1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 6
Текст из файла (страница 6)
28. Доказать формулу: 1) (а + Ь + с) 3 = аз + Ь' + сг + 2а!г + 2Ьс + 2ас; 2) (а + Ь+ с)з = а + Ь + сг+ + 3(изб+ агс+ бга+ бгс+ сга+ сзб) + баЬс; 3) (а+ Ь+ с)~ = а + Ь + с + 4(изб+ азс+ Ьза+ Ьзс+ оса+ + сгб) + 6 Газ бе + агсз + Ьгсг) + 121азбе + Ь~ас + сгаЬ). 29.
Доказать формулу и! 1х1+хз+" +хр) — ~ хг хз ...х Ь7-7уг-г...-гуе=.о где суммирование ведется повеем целым неотрицательным Й1, йз, ... ..., Ир таким, что Й1 + йг + ... + Гор — — п. 30. Доказать, что для любого натурального и > 2 справедливо неравенство: 1) 2<(1+ — ) <3; 2) 1< Р/п<1+— 3) ьггп < 5771 < 2 1 31. Доказать неравенство ~ > 1. Л,й: Ь+1 1=1 32. Пусть а > О, и 6 И, Ь 6 И, Гг < и. Доказать, что (1+ а)" > 1+ С,'а". 33.
Доказать, что если х > О, то справедливы неравенства 1+ < ь711+х < 1+ —. 2-ь х 34. Доказать, что если ~х~ < 1 и и Е И, и > 2, то (1 — х)" + (1 + х)" < 2". 35. Пусть а > О, и 6 И. Доказать, что а+ аз+ ... + ого 1 < 71(1+ ага) — а". 36. Пусть а > О, 71 Е И, гп Е И, та < и. Доказать, что а + — <а + —. 777в ао ' Гл. 1. Введение 37. Доказать, что если А наименьшее из чисел ое,аз,...,а„, В наибольшее, то справедливо неравенство в~ + яе + ... + ве 38. Пусть ае, аз, ..., ае -- действительные числа, А -- наимень- шее из чисел ~а~~, (аз~, ..., ~а„(, а В .—.
наибольшее. Доказать, что 1< а,+а,+...+а„<В 39. Доказать, что для любых действительных чисел ам аз, ..., и„ справедливо неравенство (о~ + аз + ... + ав) < и(а, + аз + ... + а„). 40. Пусть ае, аз, ..., ав действительные числа, Ье, Ьз, ..., Ь„ а~ ае ае положительные числа, ЛХ наибольшая из дробей 6|' Ье' ' Ь„' а ти наименьшая. Доказать, что < а! +не+".+а < Л1 6| -~-Ье+ ... -~-6е 41. Доказать, что для любых положительных чисел а, 6, с спра- ведливо неравенство: 1) — + — + — >3; 2) + + > —. 6 с а ' Ь-~-с с-~-а а-~-Ь 2 42. Доказать, что для любых положительных чисел аманн ...,а„ справедливо неравенство /1 1 1 (а~ + аз+ ...
+ а„)) — + — + ... + — ) > и', ав а ав 43. Доказать, что если ае, аз, ..., о„- - такие положительные чис- ла, что асаз... а„= 1, то (1+ а~)(1+ аз)..Д1+ ае) > 2". 44. Пусть а, > — 1 (г = 1, 2, ..., а) и числа а; имеют один и тот жс знак. Доказать неравенство (1 + а~)(1 + аз)...(1 + ав) > 1 + а~ + аз + ... + а„. 45. Пусть лз, ..., ле, ае, аз, ..., а„произвольные действительные числа, о > О. Доказать, что е, п п в=1 л=е а=1 46. Доказать, что для любых положительных чисел им аз, ..., а„ справедливы неравенства и л е%%" ъ ~ — -~- — + ...
ив в~+а -ь...+а„а;+а,+...+а„ и и 44. Прогрессии. Срммироеание. Бином Ньютона связывающее среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое и среднее кнадратическое чисел аз,аз, ...,а„. 47. Доказать, что если аь < аз « ... а„, Ьг < Ьз « ... Ь„, то а1+аг+...+ао Ь1-Ьбг+...+Ьп а1Ь|-Ьогбг Ь -+небо п 7ь и 48. Пусть положительные числа аы аз, ..., ан являются последовательными членами арифметической прогрессии. Доказать, что а~ -ьц нь. - ольг ъ е 2 49.
Доказать, что если А наименьшее из положительных чисел аы аз, ..., ао, В наибольшее, то справедливо неравенство: иге оюза...Б (В; 2)А( <В; 3) А«В. — +— о~ ог а 50. Доказать, что для любых действительных чисел аы аз, ..., ап, Ьы Ьз, ..., Ьп справедливо неравенство; 1) (~ 1он + Ьн)') < (~аь) (~ Ь~~) н=г н=! и=1 2) ( ~ а~о) — ( '~ Ь~ ) / < ~ /аб — Ьн! и=1 н=ь ь=ь 3) ((~ ан) + (~Ь~) ) < ~ 1ай+Ьз) ~~.
51. Доказать,чтоесли аь>0, аа>0, ..., а,>0 и ПЕЬ), то и о (-'к") .- -'к' ОТВЕТЫ 10" ' — 9п — 10 2) 3 2п + 3 1 — (п -~- 2)хо 1 -ь(п -, 1)зоьг (и Ь 1)~п -Ь 2) х — 1п -н 1)х Ь пх гь1п Ч- 1) (. — 1)г прил 1, 2 при х= 1. 9. 1) и; 2) ~, ); 3) 0; 4) и 2) п 3) п0ь+ 2) Зп+ 1 ' 4п+ 1 ' 312п+ Ц(2п+ 3) ' 1 1 гь1п + 1) 18 З(пЧ-1Нп+2)(п-ЬЗ) ' 2(2п-Ь1) Гл. 1. Введекие 15 2) В„(3) = 4 япт их ) вш 2их ) и яп пх сов(и»- Цх в1пх ' 2япх ' 2 2вшх и яп их сов(и ж Цх 2 2япх и+1 . пх . 3(и+1) .
Зих 3яп ' хвш — яп хяп— 5) 2 2 2 2 х Зх 4вш 4яп — ' г 2 3(и ж 1)х . 3 и -~-1 . пх сов яп — их 3 сов х в!п 2 2 ) 2 2 Зх ъ 4 в)ив 4яп — ' 2 2 3" +(-Ц' ' 3 и 1 19. Ц х„= ' ' хт+ — (Зи '+( — Ци)хо) 2) х, = (2" — Цхт — 2(2" ' — Цхо' (а — 1) — 1 а — 1 — т 3) х„= хт — — ((а — Ц" — Цхо при а ф 2; хи = а — 2 а — 2 их, — (и — Цхо при а = 2.
20. Ц (1+ х)' = 1 + 5х + 10хг + 10хз + 5т» + 2) (а+ Ь)в = ав -)- бавЬ+ 15атЬз + 20а Ь + 15а Ь» + баба»- Ьв; 3) (х+ у)т хт+ 7хву+ 21хвув + 35х»уз+ 35хзу» -)-21хзув+ + 7хув + ут. 4) (а — Ь)в = ав — 8атЬ+ 28авЬЗ вЂ” 56авЬЗ+ 70а»Ь» — 56азбв+ + 28авЬв — 8абт + Ь". 21. Св тз 22. Ц вЂ” 7; 2) — 40, — 74; 3) 36Свз+ С» = 378; 4) 245; 5) С»в.
23. Ц (и+2)2" ', 2) (и — 2)2и '+1; 3) 2ги ' 4) 2""' ' 5) ( — Ц™С™, 1; 6) ( — Ц"'Сг при и = 2т; 0 при п, = 2т+ 1. 25. Ц 60; 2) 625, 7000., 7000, 1120, 16. б 5. Комплексные числа СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Определение комплексного числа. Ц Кол»плексные числа -- выражения вида а+ Ьт (а, Ь -- действительные числа, 1 -- некоторый символ). Равенство г = а+ Ьт означает., что комплексное число а + Ьт обозначено буквой г, а запись комплексного числа г в виде а, + Ьт называют лгейраической формой колтплекского числа. гб. Комплексные числа 2) Два комплексных числа 2! = а!+ 611 и 22 = аг -!- 621 называют равнылгп и пишут 21 = 22, если а1 = аг, Ь, = 62. 3) Сложение и умножение комплексных чисел 21 = а! + 6! ! и 22 = = 1!г + 621, производится согласно формулам 2! + 22 — — а! + аг + (61 + Ьг)г, (1) 2122 = а!аг — 6!62 + (а!62 + а261)!.
(2) 4) Комплексное число вида а, + 0 г отождествляют с действительным числом а (а + 0. 1 = а), число вида 0+ 62 (Ь ~ 0) называют чисто мнимым и обозначают Ьг; ! называют мнимой единицей. Действительное число а называют действительной частью, а действительное число 6 - — мнимой чпсгпью комплексного числа а+ 6!. б) Справедливо равенство ! = — 1, (3) а формулы (1) и (2) получаются по правилам сложения и умножения двучленов аг -!- Ь!г и аг -ь 621, с учетом равенства (3).
6) Операции вычитания и деления определяются как обратные для сложения и умножении, а для разности 21 — 22 и частного — (при 22 22 ф 0) колгплексных чисел 21 = а! + Ь11 и 22 = аг + 621 имеют место формулы -1 — 22 = а1 — аг + (6! — 62)1, 2! а!аг -Ь Ь!Ь а Ь! — а!Ьг . 32 аг Мьг аг-Ььг 7) Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности: 21+ Зг = 22+ 21 212г = Згл!', (21 + 22) + 23 2! + (22 + 3)1 (2!22)23 21(2223)~ 21(22 + 23) 2122 + 2133 ° 2. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа. 1) Модулем колтлекснаеа числа 2 = а+ 6! (обозначается !2!) называется число ъгаг+ Ьг, т.
е. !2! = х!гаг+ Ьг. 2) Для любых комплексных чисел 21, 22 справедливы равенства ! г! = !2!!. !22!; !2!! если 22 ф О., то 3) Число а — Ь! называется калтлексно сопряженным с числом а+ 61 и обозначается 2, т. е. 2 = а+ Ьг = а — Ьг.
Гл. 1. Введение Справедливы равенства з з=фз, з=з. 4) Для любых комплексных чисол -1, зз верны равенства: З1 ~ее 1 +Лз; З!З2 З! 'Зз Ги1 если лз ~ О, то ~ — ) = —. ее 5) Частное от деления комплексных чисел можно записать в виде ей= '' = Л',. ФО. (4) 3. Геометрическое изображение комплексных чисел. 1) Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число з = а+ Ь1 изображается точкой плоскости с координатами (а, Ь), и зта точка обозначается той же буквой з Рис.
5.2 Рис. 5д (рис. 5.1). Действительные числа изображаются точками оси абсцисс (се называют действительной осью), а чисто мнимые числа точками оси ординат (ее называют лекилой осью). Плоскость, на которой изобра1каются комплексные числа, называют кол1илекской плоскостью. 2) Комплексному числу е = а+ 51 можно сопостанить вектор с началом в точке О и концом в точке (см. рис. 5.1).
Этот вектор будем обозначать той же буквой ги его длина равна ф. 3) Число з1 + зз изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов з1 и зз (рис. 5.2), а вектор з1 — зз можно построить как су'мму векторон л1 и — зз. 4) Расстояние между точками з1 и зз равно длине вектора з1— — зз, т. е. ~з1 — зз~ = (а1 — аз) + (Ь1 — Ьз), 2 2 где з~ — — а1 + 511, -2 — — аз + Ь21.
5) Условию )з — зв( = Л, где зе --. заданное комплексное число, 41 > О, удовлетворяют точки, лежап1ие на окружности радиуса Л с центром в точке зв. Ьй. Ьожклекские числа 6) Для любых комплексных чисел гы гз справедливы неравенства !!+ !<! !+! г! ! ~ г!>!! ! — !з!! 4. Тригонометрическая и показательная формы комплекс- ного числа. 1) Аргументом комплексного числа г ф 0 называется угол р меж- ду положительным направлением действительной оси и вектором г (см.
рис. 5.1). Этот угол считается положительным, если отсчет угла ведется против часовой стрелки, и отрицательным при отсчете по часовой стрелке. 2) Связь между действительной и мнимой частями комплексного числа г = а+ Ьг и его модулем г = !г! и аргументом р выражается следучощими формулами: а=гсозр, (5) Ь = гзшр; а совр = чга' + Ьг (6) з1п чг = чгаг -~- Ьг 3) Аргумент комплексного числа г = а+ Ьг, (г ~ 0) можно найти, решив систему (6). Эта система имеет бесконечно много решений вида р = ро+ 2Ьг, где к Е л, ро -- одно из решений системы (6), т. е, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно.
Для нахождения аргумента комплексного числа г = а+ Ьг (а ф 0) можно воспользоваться формулой 18р = (7) При нахождении аргумента комплексного числа г с помощью формулы (7) нугкно обратить внимание на то, в какой четверти находится точка г = а + Ьг. 4) Из равенств (5) следует, что любое комплексноо число г = а -~- + Ьг, где г ф О, представляется в виде г = г(совр+ г з1пр), (8) где г = !г! = ъгаг+ Ьз, чг --. аргумент числа г. Запись комплексного числа г в виде (8), где г ) О, называют тригонометрической формой колгплексного числа. 5) Комплексное число совр+ г зш р обозначается символом е'", т. е, для любого р Е Й функция ечг определяется формулой Эйлера (9) есг = созе+ г з1п Ф.
Равенство (9) находит обоснование в теории аналитических функций. Из (9) следует, что ег"' = 1, е"' = — 1, е" Ог =1, е гог = — г, !елл! = = 1 для любого р Е Я. Гл. 1. Введение йо 6) Справедливы равенства т 'т' е1т3 еге2 — рц1 1 ьтю — 1(т1 тг1 ееег (10) ег"т = (соа1р+ 1'зьп1р)н = соззир+гзгпгнр, и 5 л; (11) (13) (14) Из формул (13) и (14) следует, что при псрсмползспии комплекс ных чисел их модули перемножаютсн, а аргументы складываются; модуль частного двух коз|плексных чисел равен частному модулей этих чисел, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного. 8) Если комплексные числа 21 и 22 записаны в показательной форме, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
