, ьш; 3) а = б, 6 = 11; х„= (гьг+ 11)/(и+ Ц, гь 6 И; 4) а = 248, 6 = 2050; х„= 2" — и., и Е И. 250. Найти наибольший член последовательности; 1) (21/(Зиг — 14и — 17)); 2) (в/(ил+9)); 3) (2 "— 3.4 "); 4) (иг/2п).
251. Найти наименьший член последовательности: 1) ((2и — 5)(2и — 11)): 2) (и+ о/и); 3) (1обд и — 31оаз и); 4) (1,4" /и). 252. Является ли последовательность (уь) подпоследователь- ностью последовательности (хп), если: 1) хи=и, иЕИ', а) уь=йг+1, ЙбИ; б) уь=йг — 4Й+5, ЙЕИ:, 2) х„=2и, гьбИ; а) уь = 2", Й Е И; б) уь = 2(Й+ ( — 1)"), Й Е И; 3) хо=1/и, гьЕИ; а) уу = 1/(Й вЂ” совий), Й Е И; б) уа = 1/(ЗЙ вЂ” совий), Й Е И.
253. Пусть (хпь) подпоследовательность последовательнос- ти (х„). Доказать, что иь > Й, Й Е И. 254. Привести пример последовательностей (хп) и (уь) таких, что Чй Вгьи. .уь = хп„, но (уь) не является подгюследовательностью последовательности (хп).
255. Привести пример последовательности (хп), удовлетворяю- щей условию; 1) МгпВгь: хп Фхп; 2) 5ИУгь>И. х <х 3) ЛЛ'ь ьйь > Иг . хкц > хп и ЛИг 'ои > Иг . 'х . < х,; 4) ЛИ Ми > И 'дт > и: х„< х 5) уиЗт>иВЙ>и; хт<хп <хи 250. По известным трем членам хы хг, хз последовательности найти формулу общего члена в виде хп = /(гь), где /(х) многочлен не выше второй степени. 257. Доказать, что если х~ — — а'г" (а > О), хигь — — (а/х„)'7", и,Е И, то хп пса0 ~ "~ П~"ЕЯ 258. Пусть хо=1, хь=и, Гл. 1. Введение 108 где а, а, Д положительные числа.
Найти формулу общего члена этой последовательности и номер наибольшего члена. 259. 1) Найти общий член последовательности 1хе), если х1 — — а и х„,л„— — х„+ х„+ пни для любых пг, и Е И. 2) Существует ли последовательность (х„) такая, что для любых пг, п Е И верно равенство х ее — — х,„+ х„+ па+ и г 260. Найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентным способом (и, Ь, о, ~3 — заданные числа): 1) х1 = О, х„ж1 = (х„+ Ц/(и+ 1), тг Е И; 2) хг = а, х„е1 = (и + 1)(хе + 1), и Е И; 3) т1 = 1/2, хе ег — — 1/(2 — х„), х Е И; 4) Х1 = а, Хел 1 = аХн +,32е, а ~ 2, И Е И; 5) х1 = 1/2, тел.г = 2/(3 — х„), и Е И; 6) х1 = О, хз = 1, хн г —— (Зхе-~-г — хе)/2, п Е И; 7) хг=а, хг=Ь., х,ьд=х,ег+2хе. ггс И.
261. Найти формулу общего члена для последовательностей 1хе) и 19„), если хг= а, 91 — — Ь, х„ег = (2х„+ д„)/3, у„ег = (х„+ 2д„)/3, и Е И. 262. Последовательность (хв) задана рекуррентныь| способом: хг — — а, хз = Ь, х„жг =рхе1-1+Чхе, и с И; а., Ь, р, а заданные числа. 1) Доказать, что если уравнение Лз = рЛ+ д имеет различные корни Лг и Лг, то общий член последовательности (хв) имеет вид (Л а — Ь)Ле ' — (Л~в, — Ь)Л", Ле ! 2) Доказать, что если уравнение Лз = рЛ+ а имеет кратный корень Л ~ О, то общий член последовательности (х„) имеет вид хе = (2иЛ вЂ” Ь+ п(Ь вЂ” аЛ))Л" г, п 6 И.
263. Последовательность (х„) задана рекуррентным способом: хг — — а, хз = Ь, хеьг — — Рхеег+Дхе+г, п, Е И; а, Ь,р,д,г .—. заданные числа. Найти формулу общего члена, если: 1) уравнение Лг = рЛ+ а имеет различные корни Л1 и Лз; 2) УРавнение Лг = РЛ+ а имеет кРатный коРень Ло ~ О. 264. Найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррептным способом: 1) г'1 = хз = 1; хел-з = 0,5(хи-1-1 + хп) + 1, и Е И; 2) х1 = хг = 1, хе-~-е = хел 1 +'2те + 2, и Е И.
4 7. Числовые функции. Последовательности 109 265. Найти формулу общего члена последовательности (хи), если хь = и > О, х„.„, = 1/(1+ х„), и Е И. 266. Найти все значения а Е Я, для которых формулы х~ — — а, х,„эь — — х„/(2+ хи), и Е И, задают последовательность. Найти формулу общего члена этой последовательности. 267. Пусть хь = и, хи, ь = хо/(4 — т.„), н Е И. 1) Показать, что если а К [3; 4), то эти формулы задают последовательность, и найти фореиулу ее общего члена. 2) Найти все значения а, при которых эти формулы не определяют последовательность. 268.
Найти формулу общего члена последовательности, заданной рекуррентным способом (и, Ь, с, с5 . заданные числа): 1) ХЧ = а, Хон Ь = Хо)(Ь+ Хн), Н Е И; 2) хь = о, хиьь = Ьх„/(с+ ь5х„), п Е И. 260. Пусть хь — — р, р Е И, холл —— ха + 2", п Е И. Доказатьч что существует подпоследовательность этой последовательности, все члены которой делятся на 3. 270. Пусть Ни = 2 + —, + —, 5- ... Ч- —,, 1 1 1 1 1 1 и„— 3 1 3 2! 2 3 3! (и — Цн и! Доказать, что 1 а„ = Я„ + п п! 271. Доказать, что если (х„) и (уи) . - ограниченные последовательности, то ограничены и последовательности 1) (х, у„): 2) (сьх„ + Ду„), сь,Д Е Я.
272. Привести пример ограниченных последовательностей (х,) и (ун), у„ 7. -О, и Е И, таких, что последовательность (х„/уо) неограниченна. 273. Последовательность (х„) ограниченна, последовательность (уи) удовлетворнет условию: существует С > О такое, что для любого п Е И верно неравенство ~у.„~ > С.
Доказать, что последовательность (хн/уо) ограниченна. 274. Последовательность (х„) неограниченна. Доказать, что она содержит подпослодовательность (х„ь) такую, что х„, > Й, й Е И, или хоь ( — Й, Й Е И. 275. Доказать ограниченность последовательности: 1) ( , ~; 2) ( , ); 3) ( ); Гл. 1. Введение 110 (пз+4п+3) 3) ( Зад+6 276. Доказать неограниченность последовательности 1) 11 — 1)пп); 2) 1пз — п); 3) 111 — п)41йси), 4) та+1 — 1)пи); 6) 1 1-0"); 6) Е<1 — )-.1н"~11); 7) 1 з)< '+ ц); 8) )(п — п4)/(и -1- 2)з) 277.
Доказать ограниченность п 1) хп = ~~, п Е И; 2) й=1 3) Хп = —, ~ ~ 1, П Е И. последовательности: и .тп = 1 4. ~ —,, и Е И; 1 й=1 " ~=1 1=1 Доказать ограниченность последовательности 1280 282). 280. 1) т„= ~ ., п Е И; 1.=-1 и 1 йа+ йй — 1)дДа+ Ы) 14 5) хо: 1О8а ((1 — —,) (1 — — „)...(1 — —,,)), п Е И. и ) 2. Зп-Ьб ъсер+ 2 — ') (~п ЗНЛ+ ) )' ( гз пп" -+ 2п + 4/из + 2 ) Зп — 2пз П сй. произведение висел с1.сь ...,с„.
й.—.! 278. Доказать, что если а1 = 1, ап4.1 = 'йи + 1)1ап + Ц, и Е И, то последовательность хп = П (1 + †) ограниченна *). 1 — — 1 279. Доказать ограниченность последовательности 1хп) и найти впр)хо), 1п11х„), если: й=1 3)х =~~ ),ПЕИ; 27. Уисловые фуннции. Последовательности 282. 1) (1/и'+1 — и,); 2) (;/и — 1 — ь/п+1), 3) (и (;lпл -1- и, —,lп4 — п) ); 4) ( Яп — из + Яп -1- пз); 5) (,е/па+1,/ 2 ц 6) (~" +" / 2 1~ 283. Доказать неограниченность последовательности: !) !Л» С +й — % — ьц; 2) !фдь)-1)" уи — ). 284.
Найти р, о, 0 < !) < р, нри которых ограниченна последоВатЕЛЬНОСтуи ~) ! 'бетту — ')л — ь1); 2) !4'у — ыт1 — сит)); ь) ! иБ ь о ь 1 ФК ь ь ' ь 1), ь с в, ь ) 2, Л ь. 285. Доказать ограниченность последовательности: 1) ((1+ -) ~! 2) (Я); 3) ((1+ -) ), >О. 286. 1) Доказать, что последовательность ((!пп)/и) ограниченна сверху числом 1п2.
2) Найти зпр((1пп)/и). 287. Доказать ограниченность последовательности: (2" +1~ 2) (о" 'Ч 2" ) 3) (1а пЧ-1О~ 4) (1и(3п+ 5) — !д(п+ 1)); 5) (1п(ь/2пз+ 1 — и) — 1пп); (Ра(п -1- ) — Ы(п-Ь!)) 7) (п-51ап~ ( и+1~ 9) (1п (п + 1) — 1плп). 288. Доказать неограниченность последовательности 1) (5" — 4"); 2) ( „)! 3) л71)й): 4) ( "и ~ "); 5) ( — „() 6) ( — „~, ~а~>1, ЙЕп'; 7) ( ). 289. Доказать ограниченность последовательности: 1) (и/Зн); 2) (пл/2и); 3) (и"/2"), рЕ й; 4) (пс)е), !ц! < 1; 5) (пло"), р 6 Я, (д( < 1. 290.
Доказать: 1) ограниченность последовательности хо=~ Й)7', пай, ~0~<1; Ь=! *) )2н))! = 2 4 6...2п; (2п — 1)!! = ! 3 5...(2н — !). Гл. П Введение 112 2) неограниченность последовательности и х„ = ~ йд" 1, и Е И, д Е Я, д ~ О. Ь=1 291. Доказать, что последовательность 1хп) такая, что х„+1 х1 = 2, хпз1 =, п Е И1 Ьхп 1) ограничена снизу числом 1/5; 2) ограничена сверху числом 2.
292. Доказать ограниченность последовательности. 1/ Ь 1) х1 = а > О, хпл 1 = — 11х + — ); 2 1 хп)' Хп,1-Ь Хп 2) х1 —— а, хз = Ь, хпзл —— 2 293. Доказать неограниченность последовательности: Ц х1 — хз — 1 .гп:.1'2 — хпе1 + Охп; 3 2) х1 —— — 4, хз — — 3, хп.ье — — хп- ~ + 4 294. ДОКаЗатЬ, Чта ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ 1Хп), ГдЕ Х1 = Хз = 1, хп Хилз = Хпь1 + —, П Е И, ОГРаНИЧЕННа. 2п ' 295. Пусть 1х„) последовательность натуральных чисел такая, что последовательность Вп = — + — +...+ —, 1 1 Х1 Х Хп,' ограниченна.
Доказать, что последователызость и ограниченна. 296. Доказать неограниченность последовательности и хе=~~ ( — 1) ~'Й1, пЕИ. й=! 297. 1) Доказать, что если последовательность Я = ~~ хп ограниченна, то огРаниченна и последовательность 1хп). 2) Верно ли, что если последовательность 1х„) неограниченна, то неограниченна и последовательность и оп = ~хе~ п Е ИГ 1=1 298. Доказать ограниченность последовательности: Гл. 1. Введение 1 5) хс — — 1; хеьс = , ссЕШ. 1-Ьхе 308.
Доказать, что если (х„) - монотонная последовательность, 1 то и последоватольность ( ) монотонна. (, ), 309. Доказать, что данная последовательность убывает, начинал с некоторого номера; 1) (и/4сс): 2) ((Зи+ 1)з,СЗсс); 3) (псс(2е); 4) (псде), 310. Доказать монотонность последовательности: 1) (п — 6'сцгс); 2) (15п, — п); 3) ((15гс)си). 311.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
