1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1. Введение )х — Ц вЂ” (х+Ц х х 4) д = ) ц ) ц, 5) у = , ' ; 6) д = Исследовать на монотонность функцию (155, 156). 155. 1) д = /х~ — 1; 2) д = ъ'2х — хР; 3) д = 1 хгх~ — Ь вЂ” 2 4) д = К1 — т'-', 5) д = 1 — Кх~ —.1; 6) д = ,з/хе 8 ' 7) д = т/х — 2 + хггх + 2; 8) д = хггх — 1 — тггх + 1; 9) д = х — ъ'х' — 1. 156. 1) д = яп х+ сових, х 6 (О;я); 2) д = ', х 6 (О; 2гг); 3) д = 18 х + сг8 х, х 6 (О; я), х ф —; 2 жяпх ' 2' 4) у=0,31' Ог*: 5) д=1ойл(8х — хз); 6) д=!п(ъГхс+1+х): 7) д = 2.3г ' — 9 л; 8) д = 21о8 (1+ хе) — 1о8,(1+ хе). 157. Доказать, что функция д =х — езьпх, где 0(е(1, строго возрастает. 158.
Доказать, что функция д = хз + хз: 1) возрастает па (О; +со); 2) немонотонна на [ — 1;О). 159. Доказать, что функция д = ' , а, )1 6 В, монотонна яп(х -~- о) еса(х -~-,3) ' на любом интервале, содержащемся в ее области определения. 160. Функция д = Г"(х) монотонна. Доказать, что: 1) функция д = — 7'(х) монотонна; 2) если 7"(х) > 0 для любого х 6 7д(7), то функция д = 1ггд"(х) монотонна. 161. Доказать, что сумма возрастающих (убывающих) на интервале (а; Ь) функций возрастает (убывает) ца (а: Ь). 162.
Доказать, что композиция монотонных функций является монотонной функцией. 163. Доказать, что: 1) функция, обратная к возрастающей функции, является возрастающей; 2) функция, обратная к убывающей функции, нвляется убывагощей функдией. 164. Сформулировать и записать, используя символы 3, Ч, утверждение: 1) функция не является возрастагощей; 2) функция не является убывающей; 3) функция не являетсн монотонной. д 7, Числовые фдннчип Последовательности 165. Привести пример двух возрастающих на интервале (а;Ь) функций, произведение которых: 1) возрастающая ца (а;Ь) функция; 2) убывающая на (а,:Ь) функция; 3) немонотонная на (а; Ь) функция. 166. Привести пример функции, определенной на й, которая не является монотонной ни на одном интервале.
167. Функцию 1(х), х 6 (а; Ь), называют возрастающей в точке хо 6 (а; Ь), если существует б > 0 такое, что т'(х) < т'(хо) для всех х 6 (то — б,хо) и Дх) > д"(хо) длн всех х 6 (хо,хо + б). Является ли монотонно возрастающей на (а; Ь) функция, возрастающая в каждой точке интервала (а; Ь) Г 168. Пусть хо решение уравнения а'+ Ь' = с, и пусть либо 0<а<1 и 0<Ь<1, либо а>1 и Ь>1. Доказать, чтодругих решений это уравнение не имеет. 169.
Пусть г", д и г" — д .. возраста|ощие функции и г"(хо) = = д(хо). Доказать, что система з Пх) = д(д): т'(д) = д(е), У(е) = д(х) имеет единственное решение. 170. Пусть функции (' и д определены на множестве Х. 1) Пусть 1(х) > д(х) для любого х 6 Х. Доказать, что апр ( > ацр д, ш1 1 > 1п1 д. х х 2) Пусть зпрг' = +со, 1п1 д ф — со. Доказать, что х х енр((+ д) = +со. 3) Пусть ш( г" = — оо, зпрд ф +со.
Доказать, что х пП(1+д) = — оо. х 171. Пусть функция г' нечетная. Доказать, что пП г" = — апрг', епрг" = — ш1 г". <о >о ' о *>о 172. Сформулировать и записать, используя символы Л, 'д, утверждение: Ц число а не является верхней гранью функции; 2) число а нс является нижней гранью функции.
173. Найти ш1п г", если: х Га. П Введеяие 1) /(х) = х + †, Х = (О; +ос); 2) /(х) = — , Х = (1; +ос); 3) /( ) = 1., + с»8зх+», Х= [-;-'1[. соьз х ~6' 3>' 4) /(х) = »8х+ с»82х, Х = (О:гг/2). 174. Найти: 1) пггп(х — 2т/х); 2) шах (Згйх — гйзх). ге;-/зг 175. Найти шах/, если: 1) /(х) =9ха+ —,, Х = ( — оо; О); 3) /(х) = х /» - х, Х = [-1: 1]; 4) /(х) = »ойе(х+ 1) + »оя, г, х, Х = (О: 1). 2) /(х) =, Х = (О;+оо); 176.
Найти шах/, пйп/, если: 1) /(х) = е гг~ — е з~*~; 2) /(х) = соазх-Ь соях Ч-3; 3) /(х) = сйп х — 4а»ах+ 3; 4) /(х) = агпах+ солях; 5) /(х) = шпхсйп3х; 6) /(х) = соа(1+ з»пх); 7) /(х) = ягп(2созх — 1); 8) /(х) = хз/(х4+ 1); 9) /(х) = (х+ Ц/(х + 3). 177. Найти шах/, пйп/, если: л ' х 1) /(х) = »ойг гз(х~ + х — 2), Х = [3;6]; 2) /(х) = 1ояа(8х — хз — 7), Х = [2:5]; 3) /(х) = соаз х + аш х, Х = [гг/3; я]; 4) Д(х) = ', Х = [1;3]; 5) /(х) = ', Х = [ — 14; — 7], 6) /(х) =,;, Х = [ — 1,5;1 5]. 179. Найти ппп(х — т/х + 3). 180. Найти шах/, шгп/, если: 1) /(х) = х — т/» — хг.
2) /(х) = „гб — х + .„'х — 2 181. Найти пцп/, если: 1) /(х) = (х — 1)(х — 2)(х — 3)(х — 4); 2) /(х) = (х — 1)(х — 2)(х — 5)(х — 6); 178. Сформулировать и записать, используя символы Л, Ч,. утверждение; 1) значение /(хе), хе Е Х, не является наибольшим; 2) значение /(хе), хе Е Х, не является наименьшим значением функции на множестве Х. 4 7. Числовые функции.
Последовательности 3) Т(х) = (т — а)(х — 5)(х — с)(х — с1), где 6 — а = с1 — с; п 2-» сов х 4) Т(х) = ~~ (х — ав)в' 5) Т(х) = ( ) 182. Найти пйп ( + ), п Е И. 1 1 ~о;0 ~Т» х 1сТ:х 183. Доказать: 1) графики функций р = г"(х) и р = Т( — х) симметричны относительно оси ординат; 2) графики функций у = Т(х) и у = — Т(х) симметричны относительно оси абсцисс; 3) графики функций у = 1(х) и у = — 7( — х) симметричны относительно начала координат; 4) графики функций у = д"(х) и у = 7 л(х) симметричны относительно прямой у = х. 184. График функции д симметричен графику функции ф относительно прямой х = хо. Выразить значения функции д через значения функции 7.
185. График функции д симметричен графику функции 1 относительно прямой у = ув. Выразить значения функции д через значения функции Т. 186. График функции д симметричен графику функции Т относительно точки (хо,уо). Выразить значения функции д через значения функции д. Построить график функдии (187--194).
187. 1) у = (х — Ц+ (х — 2! — )х — 3(; 2) у = )х — 2)+ (х!+ (х+ 2! — 3; 3) у = (х — 2)х — Ц); 4) у = (2х — )х/ — Ц; 5) у = — Цх+ а/ — (х — а!), а > 0; 1 2о 6) у = в18пх — — Цх+а~ — (х — а(), а > 0; 7) у = 1 3+ 2)х( 2л 3 — 2)х( (х -» 2) -» )х — Ц 8 у= (х — 2( + (х -» Ц 188.
1) у = 2(х + 2)з — 3; 2) у = 1,2 + — (1 — х)з; 5 1 3) у = хз + х; 4) у = — — — х — хз; 5) у = 0,1(1 — х)л — 1; 4 4 6) у = 2 — — (х + 2) л. 1 8 189. 1) у = ьГ1 — 2х — 2; 2) у = 3 — 0,5~3~ — 2; 3) у = 26с3х — 6+ 1; 4) у = 2+ (~1 — -х; 3 4"л. 1. Введение ) 00 (2 + 1)з/4. 6) у 3 (8 1)г)з. 2 1 з1з. 8), ( 1)т!г 2 ) у = у))2 — ); 2) у = 422 — 4) 8 3) у = ~ 8 — ) — 1); /Г +цз 1 1 1 1,)4 — х К2х+ 8 зГх — 1 ' 2.„/х+ 1 4 — 2 з'х 4-1 5) у= 1 д= хг „'» =,2, ...1 1 1 х' — 9 ' 8) у= тг — 2х — 8 5) у= 7) у= 190.
1 4) у= 191. 1 4) у= 192. 1 4) у= 7) у= 2) у = , ; 3) д = хг — 1 хе ж 1 193. 1) у = 2х — 4х+ б д=,г хг — 2х -)-2 184. !) у= 1844г — *; 2) у=) )1 — * 41) 18 3) 2=2 — 8 — 2 —; 4) у=; Б) у= Я вЂ” хг з) Зх — хг 6) у = хз)УТОΠ— х'; 7) у = г: + зг)1 — х'. 196. Найти центр силзметрии графика функции: 1) у=; 2) д=, сф0; 3) у=ха — бхг; 4) у=ах +Ьх~+сх+41, афО. 197. Доказать, что графики функций у = хз — Загх и у = хз— — Захг получаются один из другого сдвигом.
Построить график функции (198 202). 198 1) у = хз — Зтг+ 2х; 2) у = тз+ 6 199. 1) д = Е(~х~); 2) у = Е(х' — 1); 3) у = Е(1))х); 4) у = (Е(х))г — 2Е(х) — 1; 5) у = ~х — Е(х) — 0,5~; 6) д=(х — Е(х))', 7) у= — Е(х). 8) у=( — 1)В07'~. 195. Найти соотношение между а, Ь, с, 4(, при котором график ахч-б функции д = получается сдвигом графика функции: ех ж д 1) у = —; 2) у = " ', хг ~ х).
Г 7. Числовые функции. Последовательности 101 200 Ц у 1 Зол — 1. 2) д 21 — л*+ 2. 3) д = !о8я(О,оси+ 2); 1 4) д = — — !о81(1 — х); 5) д = Зг ~е вз~; 6) д = ~0,5с — 2~; 7) У = !8(3 — х)-'; 8) У = !о8о в )1 — 2х! + 2; 9) Ч = ( !о8г (х)(. 201. Ц у = 2''""-*'; 2) у = 217'; 3) у = 3!' 4) у = 0,5' *; 5) у = !о817я(хг — 8х)+2; 6) у = !8 х -с 3 7) у = еьд* 11; 8) у =,; 9) у =!п(ь/хг+ 1+х). 202. Ц у=Е(2'); 2) д=2Я®; 3) у=2' 4) у = Е(!о8г т); 5) у = !8(х — Е(х)). 203. Доказать, что даннан функция периодическая, и найти ее наименьший положительный период: Ц у=х — аЕ(х/а), аЕ 17, афО: 2) у=Е(2х+5) — 2х; 3) у = ~яш(у'2х+ Ц~, 4) у = яп2х+вш Зх; 5) д = яп4х+ 5совбх: 6) д = 3вш4х+ 2!85х; 7) у = вш х+ сове х; 8) у = 1д(х+яшт); 9) у = яш(соях); 10) д = соя(яп х); 1Ц д = в!пз х + совт х.
204. Доказать, что данная функция непериодична: Ц у=яштЯ; 2) у = соя х + соя ху'2+ ... + соя х,/п, п Е И, п ) 2; 3) у = япх+ яп ьГ2х. 205. Доказать, что если отношение периодов периодических функций 7' и д нвляется рациональным числон|, то функции 7" + д и 7д периодичны. 206. Найти наименьший положительный период функции; 9х Зх Зх . 9х Ц у = 8 яп — ' + 2 соя —, :2) у = яш — + яп —; 8 2' 4 8' Р1х Ргх 3) у = аяш — -!-Ьсов =', где р1, рг, Ч1, Чг с И; ргчг Фргчь; Ч1 Чг Рьх . Р х 4) у = авш — + Ьяш —, где Р1, Рг, Чы Чг Е И Ргдг ФргЧ1'; Ч1 Чг О1Х Ргх 5) у = аяп — + 518 =, где р1, Ря Чы Чг 6 И, Рпдг т= РгЧ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
