1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Областью значений функции у = у 7, Числовые функции. Последовательности 61 = атосов х является отрезок [О; к]. Графики этих функций изображены на рис. 7.5. Функция = агс1 х х 6 Й у к обратна "сужению" у = тих., х Е [ — к/2; к/2), функция у = агссьйх., т Е Й, обратна "сужению" у = сгя х, х е [О, к). Их графики изображены на рис. 7.6, 7.7. 2) Элементарной функцией называют функцию, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций и композиций из основных элементарных функций. Рис. 7.7 Ркс. 7.6 Многочленом называют элементарную функцию вида Р[х) = аохо+г„1х" '+ ... +а7х+ао; х с Й; здесь а„,а„ы ...,ам по Е 77, п Е л, п > О [сьь 'з' 6).
Если а„ье О, то Р[х) назына1от многочленом и-й степени (обозначают его Р„[х)), а число и называют степенью многочлена. Если нее коэффициенты многочлена равны О, то его называют нулевым многочленом. Рациональной функцией [дробью) называют элементарную функцию, которая может быть задана в виде Р(х) Фх): где Р[х) . многочлен, Я(х) .. ненулевой многочлен. Эта функцин определена для всех значений х таких, что (,)[х) у= О. Иррациональной функцией назынают элементарную функцию, которая не является рациональной и может быть задана с помощью композиций конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и арифметических действий.
Элементарные функции, не являющиеся рациональными или иррациональными,. называют трансцендентными. Показательная, лога- Ггс Д Веедение 62 рифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными. 3) Гиперболические функции. Гиперболический синус и гиперболический косинус определены на Я соотнетствснно формулами еи — е е +е 8Ьх =, сЬх = 2 ' 2 Функция у = 8Ьх нечетнан, строго возрастающая. Функция у = = сЬх четная, строго убывающая на ( — оо; О) и строго возрастающая Рис. 7.9 Рис. 7.8 на )О;+со). Графики этих функций изображены на рис. 7.8, 7.9. Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определены формулами ейх гЬх= —, хб Я, (19) сЬх ' сгЬхсс ' ', хЕЯ, х~О. (20) аЬх ' Обе функции нечетные, их графиьи представлены на рис.
7.10, 7.П. Функции у = 8Ьх, у = 1Ьх, х Е Я, и у = стЬх, х ~ О, обратимы, их обратные функции обозначают соответственно: у= агсзЬх, хб Я (читают; ареасинус гиперболический); у = агсГЬх, х б Я (читают: ареатангенс гиперболический): у = агсгЬх, Рис. 7ДО х Е ( — ж; — 1) 0 (1;+со) (читают: ареакотангенс гиперболический). У 7. Числввие функции. Последовательности Гр обратных функций симметричнь но прямой р = х графикам исход Й.
Фу сЬх, х Е Й, как четная функц й не имеет. Но ее сужение х, х Е ~0,+ос), имеет ее обозначают сЬх, х Е ~1;+со) (читаю нус гиперболический). 7. ункции в полярных координ иксируем на плоскости луч 1 с нача с. 7.12). Паре чисел (уч;г), где таним точку ЛХ плоскости такую а) б) та луча 1 до луча ОМ равен 1а ли р > О, то поворот совсрРиа 7.11 шаетс совой стрелки, а если чч < О, то по часовой стрелке. Всем паралч (уа;0) сопоставим точку О.
Таким образом, каждой паре чисел (ча;1), г > О, сопоставлена одна точка плоскости. Налчдая точка плоскости, отличная от О, оказывается сопоставленной множеству пар (чт + 2кп;т), где и, Е л, 1 > О. Эти пары чисел называют полярнилги координатами точки. Пусть дана функция г = 11д), 77 Е Ф, при- чем 7(уг) > О. Графиком атой функции в полярных координатах назы- вают множество всех точек плоскости с попару ными координатами (1а; ~(уч)). Если луч 1 совпадает с положительным лу- чом оси Ох прямоугольной системы коордит нат хОу (рис.
7.13), .то координаты (х;у) и У (уг; т) точки связаны формулами О х М~укт) О Ркс. 7.12 х = тсоау7, у = т зьп р. Рис. 7.13 Другими словами, если каждому натуральному числу и сопоставлено число хта то говорит, .что задана последовательность 1х„) (ср. 2 4.1). 8. Последовательности. Функцию, областью определения которой является множество гг натуральных чисел, называют последовательностью. Значения такой функции обозначают х„(или аи, Ь„и т.
д.) и назынают членами последовательности, число н, называют номером члена х,. Последовательность обозначают 1ха) или х„, п с "гл, или ха, п, =1,2,... Гл. Д Введение В качестве множества номеров может быть взято не только мно- жество натуральных чисел, но и какое-либо другое бесконечное под- множество целых чисел, например, множество четных натуральных чисел (тогда последовательность обозначают (хгь)), множество неотрицательных целых чисел О, 1, 2, ... и т. д.
Множество значений последовательности может быть как конеч- ным, так и бесконечным, например, множество значений последо- вательности (( — 1)") состоит из двух чисел, 1 и — 1, множество значений последовательности (1/и) бесконечно. Последовательность, множество значений которой состоит из одного числа, называют ста- ционарной. Последовательность может быть задана с помощью формулы вида х„= 1(п), и Е И, выражающей х„через номер и, например, х„=2", пеИ; х„=п.', пи И. Такую формулу называют угирмулой вйщеги члена аиследовитель- ности. Для задания последовательности используют и рекуррентные фор- мулы, т. е.
формулы, выражающие и-й член последовательности через члены с меньшими номерами (предшествующие члены). Так определяют арифметическую и геометрическую прогрессии. Други- ми примерами являются последовательности х1=а, хвы=Ьх„~ч-с, пеИ, п>2, х1 =а, хг =Ь, х„=(х„1+х„г)/2, пЕ И, и >3; здесь а, Ь, с — заданные числа.
Последовательность, заданную рекуррентной формулой вида х„=а,х„, +азх„г+...+иьхв ь, и б И, и > й, где аы ...,аь и Ь заданные числа, Ф Е И., называют возвратной последовательностью порядка Ьг. Последовательность хю и е И, ограничена снизу, если существует число С такое, что для всех и Е И верно неравенство хв > С.
Последовательность х„, и Е И, ограничена сверху, если существует число С такое, что для всех и Е И верно неравенство хв ( С. Последовательность хю и я И, ограничена, если существуют чис- ла С1 и Сз такие, что для всех и Е И верны неравенства С1 ( х„( Сг. Это определение равносильно следующему; последовательность х„, п е И, ограничена, если существует число С > О такое, что для всех и Е И верно неравенство ~х„~ ( С, .или, короче, ЗС > О 'г'и Е И: ~х„( ( С. З 7. Числовые фунниип йвследовательноссни Отрицание определения ограниченной последовательности выглядит так: последовательность х„, и Е И, неограниченна, если для любого С > 0 найдется и Е И такое, что ~х„~ > С: короче, 'дС > 0 Лп Е И; ~х„~ > С.
Аналогично формулируются отрицания определений ограниченной сверху (снизу) последовательности. Последовательность х„, и Е И, называют возрастающей (неубывающей), начиная с номера по, если для любого и > по, п Е И, верно неравенство хнч-1 3 х . Последовательность хн, и Е И, называют убывающей (нввозрастающей), начиная с номера пе, если для любого п > по, и Е И, верно неравенство хнжз < хн. Если в этих определениях верны соответственно неравенства х„жз > хн или хнч1 < х„ то последовательность называют соответственно строго возрастающей или строго убывающей, начиная с номера по. Возрастающую или убывающую, начиная с номера по, последовательность называют монотонной, начиная с номера пе (строго возрастающую или строго убывающую — строго монотонной).
Последовательность, возрастающую с номера пе = 1, называют возрастающей (аналогично, убывающей и т. д.). Данное определение последовательности, возрастающей с ногиера пе, равносильно введенному ранее (и. 6) определению функции, возрастающей на множестве натуральных и > пе, а именно: последовательность хн, и Е И, возрастает, начиная с номера по, если для любых пг,пз Е И, п, > по, пг > по, из неравенства п, < пз следует неравенство х„ < х„,.
Аналогичная равносильность имеет место и для убывающей, начиная с номера по, последовательности и т. д. Верхню1о (нижнюю) грань множества членов последовательности 1хн) называют веРхней (соответственно нижней) гРанью последовательности и обозначают зпр1х,) (соответственно шЦх„)). Член х„ последовательности 1х„) называют наибольилим (соответственно наименьшим), если хн < х„, (соответственно тн > х„„) для любого и, и обозначают его шах(хн) (соответственно шш1хо)). Наибольший (соответственно наименьший) член последовательности называют также максимальным (соответственно лчинилчальн м). Если существует п1ах(хн) (соответственно ппп(хн) ), то апр(хн) = шах)х,) (соответственно шЦх„) = зпш(х„)). Из существования конечного апр1хн) (соответственно шЦхн)) не следУет сУществованин шах1хн) (соответственно шш1х„) ).
Гл. 1. Введение бе Последовательность (уь) называют пвдпвследовательнвстыа последовательности 1х„), если есть такая строго возрастающая последовательность номеров тпь), что длн любого Й Е "л1 рь = хвн, короче, Чй Лпь (рь = х„„и пь4~ > пь). ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ При мер 1. Найти область определения функции, заданной фор- мулой а Значения,,/х определены лишь при х > О. При х = О и х = 1 знаменатель х~ — т/хс равен нулю, поэтому следует считать, что х ~ О, х ф 1. Значения фа определены для любого действительного х — 1 числа а, и при любом х > О, х ф 1, а =, — действительное число. Позтому обласгьн) определения рассматриваемой функции являстсн множество всех х > О, х ф 1, а Пример 2. Доказать, что функция д =,, х Е 17, ограни- хе 4 1 чена. Нз неравенства для среднего геометрического и среднего арифметического следует, что ~х~ < (хи+ 1)/2.
Отсюда имеем х (х! 1 хв + 1 хв ж 1 ~ 2 для любого х Е Й, т. е. данная функция ограничена. А Пример 3. Доказать., что функция В=1/хз, хЕ й, хфО, неограниченна, и построить ес график. А Пусть С' произвольное положительное число. Неравенство 1/хз > С равносильно неравенству ~х~ < 1/ъГС при х ф О.
Взяв, например,х = 1/(2т/С), получим, что 1/х' = = 4С > С, а зто и означает, что данная функция неограниченна. На рис. 7.14 представлен график данной функции. Он симметричен относительно оси ординат, поскольку данная функция четРис. 744 ная, и расположен выше оси абсцисс, так как 1/хз > О для любого х Р' О, а Пример 4.
Доказать, что функция р = зшхз, х Е 17, непериодическая. А Достаточно доказать, что функция не имеет положительного периода, так как если бы число Т < О было периодом, то число — Т было бы положительным периодом. Доказательство проведем методом от противного. 4 7, Числовые функции. Последовательности б7 Допустим, что число Т > О хс Й период функции, т. е. для любого аш(х+ Т) = эшх . При х= О отсюда следует, что сйпТ =О, т. е. Т = 7гп, а Т=т/пгпс при некотором и Е И. Если О < х < х/к, то сйп хе ф О, а поскольку х/яа пеРиод, то и в1п(х + хссппи)е ф- О.
Если же х = х/к, то аш(х/к +,,/пгпс) ~ = = е1п(иск)з = О. Значит, число хсск -1- Яп пЯвлЯетсЯ ближайшим спРава к х/ип числом, при котором ешх~ = О. Отсюда следует, что /я+ +хсспп п<,Яп+1), так как,Ясс+ 1) >,,сгппп, и вш(,/к(д+ 1))~ = О. Но неравенство т/к +;/кп <,/к(п + 1), равносильное неравенству 1 <,~т~. + 1 —./и, неверно для любого и Е 7Ч, так как х/пс+ 1 —,/и = < 1. 1 /и -~-1-ь ~/и Значит, неверно и допущение о периодичности функции ешх~, т. с. эта функция непериодическая. А П р и м е р 5. Доказать, что функция, заданная формулой у=ха — 4х+2: (5) а) на Н необратима; б) па ( — со;2] обратима; построить график обратной функции. а а) Уравнение х~ — 4х+ 2 = уо имеет решения х1 =2+ „'уо+2 и хе =2 — х/ус+2 для любого уо > — 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
