1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При уо > — 2 эти решения различны, т. е. для уо > — 2 имеются два различных значения аргумента х1 и ха такие, что у(х1) = у(хз) (каленая прямая у = уо, уо > — 2, пересекает график функции в двух точках. Значит, функция, определенная формулой (5), на всем Я необратима. б) Уравнение (6) для любого уо > > — 2 имеет лишь одно решение х = 2 — 'ус+2 (7) из промежутка (-со;2]. Значит, функция, определенная формулой (5), на (-со;2] обратима. Графиком этой функции является левая от прямой х = 2 часть параболы на рис. 7.15, каждая прямая у = уо уо 3 — 2, пе- Рис. 7Д5 рссекает этот график только в одной точке. Область значений данной функции -- промежуток ~ — 2;+со) -- является областью определения Гл.
1. Веедение обратной функции, которая согласно (7) задается формулой 9=2 †чГх. (8) Чтобы получить график ооратной функции, совершим симметрию параболы р = хз — 4х + 2 относительно прямой у = х (рис. 7.15). Нижняя от прямой й = 2 часть получившейся параболы и будет графиком функции (8). а П р и м е р 6. По известному графику функции у=1/х, х 6 Я, х ф О (гипербола, рис. 7.16) построить график функции у=, х67Г., х~1.
1 — х ,й Имеем Рис. 7.16 р — — — — — — — 1. (9) х 1 + (х — 1) 1 1 — х х — 1 . — 1 Симметрия относительно оси абсцисс гиперболы у = 1/х дает график функции у = — 11гх, х 6 17, х ф О (рис. 7.16). Возьмем новую систему координат, получающуюся из прежней в соответствии с (9) сдвигом влево вдоль оси абсцисс на единицу, а затем сдвигом на единицу вверх по оси ординат (рис. 7.17). Кривая, изображающая график функции у = — 1/х, будет в новой системе координат графиком функции р = х,г(1 — х). 4 П р и м е р 7.
Построить график функции д = Е(х), х 6 Й (целая часть х), где Е(х) -- наибольшее целое число, не превосходящее х*). 4 На каакдом промежутке (и; п + 1), где и 6 х, данная функция постоянна и равна в. В соответствии с этим изображен ее график на рис. 7.18. Стрелка на графике указывает на то, что точка в ее острие не принадлежит графику. А П р и м е р 8. Построить график функции, заданной формулой 1 й = 2* — 1 а Функция определена для всех таких хаий,что 2'у':1, т.е.
хфО. Рис. 7.16 ) Иногда ату функцию обозначают у .= [х). 9 7. Числовые функции. Последователвности При построении ес графика можно использовать график функции у = Рис. 7.20 Рис. 7.19 = 2' — 1, х Е й (рис. 7.19). Эта функция строго возрастает от — 1 до +со. Значения данной функции обратны значениям функции у = = 2" — 1.
На ( — оо; 0) данная функция убывает от — 1 до — со, а на (О;+ос) убывает от +со до О (рис. 7.20). а Пример 9. Построить график функции, заданной формулой у = 111~,(х — 1). А Функция определена для всех х таких, что )х~ > 1, т. е. на объединении интервалов ( — со; — 1) и (1;+ос).
Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Данная функция нвляется композицией функций у = хз — 1 (ее график показан на рис. 7.21) и логарифмической функции у = 1ояз х. Рис. 7.22 Рнс. 7.21 На интервале (1;+со) значения хз — 1 строго возрастают от 0 до +сю, поэтому значения 1ойз(х~ — 1) строго возрастают от — со до +ос. График пересекает ось абсцисс при х = з72 и х = — 172 (рис.
7.22). а Гл. 1. Введение 70 Пример 10. Доказать, что функция, обратная для функции у = сЬх, х Е [О;+ос), являетсн элементарной, и построить ее график. Л На [О;+ос) функция у = сЬх строго возрастает и поэтому обратима. Областью определения обратной функции будет промежуток [1;+со), являющийсн множеством значений исходной функции.
Для каждого у Е [1;+ос) уравнение сЬх = р, т. е. е*+ е 2 = У~ сводится к квадратному относительно е* уравнению [е')~ — 2уе' + 1 = О. Отсюда находим е' = у х т(7у'" — 1., х = 1п[у х;/у~ — 1). Условию х ) ) 0 удовлетворяет только решение х = 1п(у + т77уз — ц. Таким образом, обратная функции задается формулой у = 1пфе, + хГхз — 1), х Е [1;+ос). Видно, что эта функция получается с помощью конечного числа арифметических операций и композиций степенных и логарифмической функций, т. е.
является элементарной. График обратной функции получаем симметрией относительно прямой у = х графика функции у = сЬх, х Е [О;+со) [рис. 7.23). а П р и м е р 11. Построить график функции, заданной формулой у = соз х. Функция опредолена на Я, является четной, периодической с периодом л. Поскольку Рис. 7.23 соэ х = [1+ сов2х)/2, ее график получается из графика функции у = созх сжатием вдвое вдоль оси Ох, сдвигом на единицу вверх по оси Оу и сжатием вдвое вдоль оси Оу. В соответствии с этим изображен график на рис.
7.24. Рис. 7.24 Пример 12. Построить график функции, заданной формулой 1 у= сйа х у 7. Числов81е функции. Послвдователености 71 А Областью определения функции янлястся множество всех х Е е й таких, что 8!пх ф О, т. е. х у': 1гп, и е л. Функция нечетная, периодическая с периодом 2я.
Построим график на интервале (О; и), затем продолжим его на ( — я; О) симметрично относительею начала координат, а далее продолжим периодически с периодом 2я. Если х Е (О; я), то О < 8!и х < 1, и поэтому 1( 1 81а Х причем 1 1 ппп = 1. 81и Х 8!а Х л=е/2 Поскольку еш(и/2+ а) = еш(я/2 — о), график симметричен отно- Рис. 7.25 1 СО8ЕСХ = 8!ПХ' 1 8ЕСХ = Сае Х Пример 13. Построить график функции у= ... „Х~Е.
й Функция нечетная, поэтому построим ее график при х ) О, а затем совершим симметрию относительно начала координат. При построении графика будем руководствоваться тем! что ординаты его точек получаются перемножением ординат точек графиков функ- сительно прял!ой х = к!'2. При увеличении х от О до я/2 значения 8!пх строго возрастают от О до 1, поэтому значения 1/ешх строго убывают от +со до 1 (рис. 7.25). А Функции, заданные формулами 1 1 у= 81и х со8 х называют соответственно косекансом и секансолс и обозначают Гл.
д Введение 72 ций у = х и у = сов х (рис. 7.26). График проходит через начало координат и пересекает ось Ох при х = х/2+ яп, п 6 У (где соя х = О). Поскольку — 1 < сов х < 1, при х > О имеем — 1 <хсовх < т,, т. с, график лежит между прямыми у = х и у = — х. При х = 2хп, Рис. 7.26 п 6 л (где соях = 1), график имеет общие точки с прямой у = х, а при х = .г + 2яп, п, 6 л (где сов х = — 1), -- общие точки с прямой у = — х.
Если О < х < 1, то О < хсовх < совх и хсовх < х, т. е. график лежит ниже графиков у = сов х и у = х. При х = 1 графики у = х сов х и у = сов х пересекаются, при этом у = сов 1 — О, 54. Если х > 1, то [хсовх[ > [совх[, при совх ~ О, т. е. точки графика у = хсоях лежат дальше от оси Ох, чем соответствующие точки графика у = совх. В соответствии с этим, рассчитав и отметив несколько промежуточных точек, изображаем график (см. рис. 7.26).
Он представляет собой кривую, колеблющуюся между прямыми у = х и у = — х. А П р и м е р 14. Построить графики функций, заданных формулами: 1) у = вш(атсв1пх); 2) у = агсвш(вшх). а Ц Эта функция определена на [ — 1;1]. Функция вшх, где х 6 6 [ — н/2;х/2], является обратной для функции агсяшх, х 6 [ — 1; 1], поэтому (см. и. 6, 1) для любого х Е [-1,1] верно равенство в|п(агсшпх) = х.
Отсюда следует, что у = х, х 6 [ — 1; 1], т. о. графиком данной функции является отрезок прямой у = х (рис. 7.27). Рис. 7.27 2) Эта функция определена па 17, периодична В 7. Числоввге функции. Последовательности с периодом 2л, так как вш(х+ 2л) = яшх, и, значит, агсягп(гбп(х + 2к) ) = агсв1п(яш х). Из того, что я1п(лгг2+ а) = в1п(ягг2 — о) для любого о е Я, следует агсвш(яш(л,г2+ и)) = агсвш(вш(л,г2 — а)). Значит, график данной функции симметричен относительно прямой х = лгг2. Построим график на отрезке [ — я,г2:я,г2], продолжим его симметрично относительно прямой х = лгг2 на отрезок [л,г2; Зл,Г2], затем с отрезка [ — лгг2; Зл/2] продолжим периодически с периодом 2л.
Функция агсяшх, х Е [ — 1:1], обратная для функции яшх, х Е е [ — я,г2; к/2], поэтому длн любого х е [ — л,г2;л,г2] имеем агсяш(вшх) = х. Таким образом, на отрезке [ — к,г2; я,Г2] график данной функции совпадает с прямой у = х (рис. 7.28). Из симметрии графика относительно прямой х = кг'2 следует, что на отрезке [кгг2; Зкгг2] он совпадает с прямой у = к — х, т. е. агсвгп(яшх) = гг — х, х Е [л,г2;Зя,Г2]. На этом отрезке функция у = агсв1пх, х Е [ — 1: 1], не является обратной для функции у = я1п х. А Пример 15. Построить график функции, заданной формулой 1 у = агсвя — .
х2 А Данная функция является композицией функций = 1гхз, х Е Я, х ф О, с множеством значений (О;+ос) и функции у = агг:тйз, з б Я. Областью определения данной функции являются все значения х у: О. Функция четная, ее график Рис. 7.29 симметричен относительно оси ординат. Из свойств функций з = 1ггхз и у = агс1яс следует, что при возрастании х от О до +со значения 1Ггхз убывают от +ос до О, а значении аггпп(1гхв) Убывают от Ягг2 До О. Рассчитав и отметив несколько промежуточных точек, рисуем график (рис. 7.29). Точка (О;к/2) не входит в график.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
