1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 5
Текст из файла (страница 5)
+ а-'. й Рассмотрим тождество (х+ 1) — х = Зх + Зх+ 1. а +Ь >2аЬ. 7) Если а > О, Ь > О, то — > т/сгЬ. сь+ Ь 8) Неравенство )а( < Ь, где Ь > О, равносильно двойному неравенству -Ь < а < Ь. 9) Для любых неотрицательных чисел аы аг, ..., а„справедливо и 15) и Равенство в (5) имеет место лишь при аь — — аг = ... = а„. 10) Для льобых действительных чисел аь, Ьь 1к = 1, 2, ..., и) выполняется неравенство Коши-Буняковского Гл. П Веедеиие и и и ((1+1) — Й ) =3~' й +3~~~ й+п. в=3 ь=е ь=е Так как п(п+ Ц 2 и=в то, используя формулу (1), получаем (п + 1) з — 1 = ЗЯп + — п(п + 1) + п, 3 откуда Яп = — (2пз + Зпз + п) = — п(п + Ц(2п, + 1).
б б Итак, п(п -~- Ц(2п -~- 1) (7) б Замечание. В б 2 (пример 4) равенство (7) было доказано методом индукции. Пример 3. Вычислить сумму Я„(х) = ~ ~япйх. а Рассмотрим равенство ь=-! и Я„(х) .2яп — = ~~ 2вш/ехв1п —. 2 2 Так как 2яп/ехяп — ' = сов (Ь вЂ” — )х — сов ~Ь+ — )х, 2 ( 2) 1 2) то по формуле (1) находим х х / 11 . пз1 .
и Я„(х) . 2вш — = сов — — сов (п+ — )х = 2вш хяп — х, 2 2 (, 2) 2 2 откуда и-~-1 . и яп — - хвш -х Яп(х) = 2, если вш 2 если вш(х/'2) = О, то Я„(х) = О, а яп — ~ О. 2 Пример 4. Последовательность (хп) задана формулой х„= = ах„~ + Ь. Выразить через хв, а, Ь и п: 1) х; 2) Я„= ~хь, и=в А ЦТаккак хе=ахи в+Ь, хм в=ахи 2+Ь, то хь — хе-в = а(хе е — хе л) = а (хе-з — хе-з) = ... = а ' (хз — хв), 2 А — 2 Полагая в этом тождестве х = 1, 2, ..., п и складывая почленно полу- чаемые равенства, находим б4. Прогрессии. Суммироеание.
Бином Ньютона 27 т. с. хй Полагая в этой формуле венства, находим П хй , = а (хз — х1). й — 2 Ь = 2, 3, ..., п и складывая получаемые ра- (Хй Хй — 1) (Х2 Х1) Х г а откуда П П х!+~х1„. =х1+а~хй !+(и — Цб, й=а й=а Ял = х! + а(Я вЂ” хп) + (и — Цб, П вЂ” ! = х! — ахи+ (1! — ЦЬ = х! — апх! — аЬ + (и — Цб, а — 1 2) Яп= Яп(1 — а) откуда Пример 5.
Последовательность (х„) задана формулой хп — (сг + й')хл 1 — о!)хп 2, где сгД ф О. Выразить хп через хо, х1, о, 3 и и. а Исходное равенство можно записать так: Хп ОХл — 1 — 2г(ХП-.1 Гйтп — 2) ° Обозначим у„= хп — охп 1, тогда уп = Зуп !) откуда уп = 71п 'у1, т.
е. хп — охп ! — — 72 у1, или П вЂ” 1 хп = охп ! +(!" 'у!. Полагая хп = д"2„, получаем о У1 = — 2 -1+ —. Считая о ~ Д и используя результат предыдущего примера, находим (3) ' Б' (-;) '-' „ ГДЕ 2! — — Х122й), У! = Х! — ОХо. ОтСЮДа ПОЛУЧаЕМ П дп П вЂ” 1 до †х =х! Б — !!бахо Б ) о ФА или л — 1 хп — х! = (хг — х!) = ((а — Цх1+ Ь) ха=ап' х!+Ь, аф1. а — 1 При а = 1 последовательность (х„) является арифметической прогрессией с разностью Ь, и поэтому хп = х! + (и — Цб.
Гл. д Введение Если а = 13, то хп = поп 'х, — хоуп — 1)а". а п Пример 6. Вычислить сумму ~ ~(Сй) . л.—.о а Рассмотрим тождество 11+ х)п11+х)п = 11+ х)зп. Приравнивая в этом тождестве коэффициенты при хп и используя формулу 14), получаем СиСО + Сп — 1С1 + + Сп — йСЙ + + СОСп Сп п Эте раВЕНСтВО В СИЛУ ЛЗ) МОЖНО ЗаПИСатЬ В ВИДЕ ~ ~(СЛ) = Слп. Следовательно, п л;=о ~(С,') =С,"п. П р и м е р 7. Вычислить сумму 1 л — 'й 1 1 й=о а Используя равенства 1 й и!и — Ц, (и — й+ Ц лп+ Цплп — Ц..Дп ж 1 — й) Сй ,' Й ж 1 "' лй ж Цй! О! + Ц !й + Ц! п -1- 1 ' Сев получаем и и-~-1 Е С 1 ~ Сл 1 Л2 жл ц и+1 ~ "+' пж1' й=о й=1 Пример 8.
Доказать неравенство Коши — Буняковского Лб). а Если ал = аз = ... = ап = О, то в 16) имеет место Равенство. ПУсть хотн бы оДно из чисел ал, аз, ..., аи отлично от нУлЯ, тогДа а; + +а., '+ ... + а! > О. Рассмотрим квадратный трехчлен относительно х п аг~ + 2Ьх + с = ~ 1айх + Ьй)з, й=1 где и и айЬл, с = ~~! Ьаы Л=1 й=1 а=~ ~а„, Ь Л=л Так как Лойх + Ьй)~ > О, .х е Я ратного трехчлена их' + 2Ьх лн = 1, 2, ..., п), то дискриминант квад+ с неположителен: Ьз ( ас. Следова- тельно, ( ~ айЬл) < (~а~й) (~ Ь~й). Выясним, в каком случае в 16) имеет место равенство.
Пусть Ьз = =аС. ТОГда ЕСЛИ О =О, т. Е. а! — — ОЗ вЂ” — ... — — аи ил О, тО, ПОЛО1КИВ а = 1, 18 = О Лаз +,У ~ О), получим аай + ЗЬй = О, Ь = 1, 2, ..., п. 44. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона 29 Пусть а ф О, тогда квадратный трехчлен ахз + Ьх + с имеет корень хо (так как дискриминант трехчлена равен нулю), т. е.
ах~~ + Ьхо + с = '~ 1аьхо + Ьь)з = О ь=1 Отса>да следует, что анхо + Ьн = О при 1с =1,2,....,гь Положин о =хо, Б = 1, получаегл оаь + БЬЬ = О, где оз + Дз ф О (й = 1, 2, ..., и). Легко проверить, что при выполнении условий оаь + 11ЬЬ = О (и' = = 1,2, ...,и) соотношение (6) превращается в равенство. а ЗАДАЧИ 1.
Доказать, что если положительные числа а, Ь, с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа 1 1 1 нгЬ -~- ьгс загс -Ь ъга ига -~- ъгЬ также являются послодовательпыми членами арифметической прогрессии. 2. Доказать, что если положительные числа аы аг, ..., а„ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то 1 1 1 н — 1 + +...+ .ьуш + тггсиг,/а +,~ос нгао — ь -Ь ь/а .~ю + тгсаоо 3.
Пусть Яо — сумма первых о членов арифметической прогрессии. Доказать, что: 1) бо ьз = 35п-~-з — 35н-ьь + Яп', 2) Язи = 3(5зо — Яо). 4. Доказать, что если последовательность 1а„) является арифметической прогрессией, то при любом и > 3 и любом Ь Е М справедливо равенство 5. Пусть Ян -- сумма первых и членов геометрической прогресОоФЗо — Оао) = Фза — Оп) 6. Доказать, что для любого числа а и для любого п Е Ш выполняется равенство (1+а+а + ...
+а" ')(1+а+а + ... +а"" ) = = (1 + а + а, + ... + а" ) — а". 7. Найти следующие суммы: 1) 1+ 11+ 111+ ... + 11...1 (последнее слагаемое п-значное число); 2) — + —, + —, +...+ „; 3) 1+2х+Зхз+...+(в+1)х"; 4) х" + 2х" ' + ... + (и — Цха + пх. Гл. 1. Введение 8. Доказать, что последовательность (Ьп) отличных от нуля чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда при каждом я > 3 выполняется равенство (Ь1 + Ь2 + ... + Ьп 1)(Ь2 + Ьз + ...
+ Ьп) = (Ь! Ь2 + Ь2Ьз + ... + Ьи — 1Ьп) и п, 9. Вычислить двойную сумму ~ ~~~ аьи если; !=1 1=1 (О, !АУ, 1) аб= ' ..' 2) а!=1; 3) а!=1 — у; ( 1, 1 = у; 4) а!1 = )1 — У!. 10. Доказать, что для любых чисел а и Ь справедливы равенства: 1) а." ' 1 — Ьп' ~! = (а — Ь) ~ Ье ап ь=о 2п 2), 2пе1 + Ь2пп'-1 ( + Ь) ~( 1)еЬа 2п — ь Епе 11. Доказать тождество Лагранжа п 2 и п (~ аьЬе1 = (~ а~в)(~ Ь'„) — ~~ (а,Ьв — аеЬ,)2.
1<1<а<и и-!-и 2) если Р, = ~ Ьу, то для любого ре И выполняется равенство 1 — —. п-!-1 пер р — 1 Е аЕЬЬ = 'У (апл. — а„ж111)Р1. + ап„рРр. Нпи-~-1 1=1 13. Вычислить сумму: и 1) У "-~ !ЗЬ вЂ” 2) (ЗЬ -р 1) ' 12. Пусть (ап) и (Ьп) -- заданные последовательности чисел. Доказать: 1) если Вт = ~ Ь, то при любом п, е И справедливо равенство 1=1 (преобразование Абеля) п и С' аЕЬЕ = С' (ав — Они!)ВЬ + апв„ е=! 1=! а при любом и Е И и при любом р Е И выполняется равенство п.1-р и-~-р аА = ~~! (а!.
— ать!)В1 + аптрВ л р — а„1Вп; Ь= п.1-1 Е=п 1 Гл. К Введение 17. Доказать равенство и Я1П ( 1) ~ соя(х+ Йо)— й=о / и -~-1 и Я1П ( 2) ~~~ ьш(х+ Ьа)— яш— 2 18. Вычислить сумму: и и и 1) ~~ яйп(26 — 1)х; 2) ~~~ соя(26 — 1)х; 3) ~яш Ьх, 1=1 1=1 й.=1 и и и 4) ~ ~созе Вх, 5) й яйпз 1-х; 6) ~ сояз кх. 20. Написать формулу бинома Ньютона: 1) (1 + х); 2) (а + 6)"; 3) (х + р)т; 4) (а — 6)". ; 16 21. Найти член разложения (~/х+ —,), содер каший хз. 22.
Найти козффипиент многочлена1 1) (1 — х+ хз)з при хз; 2) (1+ 2х — 3хз)л при х и хл; 3) (1+ хз хз)о при хз. 4) (1+ хо + хз)т при х11. 1Ь о) ~(1+ х) при х . й=з 23. Вычислить сумму: и и 1) ~(6+1)С„"; 2) ~ й=1 й=1 т 5) ~( — 1)йС„', т < в; (6-1)с,",; з) ~ с,',",; 1=1 и 6) ~(-1)й(С„')'. й=о 4) ~С,,',",-', й=1 24. Доказать равенство; 1) ~~ Ьс,", = в2" ', 2) й=-1 е з) ~ ~С,",с;и " = с;„„; й=о и Е( 1)й — 1иисй 0 й=1 4) ~~ С;; „= С„"ч~,'„е1; й=о 19.
ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтЬ (Хи) ЗаДапа фОРМУЛОИ Хи = ОХи 1+ + Ьх„з. Выразить хи через хо, х1 и в, если: Ц о=2, 6=3; 2) а=З, Ь= — 2; 3) а=а, 6=1 — а, аф2. 44. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона 33 2ь'~С7~7 Зн" -1. ~-' ° Г-1) "~С~ьг и Ге+1 и+1 ~ Ге+1 71+1 ь=-о 1=1 25. Найти члены разложения, являющиеся целыми числами: ) ~2+:3)', ) ~.3-.2)' 26. Найти наибольший коэффициент многочлена; ') (~ 2")' ') (~ йх) го 27. Найти наибольший член разложения (1+ т772)зо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
