1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 14
Текст из файла (страница 14)
7. Для функции /(х) = 5х™+ах" + Ьх "+ 2х х б 1зз, х д- О, т,,гз Е /д, найти а и Ь так, чтобы /(х) = /(1/х) для любого х ф О. 8. Найти /(а) + /( — о), если /(х) = хз -!-Зх — 1. 9. Найти /(1+ Ь) — /(1 — Ь), если /(х) = х4 — 2хз + 1. 10. Найти д(а+ 1/а), если у = т/Р— 4 и: 1) а>1; 2) 0<а<1; 3) — 1<а<0; 4) а< — 1. 11. Найти множество значений функции: 1) /(х) = 2х — 5, х Е [ — 2;2[; 2) /'(х) = [х — 1[, х Е [О;5); 3) /(х) = х+ з!8пхз х Е Я; 4) /(х) = хз + 2х — 3, х Е Я; 5) /(х) = — 2хз + х+ 1, х Е /7,: 6) /(х) = 5 — 12х — 2х-', х Е [ — 4;1): 7) /(х) = х + †, х Е (О; +со); 8) /'(х) = , х б (-со; 0); 9) /(х) = , , х Е /7.
12. Найти множество значений функции, заданной формулой: 1) у = 1/хз + 1 2) д = т/хз — 1; 3) у = 1/х(4 — х); /9х +1 Ь 4) у=с/; 5) у=ах+ —, где оЬ>0; х х' Ь х +2х — 2 6) у=ох+ —, где оЬ<0; 7) у= х хе — х -~- 1 13. Найти композипии /од и до / и указать их области определения для функций, заданных формулами: 1) /(х) = х', д(х) = /х; 2) У(х) = д( ) = Л вЂ” '; 80 Гл. д Введение 3) ((х) = 10', д(х) = 1лх; 4) ((х) = х, д(х) = х+ 5; .( ) [х, хб [0+со), ( ) [ О, хе[01+ос), (О, хс( — ооО)., ) хз, хе( — соО); 6) 1(х) = 1пхз, д(х) = сйпх 14. Написать формулы, задающие композиции: 1) иоиощоуощ 2) еоуошоиои; 3) щоуоиолои; 4) уоиозоиолц если и=а1пх, и=1о8зх, щ=1+х, У=1/х, з=тГх.
15. Доказать ассоциативность композиции, т. е, что (( о д) о 5 = 1 о (д о 5). 16. Найти какую-.тибо функцию Г", удовлетворяющую условию: Ц г"(х — 2) = , х б Н, х ~ 1; 2) 1"( — ) =те+1, хей, хфО; 3) 1( ) =х, хей, ху- '— 1; 4) ((х+ — ) =',, хбЯ, хфО; 5) ((хз)=1 — [х[з, хай. 17. Существует ли функция 1(х), т, Е [О;+со), удовлетворяющая для любого х Е й равенству 1(хз) = 1+ хГ 18. Пусть 1(х) =, д(х) =, . Найти; ах+ Ь ига'-'+ хе 1) (о~о г"(х): 2) додод(х); 3) г" о г" о ... о1(х) (и композиций); 4) д о д о ...
о д(х) (и композиций). 19. Выяснить, какие из указанных функций являются четными, какие нечетными, какие не являются ни четными, ни нечетными: х' 1) у=[х[, хаий; 2) у=,, хай; хе+1 ' 3) у =, х Е (-1, 1); 4) у =,, х 6 (-1; 1); 7)у=[х+Ц.,*еН: 8)у=[и+1[+[х — 1[,х~Н; 9) у = [10 — х[ — [10+ х[, х е Я. 20. Доказать, что произведение двух четных или днух нечетных функций -- функция четная, а произведение четной и нечетной функций - функция нечетная. 21. В одной системе координат построить графики функций: 1 1 1 Ц у=х у=хе у=хе у=х~ 2) у= — у= — у=— 3) у=х, у=х~Г, у=хгдз, у=х~~~:, Г 7.
Чкаловы~в функции. Последовательности 1 1 1 у= х,/х ' бх Построить графики функций (22 25); 22. 1) у = т/4 — х""; 2) у = — т/9 — тш 3) д = 3 — т/à — ха; 4) у = т/2х — ха — 1. 1, х)0, 23. л18п т, = О, х = О, (читается: сигнум икс). — 1, х(0 24. 1) у = (х), где (х) = х — Е(х) дробная часть х; 2) д = Е(1/х). 25. 1) у = (х — Ц; 2) у = )х+ 2); 3) у = )х+ 1!+ (х — Ц; 4) у= (хц-Ц вЂ” (х — Ц .
)х-ЬЦ вЂ” )х — Ц 2 ' ' 2 5) д = а1япх— 6) д = шйпха; 7) у = а1еп (ха — 1); 8) д= а18п2 *; 9) у= е1яп(хз — 4х), 2-ьх' 26. Построить графики функций /(х), — /(х), /( — х), — /( — х), /(х) — 3, /(х — 3), если 1) /(х) = 2х+ 6; 2) /(х) = 4х — хе; 3) /(х) = т/16 — л-'; 4) /(х) =1/х. 27. Построить график функции: и у =; 2) у = —; 3) у = —; 4) у = 28. Построить графики функций /(х), )/(х)~ и Ях~), если: 1) /(х) = Зх — 8; 2) /(х) = 3 — 2х; 3) /(х) = хл — х — 2; 4) /(х) = бх — т" — 5; 5) /(х) =; 6) /(х) = 29. Продолжить функцию у = /(х), х 6 (О; и), на ( — и; О) так, чтобы получившаяся на ( — о; а) функция была: а) четной: б) нечетной: 1) д = х, х 6 (О;+со); 2) у = х~, х Е (О;+со); 3) у = т/х, х 6 (О: +ос); 4) у = х + 5, х 6 (О; +со); 5) у = т/1 — хе, х е (О; 1); 6) у = х~ — 4х + 3, х 6 (О; +со); 7) д = , т 6 (О; +со).
х(х + 1) ' Задать продолжение формулой и построить график получившейся функции. 30. Построить в одной системе координат графики фушсций /(х) и 1//(х), если: 1) /(х) = Зх — 2; 2) /(х) = хе+1; у'(х)= 2 1 4) /( ) 2 — х 82 Гл. д Введение 31. Построить в одной системе координат графики функций (ы Ь н ~г+ Л, если: 1) Ы' ) = х', Л(х) = — х; 1 3) Л (х) х~ Хг (х) 1 32. Построить в одной системе коордиват графики функций 1ы Л и Л вЂ” Л, если: 1) Л (х) = ъ'4 — хг, 12(х) = хг; 2) ( (х) = х ле( .) 3) Л (х) = хз .(2(х) = 4г; 4) ~ (х) = хз у (, ) ЗЗ. Доказать, что функции г" и в взаимно обратны: 1) У(х) = *,, д(х) = 1 ' 2) У(х) — Я: хз В( ) — Я: з 34. Доказать, что график функции г" симметричен относительно прямой р = х: 1) У(х) = — (а Ф О); 2) У(х) = Л— 35.
Выяснить, нвляются ли взаимно обратными функции, заданные формулами: 1) у =, у =, :2) у = 1 — 5'х, у = (1 — х)з; 3) у = 1+ ~/х, д = (х — Цг; 4) р = тгг1 — хг, у = Я вЂ” хг, 36. Среди функций указать обратимые: 1) у=2х — 1 2) у=[х[. 3) д=11хз 4) у=тг+2х — 3 5) — Я4. 6) — l,. 1, 7) Обратные функции задать формулами и построить их графики.
ЗТ. 1) При каких а и Ь функция Д = ах+ Ь имеет обратную и совпадает с нейГ 2) При каких о е й функция у = х', х > О, совпадает со своей обратнойГ 38. Доказать ограниченность функции; 1) у = хг — х — 1, х Е [ — 1; 5!; 2) у =, х Е [О; 5); х — 1О хе+1 ' хг -Ь1 г 5) д=,, хай, хф-'1; 6) у= [' — Ч' тУ0,1х' -Ь 1 39. Сформулировать и записать., используя символы Л, 'г', определения того, что функция: Ц неограниченна сверху; 2) неограниченна снизу. Г 7. Числовие функции.
Последовательности 40. Доказать, что функция 6 = 1/х, х Е Я, х ~ 0: 1) неограниченна сверху; 2) неограниченна снизу. 1 41. Доказать, что функция у =,, х Е ( — 1;1), ограниченна ьгГ: хе ' снизу и неограниченна сверху. 42. Доказать, что ограниченной функцией является; 1) сумма ограниченных функций; 2) произведение ограниченных функций. 43. Найти шах Г", ш1пд", если: х '' и 1) ((х) = хз — 4х — 5, Х = [О;5[: 2) ((х) = — ха + 5х — 6, Х = [О;4[; 3) )(х) = — , Х = [ — 10; — 3[; 4) т'(х) = ,, Л = [ — 1; 3[; 5) г"(х) =, Х = [1;2); 6) г"(х) =,', Х = Я.
44. Доказать, что если функция 1 знакопостоннна на множест- веЛ, то шах — = шш г, пцп — = шах ). х У х ' х 7 х 45. Доказать, что шах 1 и ш1п 1" не существуют, если: 1) ((х)= —, хЕЯ, ту-О:, 2) 1(х)=, хЕ( — 1;+ос); [х[ ' х+1' 3) 1'(х) = ', х 6 Я.
ьГ1 + хе 46. Доказать, что существует ш1п1', но не существует шахГ", и найти ппп )', осли; 1) 1"(х) = х" — Зх, х Е Я; 2) 1(х) = хз + †,, х Е (О; +со), 3) ((х) = ,, х 6 Я; 4) ~(х) = х, , х 6 [1;2). ьс1-> хе ' ' хе — 4 47. Доказать, что существует шах 1", но не существует шш Г' и найти шах1, если: 1) 1(х) = 4х — хз — 6, х Е Я; 2) ((х) = 2ль ех х-~- —,, х Е ( — 8; 0); 4) ((х) =, х Е [О; 1). 3) ~(х) = л, х Е Я 48. Найти зцрг', 1п( г", а также п1ах1, ш1п1', если последние сух х ' х шествуют: Л = (О;+ос); 2) д" (х) =, Х = ( — оо; О); 1) д(х) = 3) )'(х) = Гл. д Введение 4) ((х)=,,', Х=(хб( — 2,3], х~2); 5) г" (х) = х — Е(х), Х = й. 49.
Ц Доказать, что если существует швк Г", то зпр7" = шах 7". х ' х х 2) Доказать, что если существует гшп7', то ш17' = ш1п7'. х ' х х 50. Доказать, что !п1 ( — 7'(х)) = — анр г(х). » Е.Х »сх 51. Доказать, что функция д = ха + х возрастает. 52. Доказать, что функция д = (1 — хз)/х убывает на любом интервале, не содержащем нуля. 53. Доказать, что функция у = (1+ хз)/х; Ц строго возрастает на (-со; -Ц и на (1; +ос); 2) строго убывает на [ — 1:О) и па (О; Ц. 54. Найти наибольшие промежутки, на которых функция у = хл— — 2хз — 2: Ц возрастает; 2) убывает.
55. Ц Доказать, что строго монотонная функция взаимно однозначна. 2) Привести пример взаимно однозначной немонотонной функции. 56. Найти область определения функции: Ц у =,; 2) у = ъ/2» — 3', 3) у = !о8з тз и р = 2 !обз х; 1 16» — 2» 4) у = !о6» 5; 5) у = (!8(100 — х)) 6) у = 1п т+ 1п(х — Ц и у = !пх(х — Ц, 7) у = !обвел(х — Ц; 8) д = !о8з !обо з х. 57. Найти множество значений фуньции: Ц у=10»; 2) у=,,:, 3) у=4» — 2»+1; 4) у = !8(хз + 10); 5) у = 1о8,(4 — хе); 6) у = !обз х + !ойе 3.
58. Выяснить, какие из функций явлнются четными, какие нечетными, какие не являются ни четными, ни нечетными: Ц у=х 2»; 2) у=~!8х~; 3) у=1пе'", 4) у=101лл; 5) д = 10*+10 '; 6) у = —, —,; 7) у = Ьйх — »»х; 1 1 8) у = 1п(1 — хз); 9) р = 1п стЬх. 59. Доказать; Ц аЬ(х+д) = вЬхсЬу+ сЬхзЬу; 2) сЬ(х+ у) = с!»хсЬу+ аЬхзЬу; 3) зЬ(х — д) = зЬхсЬу — сЬхзЬу; 4) сЬ(х — у) = сЬхсЬу — аЬхвЬу; 47.
Числовие функции. Последовательности В5 5) вЬхаЬу=(сЬ(х+у) — сЬ(х — у))/2; 6) сЬхсЬу = (сЬ(т, + у) + сЬ(х — у)),12; 7) аЬ х сЬ у = ( аЬ (х + у) + аЬ (х — у))/2. 60. Доказать ограниченность функции: 1) у = 10 *~; 2) у = 0,3' '; 3) у = 1/18(2+хе); 4) у = 1обл(ха + 5) — 1ойз(1+ ~4): 5) у = (18х+ 1ойх 10) 61.
Доказать неограниченность функции: 1) д=0,4', хек; 2) у=1ояо,х, хе(1;ч-оо); 3) у = хх, х Е (О;+со); 4) у = 1о8 2, х Е (1;+ос); 62. Доказать, что при а > 1: 1) апр а 7* =+со, 1пГ а 7х = 1; 1все ) 1вгь 1 2) апр ачх = 1, 1пГ а'~х = О. 1-охе1 1 — оь:01 63. Найти шг2, апрт, а также шахд', спплт, если они сущест- вуют: 1) Д(х) = 2 '+з~; 2) ((х) = (ъ~2 — 1)" 3) г'(х) = 1 — 2'71х О; 4) г" (х) = 8 — 2х+' — 4', 5) 7(х) = 18(хз + х — 2); 6) Дх) = 1ойв (4х — 3 — ха); 7) ~(х) = (1обз(2,1х)) 1обз 8х. 64.
Доказать, что функция у = 2и~х убывает на каждом интервале, не содержашем нуля. 65. Доказать, что функция у =!о8з(хз — 2х) убывает на ( — со; 0) и возрастает на (2:, +ос). 66. Исследовать на монотонность функцию: 1) у — (2/З)~1 2) у — Зуй 3) у — 2" — * 2х —" 4) у = 18(1+ хз); 5) у = 1о8, 10; 6) у = 1п(4х — ха); 7) у = 1окох 'ь х-ь1 Построить график функции (67, 68). 2х 67. 1) у = 3 ~ гай 2) у = 2~~к; 3) у = 2х ' — 1' 4) У = 1обл ~х+ 1~, 5) У = 1 — 2 1о8,75 ~х~; 6) д = ~ 1ойо 5 х~ — 1; у 18,са. 8) у 1о8 5х. р) д 8~оке(с 31 68. 1) д = (1,5)' ~; 2) у = 21 г07*; 3) у = 1обз(ха +х — 2); 4) У = 1обс ~(4х — 3 —;са); 5) д =1ойз((х+ 2)/х); 6) У =1о8 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
