1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 15
Текст из файла (страница 15)
69. Функцию, заданную на (О; +со), продолжить, задав формулой, на ( — оо;О): а) четно, б) нечетно. Построить график получившейся яб Гл. Ь Введение функции: 1) д = — 3 2' ', 2) у = 1 — 21ах; 3) у = 1ой, з х; 4) у = ФЬ(х — 1). 70. Найти функцию, обратную данной функции, указать ее область определения и построить ее график: 2 1) у = Зг ', 2) д = 1+ 18(х+ 2); 3) у = 4) д = 1оп, 10; 5) у = 2' ' — 2 '; 6) д = 1п(х — ~/х~ — 1). 71. Длн указанной функции задать обратную функцию формулой и построить график; 1) у = сйх, х Е ( — ~ю; 0); 2) у = яЬхц х 6 й; 3) д=гЬх, хай, 4) у=сгЬх, хай., хфО.
72. Доказать, что график функции у = 1п(1 — ее) симметричен относительно примой у = х. 73. Доказать, что функция р = х — Ь'(х), х Е й, периодическая, и найти ее наименьший положительный период. 74. Доказать, что функции Дирихле 1 1, если х рациональное, ( О, если х иррациональное, периодична и любое ненулевое рациональное число ее период, никакое же иррациональное число периодом не является.
75. Найти наименьший положительный период функции: Ц у = я1пЗх; 2) д = Осев(Злх/4); 3) у = 1д(Зх+5); 4) д = яш (х — 1); 5) у = ~ьйх+ стп2х(; 6) у = гйпх+ соя2х; 7) у = сов2хсовбх. 76. Доказать, что функции не лнляетсн периодической: 1) д = яш~х~; 2) у = соя(1/х); 3) у = совхсовтГЗх. 77. Доказать, что если функции у = г"(х) периодична с периодом Т, то функции у =1(ах+ 5), а ф О, периодична с периодом Т)а. 78. Найти область определения функции: сгй 2х Ц у = ~:, 2) у =,ггсовх: 3) у = (я1пх — 2япгзх) вгп(х/3) ' 4) у = агссоя(3 — х); 5) у = агсяш(0, 5х — 1) + агссоя(1 — О, 5х); 6) у = 1псоях; 7) д = чгйггя1пх. 79.
Найти множество значений функции: 1) у = 1 — 2~ соях~; 2) у = ыпх+ яш(х + л/3); 4 1-ь вшх 3) у = я1п х+ совках; 4) у = ' '; 5) у = агссов~х~; вшх 2х 6) д = л — ~ агстдх~; 7) у = соя(агсвш х); 8) у = аггеей е ь я 7. Числовие функции. Последовательности Я7 4) у = Гйах+ с18зх; 5) у = соя 7) у = агс18[х[. 87. Исследовать на монотонность 1 к 1) у = —, х Е [-ег;к[, [х[д: —; соя х 2' 1 3) у = агсгй —; 4) у = агссоя [х[ функцию: 1 2 2) у=йп —, х> —: х' Зл' х 5) у=я|и 1+хе Выяснить, какие из функций янляются четными, какие нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными [80, 81). 80.
1) у = х+ йпх: 2) у = хз — соя х, 3) у = йпх18х; 4) у = [1 — хз)соях; 5) у = [1+соях)с18х; 6) у = йпх 7) у = соя[х+ 1); 8) у = йп5х+соя3х. 81. 1) р = агсяшх-'; 2) у = 2агссоя[ — х); 3) у = агссоя[х[; 4) у = [агсгях[; 5) у = атосов[свах), 6) у = соя[агссоях); 7) у = агсйп х + агссоя х. 82. Доказать: 1) агсйп х + агссоя х = я/2; 2) агссоя[ — х) = гг — агссоях, [х[ < 1; 3) агс1ях+ агсс18х = гг/2, х Е Й; 4) агссгя[-х) = л — агсссях, х Е Й.
83. используя неравенства яшх < х < гях, х е [О;я/2), доказать нераненство: 1) я1пх ) х, х ( О; 2) [йпх[ ( [х[, х Е 17; 3) сГях < 1/х, х Е [О; я/2); 4) соя х < ег/2 — х, х Е [О; и/2); 5) сгйх>я/2 — х, хЕ [О;гг/2); 6) 1ях < 2/[я — 2х), х Е [Оря/2); 7) соя х >. 1 — хз/2, х Е й; 8) йпх > х — хз/2., х Е [О;+ос); 9) агсйпх > х, х Е [О;1); 10) [агсгях[ < [х[, х Е Й. 84.
Доказать ограниченность функции: 1) у = „; 2) у = ',; 3) у = сгихяш2х; 1,5 — йпх ' 1+ Гяех ' ит 1 4) у = соя2хйп [х — — ); 5) у = — йпх. 4)' х 85. Доказать неограниченность функции: 1) у=хйпх; 2) у=; 3) у=,; 4) у= соях' ' 0,5+йих' агам х 86. Найти яггр/, 1п1/, а также пгах/ и шш/, если они существуют; я, 1 соя х 1) у=4йп х — 12йпх+5; 2) у= — — йпх; 3) у= 2 ' 1+свох' 1 х18х; 6) р = агс18 —; Гл. 1. Введение 6) д = сов ,,; 7) у = агсгях — х. 1-~- хи ' Построить график функции (88 — 90). 88.
1) у =совЗх; 2) у =2яп(2х — 3); 3) у= 18(2х — я/3) + 1; 4) д = вшх+ ъ'3 сов х; 5) у = ] япх]: 6) у = в1п [х]; ОУ= ' °; 8)У= * Г=Д вЂ” Н .; ЕУ=Н Н 89. 1) у=весх; 2) у=вш(совх); 3) р=тув1пх; 4) у=2'"' 3 5) у = 1о8ввшх. 90. 1) у = агсяп(1 — х); 2) у = агст8]х]; 3) у = агсс18(1/х); 4) у = сов(атосов х): 5) д = атосов(сов х); 6) д = х — агсяп(вш х). 91. Функцию, заданную формулой прн х > О, продолжить, задав формулой, на значении х < 0: а) четно, б) нечетно.
Построить график получившейся функции: 1 1) у = 1+япх; 2) у = сгйх: 3) у = ь71+ г8' х 4) у = агссов2х; 5) у = агсгя(х — 1). 92. Выразить через элементарные функции обратную функцию к заданной и построить ее график: 1) д = япх, х Е [ — За!2; — х!2]; 2) у = совх, х Е [ — г00]; 3) у = 18 х,. х Е (л/2;Зт1'2); 4) у = стах, х Е ( — я; 0); 5) у = 2вшЗх, х Е [я/6;я/2]; 6) у = 2агсяп(х/2), ]т[ < 2; 7) у=агсяпъ~1 — хз, хЕ[ — 1;0]; 8) у=агсв1пъТ вЂ” хз, хб[0;1]; 9) д = агс18(1/х), х ф О, х Е й. 93.
Доказать, что график функции у = атосов(2вш (х/2)), х Е [О;я/2], симметричен относительно прямой д = х. 94. Доказать, что следующее уравнение задает функцию, и построить ее график: 1) " = О; 2) У = О;. 3) У = О; у — х ' у — 8 ,Я-ь х , и 8 4) , Уи = 0; 5) , " , = О. +У 18 х+У 95.
Изобразить график уравнения: 1) ]х] + ]у] = 1; 2) ]х[ — ]у[ = 2; 3) х — д = 01 4) х~ — уз=О; 5) хе+уз — 4У=О; 6) дв+2сов2х=2; 7) хт~'4 -ь ув = 1 (эллипс); 8) хз — уз = х'. 96. Доказать, что график следующего уравнения является объединением графиков нескольких функций у = Г"(х) или х = у(у); построить графики этих функций: У 7. Чиелввь)е функции. Последовательности я9 Найти область определения функции (104 — 107). 2) у= '2-3 -2: 3) у=.' ч ' — ~'~' 104. 1) у = 2) у = улз †)*) — 2; 3) у = ' 3 У * У "3— 6) у (8 2х ха) — згг 105.
1) у = 18(ха+ 1); 2) у = ' у !8 соя х 3) р=183 1) )у) + (х — 2! = х; 2) (х + д( + (х — д)! = 1; 3) !У/ = 1об„ ах; 4) (х — /х!) + (У вЂ” !2д!)~ = 4. 97. Построить график уравнения и показать, что он не может быть получен объединением конечного числа графиков функций: 1) (х) — х = (у! — у; 2) )у( = )у — яшх). 98.
Выяснить, какие из данных точек А и В принадлежат кривой: 1) х зз 1 д уз й 4(0. 0) В(3. 3) 2) х = я1пг+ 1, д = сояз — 1; А(О; — 1), В(1,6; — 0,2): 3) х = 2 соя| — соя 21, у = 2я1пу — яп21; А(3))2; чу)3); В(1;2); 4) х = 2' яп1, у = 2' соя у, А(2; 2), В(О; 2 ). 99. Исключив параметр й получить уравнение, график которого совпадает с кривой; изобразить этот график: 1) х = 1 — 1, у = зз — 21+ 2; 2) х = 2 — 3соя1, у = 1+ 3я1пз; 3) х = 2 соя1, д = 3 я)п1; 4) х = ( 1п 1(, у = 1+ 13; (У + 1)з „ (1 1)з 100. Построить по точкам кривую: 1) х = 1 — яп1, у = 1 — сояу (циклоида); 2) х = сояз г, р = яш 1 (астроида).
101. Записать в полнрных координатах уравнение и построить его график: 1) х + д + 1 = О; 2) хг + уз = 2х; 3) 2ху = хг — уз; 4) х = уз — 1)4. 102. Построить график функции в полярных координатах: 1) г = 12 р (гиперболическая спираль); 2) г = е" (логарифмическая спираль); 3) т = 8я1п()р — л/3); 4) г = 1/(1 — яп)р). 103. Построить график уравнения, перейдя к полярным координатам: 1) (хи + уз)з = 2(хз — дз) (лел)ниската Бернулли); 2) дг(1 — х) = хз (циссоида). 90 Гл. 1.
Введение 4) у,о 2 — 3. 5) „гхч 55, ) „'2:4 х — 1 ' 18(9 — Ьх) ' 1о82(хе ж 2х — 3) ' 7) у = 1о8,(х~ — Зх+2); 8) у = 1о8е1о8о в ( — — 2' ~); 2' 4 9) у = 18(1, 25' * — О, 4096)ее); 10) у = 1п(1 — 18(хх — 5х + 16)). гбх 2) яшх -)- совх сов 2х ' гйп х — сов х 3) у = 18(16 — хв) + с18 х. 107. 1) у = атосов(0,5х — 1); 2) у = агссоях — агсяш(3 — х); х х — 1 3) у = агс18,, 4) у = агсяш ху — 9 ' х 8)у= г) — .:; 3)р= 1)2 ); 7) у = 18(2агссовх); 8) у = 18(1 — 2агсс18х); агсрлп(915х — 1), 824 — хе = 23=3.— 1 ' !1) у = , 12) у = иг-3 * — ' ' 1* — ) Найти множество значений функции (108, 109).
188. 1) р =,; 2) у =; 3) р = 'З Р 2*2 2; хе+9' 3+хе' 1) р= '8 — 2*-*; 8) р= 2.— 1-в; 8) уу вг+ 8 7) 2=1 8 )3-;-2..†..2); 8) у=ьрер; 8) у=)121 82 — 1 8 1-)-совх 109. 1) у=вше — 5соях; 2) у=1 — 2~я1г12х~; 3) у= 1 — соя х 4) у = ' ' '; 5) у = р))18я1пх; 6) у = совах — яшх; вшх -)- сов х '1 2' 1 7) У = 1ойя(сов х+ Яш х); 8) У = сов ( — агсв1пх); 9) у = агсс18(я1пх).
110. 1) Доказать, что для любого х Е 17) а) Е(х -Ь 1) = Е(х) + 1; б) Е(х + и) = Е(х) + п, и 6 л. 2) Найти множество значений функции х — Е(х — 2). 111. Найти все значения а, при которых область определения функции 7 содержит область значений функции д, если: 1) 7(х) = , д(х) = а — х ' хе -1- 2х -)- 4а — 2 ' ) ) 2) 7(х) = 18(хв + о), д(т) = ' 3) 7(х) = агся173(28 — а), д(х) = 1обя(2а+ 1)72 — о 2*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
