1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 9
Текст из файла (страница 9)
а Делителями свободного члена многочлсна Р(х) являются числа 1, — 1, 2, — 2. Так как Р( — 1) = О, Р(2) = О, то числа — 1 и 2 корни многочлена Р(х), и поэтому этот многочлен должен делиться нацело на (х+ 1)(х — 2) = х' — х — 2. Тогда существует многочлен Гд(х) второй степени, старший коэффициент которого равен 1, такой, что Ц(х) = х~+рх+а и х — х — х — х — 2 = (х — х — 2)(х + рх+ а). , л 3 2 , з 2 уб. Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные араби 5! Приравнивая в этом тождество свободные члены и коэффициенты при хз, получаем д = 1, — 1 = — 1+ р, откуда Р= О, т.
е. с„г(х) = хе + 1. Ответ. (х+ Ц(х — 2)(ха+ Ц. д Замечание. Коэффициенты р и о можно получить, разделив "углом" Р(х) на хе — х — 2. л Пример 3. Представить рапиональную дробь, ' в виде х — х+ 1 суммы многочлена и правильной дроби.
А Используя метод деления "уголком", получаем т. г х =х +х —, .а хг — хж1 хг — хж1 П р и м е р 4. Указать вид разложения правильной рациональной х — Зх+ 5 дроби у(х) =,„,, на элементарные дроби на мно(х — Ц(х + 2)г(хг ж 4)г жестве Й. а Многочлен, стоящий в знаменателе дроби, имеет действительные корни 1 и — 2 кратностей 1 и 3 соответственно, а также пару комплексно сопряженных корней кратности 2.
Следовательно, Пх) =,' + А А1 +, + ' +, „+, 1 Аг Аз Вх+ В В1х+ Р1 х — 1 (х+ 2)г (х+ 2)г х+ 2 (хг+ Цг хг+ 1 П р и м е р 5. Разложить на множестве й рациональную дробь 1(х) на элементарные дроби, если: 2хг — 4х + Зх — 11 2 ( 1 (х) = ( )г( ) ~ ) (х) = г( ) 2хг — 4х -Ь Зх — 11 А~ А Вх -~- В . В правой (х — Цг(хг -~- 4) (х — Цг х — 1 хг ж 4 части этого равенства приведем дроби к общему знаменателю, а затем приравняем числители левой и правой частей получившегося равенства: Р(х) = 2хз — 4х~ А- Зх — 11 = = Аз(хг + 4) + А (х — Ц(х' + 4) + (Вх+ Р)(х — Цг. (8) Из равенства многочленов следует равенство их коэффициентов при одинаковых степенях х, т. е.
2 = Ах+В, — 4 = Аз — Аз+  — 2В 3 = 4Аг+ — 2В, — 11 = 4А1 — 4Аг + и. Репзив эту линейную систему, найдем искомые коэффициенты разложения. Эти коэффициенты можно найти, используя значения Р(Ц и Р'(Ц. Так как Р(Ц = — 10 = оАы то Аь — — — 2. Далее, Р'(Ц = 1 = Гл. 1. Введение = 2Аг + 5Аз, откуда Аз = 1.
Из первого уравнения системы (9) находим В = 1, а из третьего уравнения следует, что 10 = 1. Искомое разложение имеет вид 1 2 а+1 — 1 (х — Це хе+ 4 2) Искомое разложение можно получить с помощью следующих преобразований: У(х)— 1-~-х — х 1 1 1 1 1 хе(1ж хг)г хг(1ж хе) (1 4 хе)е х1 1-Ь хг (1 жег)е ' 1 ЗАДАЧ И 1. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен Я(х), если: Ц Р(т) = хз — Зхг -~- 4х,, фх) = х -~- 1:, 2) Р(х) = 2хго — 8хз+ 7 Я(х) = х — 2; 3) Р(х) = Зхл + 4хг, Я(х) = Зх+ 2; 4) Р(х) = хз + 4х~ + хг + 3, 1,1(х) = (х + 2) (х + 4); 5) Р(х) = хт + хь — 6хь + хз — 5. Ях) = (х+ 3)(х — 2); 6) Р(х) олоо 2тм + 1 Г)(х) хд 2.
Найти остаток от деления многочлена Р(х) на (х+ 4)(х — 5), если остатки от деления этого многочлена на х+ 4 и х — 5 равны соответственно 5 и 14. 3. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на (х + 2)(х + 4) х х(х — 3), если остатки от деления этого многочлена на х + 2, х + 4, х — 3 равны соответственно 6, 12, 26. 4.
Доказать., что многочлен Р(х) делится нацело на многочлен 1„г(х)., и найти частное, если: Ц р(х) хл Злз + бтг Зх + 5 1,)(х) хз + 1. 2) Р(х) = хл + Зхз — хз ж 2л + 2, Я(х) = хз — х + 1. 5. Найти частное Т(х) и остаток И(х) от деления многочле- на Р(х) па многочлен Я(х), если: Ц Р(х) = ха+ 5хз — 7х — 3, Я(х) = хз — 8х+ 16, 2) Р(х) — .гзо 1 1)(х) — хь,. 1 6. Найти такие числа Ь и с, чтобы многочлен хо + Ьхь+ схл де- лился нацело на многочлен 1,)(х), если: Ц ®х) = (х + 2)(х — 3); 2) ®х) = (х — 3)(х — 5). 7. Найти целые корни уравнения: Ц хз + 2хз + х + 2 = О; 2) хз — бхз + 15х — 14 = 0: 3) хл + 4хз — 25хг — 16х + 84 = 0; 4) хе — бх' + 11х~ — хз — 18х' + 20х — 8 = О.
46. Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби 63 8. Определить кратность корая хо уравнения: 1) Зхл — 4хл + 1 = О, хо — — 1; 2) хз бх4 + 7тз 2хг + 4х, — 8 = О, хо = 2. 9. Найти действительные корни уравнения: 1) хл — Зхг — 4 = 0; 2) ха+хи — 2х — 8 = О; 3) хе+ 2хз — х — 2 = 0: 4) хл — хз+ 2хз — 4х — 8 = О. 10. Найти все корни уравнения: 1) 2хз + 12хг -Ь 13х + 15 = О; 2) хл — 4хз + 7хз — 16х + 12 = О; 3) хз + 2хч + 4хз + 8т" + 16х + 32 = О; 4) хз — 2хл — 13хз+ 26хз + 36х — 72 = О. 11. Представить многочлен Р(х) в виде произведения многочленов первой и второй степени с действительными коэффициентами, если: 1) Р(х) = 4хч + 15хз — 4; 2) РЯ = хз — хл + х — 4; 3) Р~х) = хе -Ь27; 4) Р(х) = (хи +х)г+4хз+4х — 12; 5) Р(х) = (х + 1) (х + 3) (х + 5) (х + 7) + 15; 6) Рс ) хт+,,л+хз л 1.
7) Р1 ) х +1 12. Число 1+ иГЗ корень уравнения хл + ахз + Ьхз + бх+ 2 = = О. Найти остальные корни этого уравнения, если а и Ь рациональные числа. 13. ПУсть хы хз, хз — коРни УРавнениЯ хз + Рх + д = О. Доках~ + хз + хз = Зхчхзхз. з з з 14. Доказать, что при любых целых т, я, р многочлен ха~+ +хзчьь' + хзятз делитсн нацело на хе + х+ 1. 15. Доказать, что при любом с Е Й уравнение хз — хг + х+ с = О имеет только один действительный корень. 16. Доказать, что при а, > 0 и любом Ь Е Й уравнение хз + ах + + Ь = О имеет только один действительный корень. 17. Доказать, что если мпогочлен Р(х) с действительными коэффициентами принимает при всех т Е Я положительные значения, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов с действительными коэффициентами.
18. Пусть хы хз, хз -- корни уравнения хе+ ахи + Ьх+ с = О с целыми коэффициентами, а Р(х) -.— произвольный многочлен с целыгии коэффициентами. Доказать, что Р(хз) + Р(хз) + Р(хз) целое число. 19. Разложить на элементарные дроби рациональную дробь: ц х 2) т+1 3) 2х Ьбх — 34 (х — ЗПх ж 4) ' хе+ х — 6 ' (х — 1)(х+ 2Нх — 4) ' 25 — 2х — хг е) хг+ 2х -'; 6 ) 5х'Ч- бх — 23 (х+ 2)(х — 3)г ' хг — 7хг+ 14х — 8 ' (х — 2)(х -Ь 1)г~х — 1)г Гл.
1. Введение 20. Разложить на множестве Я рациональную дробь на элемен- тарные: 1) ; 2) , ; 3) хз — 1 ' хе — х' ' хг + 2хз + 2хг + 2х + 1 ' бхг + 2т + 1 ) бх- — Зх -~- 3 (1 — 4х)(2хг — х -~- 2) ' (1 — Зх)( — Зхг + х — 1) ' 4х -Ь 1 7) бх+ 5 (Зх -~- 2)е( — Зхе -~- х — 1) ' (2х -~- 3)е(4хз -Ь 12х ж 10) ' 8) 1 — 2х х(х+ 1)е(хе+ х -Ь 1)е 21.
Представить на множестве 17 в виде суммы многочлена и эле- ментарных дробей рациональную дробь: 1) , ; 2) 2х~ — 5хз + 11х — 17х -~- 19 Зх~ ж х — 20х ж 17 хз — 2хе + Зх — 6 ' хе + х — 6 3) , ; 4) х" + 2хз — 5х ж х -Ь 1 2хл — х~ — бх -~-4х+ 1 хз -Ь 2хе — 5х — б хг — Зх — 2 ОТВЕТЫ 1. 1) — 8; 2) 7; 3) 8/9; 4) 10х+59; 5) 1 — х; 6) 2 — 2х.
2. х+9. 3. ха+ Зх+8. 4. 1) хз — Зх+5; 2) хг+4х+2. 5. 1) Т(х) = х+ 13, Л(х) = 81х — 211; 71(х) 6. 1) Ь = — 1, с = — 6; 2) Ь = — 8, с = 15. 7. 1) -2; 2) 2; 3) -7, -2, 2, 3; 4) 2. 8. 1) 2; 2) 3. 9. 1) хг = 2, хз = — 2; 2) х = 2; 3) хг = 1, хг = — 2; 4) хг = -1, хг = 2. 1, у'5 10. 1) хг — — — 5, хаз = — —, ~г —,; 2) хг = 1, хз = 3, хз,4 = ~2г;.
3) хг = — 2, хг,з = 1 х1тгЗ, хл,; = — 1 х1ч'3; 4) х~ — — — 3, хг — — — 2, хз — — 2, хл = 3. 11 1) (2х — 1)(2х+ 1)(хг+ 4) 2) (х — 1)(хг — 2х+ 2)(хг+ 2х+ 2); 3) (хз+ 3)(хз+ Зх+ 3)(хз — Зх+ 3); 4) (х — 1)(х+ 2)(хз+:е+ 6); 5) (х+ 2)(х+ 6)(х — тгб+ 4)(х+ хг6+ 4); 6) (х — 1)(хг — х + Ц(хз + х + 1)г; 7) (хз + хуг2 + 1)(хз — хзгг2 + 1). 12. хз = 1 — з73, хз = 1+ ~/2, хл = 1 — у'2. 19. 1) +; 2) + 7(х — 3) 7(х + 4) ' 5(х + 3) 5(х — 2) ' 3 2 1 1 2 2 3) — — — + —; 4) — — — + х — 1 х+2 х — 4' х+2 х — 3 (х — 3)е' 3 7 5 5) — ' — — + —; х — 1 х — 2 х — 4' 1 4 3 6) — —,, + х — 1 (х — Цг (х — 1)з д 7.
Числовые функции. Последовательности 55 2 2х -~-4 х — 1 хгжх+1 1 1 х 3) + х+ 1 (х -'; Цг хг -~- 5) + ' 6) Зх — 1 Зхг — х-~- 1 ' 2) 3 1 х — 1 4)— 1 1' 4х — 1 + т — 1 г 1 -~- х 2хг — х -Ь 2 ' 4 4х+ 1 3(Зх+ 2) 9хг+ 12х+ 5 З(Зх+ 2)г 3 7. Числовые функции.
Последовательности СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Понятие числовой функции. Пусть дано числовое множест- во Х С Я, и пусть каждому х Е Х поставлено в соответствие число у Е Я; тогда говорят, что на множестве Л определена числовая функ- ция. Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например, З, и пишут у = з (х), х Е Х. В этой записи х называют аргументом или независимой переменной, числа из множества Х называют значениями аргумента, множест- во Х называют областью определения функции, его обозначают так- же Р()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
