1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 13
Текст из файла (страница 13)
а П р и м е р 16. Построить кривую х=т, у=1, тб Я. А Функции х = гз при 1 > О обратима, и обратной к ней является функция г = тггоц х > О. поэтому при 1 > О имеем у = (тггх)з = хзгв, т. е. кривая совпадает с графиком функции у = хзгз, х > О (рис. 7.30). Гм 1. Введение Рис. 7.30 Рис. 7.31 При 1< О аналогично имеем 1= — „/х, х > О, и д = ( — т/х)з = — (х)377, т.
е. при г < О криная совпадает с графиком функции д = — (х)377, х > О. Отметим, что данная кривая совпадает с графиком уравнения х = дз, а также с графиком функции х = дз7з.,а Пример 17. Построить график функции г = се, ье е [О;.+со), в полярных координатах. С ростом р растут и значения г, т. с. расстояние от точки графика до центра О.
Рассчитав и отметив на плоскости несколько точек, рисуем график. Отметим, что каждый луч, составляющий с лучом 1 угол а (О < а < 2я), пересекает график в бесконечном множестве точек нида (а + 2яп; а+ 2яп), и Е Е, и ) О (рис. 7.31). График данной функции называют спиралью Архимеда. При построении графиков функций в полярных координатах иногда бывает удобно перейти к прямоугольным координатам. В свою очередь для некоторых функций их графики в прямоугольных координатах бывает проще построить, перейдя к полярным координатам. Пример 18.
Построить в полярных координатах график функции, заданной формулой г= (10) сое сс — сйп Ье й Областью определения этой функции являются все те значения ье, для которых соз ье — аш 1е > О. (1Ц Функция периодична с периодом 2л, поэтому достаточно рассмотреть лишь значения ье из промежутка ~ — Зл/2;л/2~., удовлетворнющие неравенству (1Ц, т. с. се Е ( — Зя/4,я/4).
Для таких ье имеем г свесе — га1псе = 1, или, переходя к прямоугольным координатам, х — д = 1, т. е, д = х — 1. График функции д = х — 1 есть прямая у 7, Числовые функции. Последовоте.гвности (рис. 7.32). Как доказано, каждая точка графика функции (10) при- надлежит этой прямой.
Легко показать, что верно и обратное: каждая точка прямой у = х — 1 принадлежит графику функции (10). Значит, графиком (10) является прямая у = х — 1. А Пример 19. Найти формулу' общего члена для последовательности: 1) хг=1, з'з=1, хо=хо — с+хо — з; нб Е И, и > 3 (последовательность Фибоначчи); 2) хг =а, хе=Ь, хи=хи г — (1г4)х„ ггсгЧ, п>3; 3) хг — — О, хз =1, хи =хн г — хв э, геЕ М, Рис.
7.32 ге > 3. а 1) Найдем последовательность вида (Ле), удовлетворяющую условию хв = хе г + хв, н Е М, п, 3 3 (здесь Л ф 0 лгожет быть, вообще говоря, и комплексным числом). После подстановки х, = Л" получим уравнение Лэ = Л+ 1 (его называют характеристическим уравнением), откуда Лг — — (1+ гггбо)гг2, Лз — — (1 — игб)г2. Каждая из по- следовательностей (Л") и (Лз ) удовлетворяет условию х„ = хи г + +хо з. Для любых чисел сг и Д последовательность с общим чле- ном хи = аЛ," +,ЗЛг также удовлетворяет этому условию.
Найдем о и Д так, чтобы хг = оЛг + ДЛз = 1, хз = оЛзг + гЧЛ~ = 1; получим о= = —, гд= Лг(Лг — Лг) гсо ' Л.(Лг — Лг) ,гсо ' Подставляя значения Лг, Лэ, а н (г в формулу хи = оЛг + гЧЛ~~', находим формулу общего члена х-=ЛИ'; ")"-(',') ) -" последовательности, определяемой условиями 1). 2) Поступая, как и в случае 1), придем к характеристическому уравнению 4Лз — 4Л+ 1 = О, имеющему один двукратный корень Л = 1г2. Последовательность (2 ") удовлетворяет условщо 1 х„=х.г — — хо з, пбй, п>3. 4 Другой такой последовательностью является, как легко проверить, последовательность (п2 и).
Последовательности вида (о2 " + +(1гг2 ") также удовлетворяют этому условию. Определив а и Д из условий 1 1 хг = а . — + гг — = а, 2 2 получим о = 4а — 4Ь, хз =а — +Н 2 — =Ь, 1 1 1 д = 4Ь вЂ” 2а. Гж 1. Введение Значит, формула общего члена последовательности, заданной условиями 2), имеет вид хп (2а 2Ь + (2Ь а)лл)2 и е И 3) В атом случае характеристическое уравнение Лз = Л вЂ” 1 имеет комплексные корни Лл = е'"/з и Лз = е '"/з.
Последовательность, удовлетворяющую условиям 3), будем искать в виде х, = ое" "/з + + Де л™, и из условий хл = О, хз = 1 найдем, что — иг/3 д ~н/3 л л /3 л/3 Отсюда (Ел"'и — ЛЛ/З - Š— ЛнЛп — ЛЛ/З) 61П ~~~ ) П Е И А лт73 л/3 ' 3 Пример 20. Доказать, что ограничены последовательности: 1) хе=, ллеИ; 2) х„= — „, псИ, где а>1. ( — 1)" и+ 10 п а 1) Поскольку )( — 1)пп + 10! < )( — 1)"п) + 10 = и + 10, лЯ+ 1 > п, имеем ~( — 1)" п-~- 10~ т/ллл+ 1 п п что и означает ограниченность 1х„). 2) Очевидно, для всех п й И имеем —,; >О. Поскольку а — 1 > О, по неравенству Бернулли ихлеехл для всех и Е И ап — (1+ а Цп > п~а Ц откуда — ( и, 1 а" а — 1 Таким образом, для всех и верны неравенства 0« — 1 ап а — 1 т.
е. последовательность ограниченна. А П р имер 21. Доказать, что неограниченны последовательности: 1) ., ееелп сИ. 2) ' йИ 100 — ие пл 10 ' д 1) Если п = 2й, то соз2хй = 1 и хзь = 2Ь. Пусть С - произвольное положительное число. Возьмем четное число 2й, большее С (например, 2Ь = 2(Е(С) + 1)); тогда хзь > С, т. е.
данная последовательность неограниченна. 2) Из форллулы общего члена имеем и'~100/лле — Ц ( 100/и~ — 1 )х)= е е =и п-'/1 — 10/п-'/ 1 — 10/п' 27. Числове~е 4уннции. Последовательности 77 Если п>6, то 100 1 100 1 — < — и 1 — —, > —; и' 2 ие 2' 10 но О < 1 — —. < 1, поэтому Π— соо7пеПΠ— ло7пе~ 1!2 и 1 2 Для произвольного положительного числа С возьмем и > 2С и (например, и = [2С) + 1), тогда ~х„~ > — > С, и, значит, данная 2 последовательность неограниченна.
А П р имер 22. Доказать, что последовательность бп хи= —, пйШ, и.' строго убывает, начиная с некоторого номера. й Рассмотрим отношение хп ~ т б ''и.' хп (и -~- 1)! 5п и + 1 Видно, что при п > 5 — ( — <1, хоп о хп 6 и, значит, хиь1 < х„(так как х„> 0). Итак, данная последователь- ность строго убывает, начиная с п = 5, й П р и м е р 23. Доказать, что последовательность хи = (1+ 1,7п)", п Е Ш, строго возрастает. А Рассмотрим отношение ( -ь1) П -ь1) ~(",-1)-1 Из неравенства Бернулли имеем длн любого и Е Ш (- е) 1 )и+7 и+1 и — >1- (и+ Це l (и+ 1)е и+ 1 ' Поэтому для любого п Е Ш спи п и-~-1 > хп и-~-1 т.
Е. Х„ж7 > Хп, И, ЗНаЧИт, ДаННан ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ СТРОГО ВОЗРаетает. А Пример 24. Доказать, что последовательность 1х„), где хо — — а, хпл1 — —;/6+ хп, п 6 Ш: 1) строго возрастает, если а = О; Гл. 1. Введение 78 здддци Найти области определения функции заданной формулой (1, 2). х' — 1 г у= хе — 6х ч-8 ' 2 у= 2)х! — 3 ' 1. 1) у = ' ; 2) у = , ; 3) 7) у= )х + 2! + 1 — 2х — 2х )2х Ч- 2! — 1 2 1) у —,з/~2 1.
2) у Г'хз. 1 4)у= 'г —: — ~; ь)1= 3) у= б)2 — х; 6) у х 3. Найти мцогочлен Рг,х) степени не вьппе трех, удовлетворяющий условиям: 1) Р(-2) = 1, Р(-1) = 6, Р(О) = б, Р(1) = 16: 2) Р(х ) = у, Р(хз) = у, Р(хз) = у, Р(х,) =у, х, Фхгч г.д = = 1,2,3,4. 4. Найти многочлен Р(х) степени не выше п, удовлетворяющий условиялг Р(хг) = уы Р(хз) уз " Р',хп) уп Р)хпег) уеег если х, Х'. -х.
при г,' ~ г' (г,д = 1,2, ...,и+ Ц. Такой многочлен называют интерноляиионныль 5. Найти области опРеделениЯ фУнкций 1), 12, 17 + 17, если 7) и 4з заданы формулами: 1) Их) = л)Г3:х, Ы,х) = чгт+ 1; 2) строго убывает, если а = 4. а Для п 6 И имеем хафез = 6+ х„ег, х~~) = 6+ х„, откуда х~-~-з х~-е) = хп ~-1 — хп.
3 (12) Доказательство проведем методом математической индукции. 1) Если хг = О, то хз = „)6 > х). Допустим, что неравенство хелг > х„верно для а Е И. Тогда из (12) следует, что х,',ч з > х~ч ), и так как хала > О и хеч.г > О, то верно неравенство х„ч.з > х„.е). Значит, х„е) > х„для любого и Е И, т. е. последовательность строго возрастает. 2) В этом случае хг = 4, хз = ЯО < хг.
Как и выше, легко доказать, что для любого а е И из неравенства хее) < х„следует неравенство х„ел < хееы Значит, хам) < хе для любого а Е И, т. е. в этом случае последовательность строго убывает. А Г 7. Числовззе функции. Последовательности 2) / (х) - /1 хз /з(х) - з/ 3) /г(х) = т/х х— тссх — 3, /з(х) = !8(хз — 4); 4) /~ (х) =,, /з(х) = 18 (х); 1 5) /г(х) =!8(16 — хз), Уз(х) = 6) ~з (х) = х + х/х — 1, /з(х) = т — з/х — 1. 6. Найти области определения функций / и 1//, если /' задана формулой: Ц./(*) = ' — +1; 2) г'( ) =[ [ — 2; 3),/(*) =!8(1 — хз); 4) /(х) = х+ з/х+2; 5) ~(х) = т/2х+1 — т/х+1; 6) /(х) = 5* — 2 з~; 7) /"(х) = 3 — 2созх; 8) /(х) = х/2 — 2 з!и х; 9) /(х) = 1 — с!8 х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
