1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 16
Текст из файла (страница 16)
97. Числовые функции. Последователиности 91 112. В равнобедренной трапеции АВСР с основанинми АР = = 2, ВС = 1 и высотой Л = 1 проведена прямая, перпендикулярная основанию АР и пересекающая его в точке ЛХ. Найти зависимость площади Я отсеченной части с вершиной А от расстояния х = АЛХ. 113. Около сферы радиуса г описан конус. Найти зависимость объема И этого конуса от его высоты: указать область определения получившейся функции.
114. Рассматриваются сечения правильного тетраэдра АВСР, параллельные ребру АВ и высоте РО тетраэдра. Найти зависимость площади Я сечения от расстояния щ между плоскостью сечения и ребром АВ, если высота грани тетраэдра равна б. Найти наибольшее значение Я. 115. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен ХХ. Найти зависимость радиуса вписанной окружности от угла о при вершине треутольника. Найти наибольшее значение этого радиуса. 116. На бесконечную прямолинейную нить с началом О равномерно на расстоянии 1 друг от друга нанизаны бусинки, первая из них находится в точке О.
Нить однородна с линейной плотностью р, масса каждой бусинки равна ьи Найти зависимость массы участка ОЛХ нити от длины щ = ОЛХ. 117. Два луча, угол между которыми равен 60', имеют общее начало. Из этого начала по одному из лучей вылетела частица со скоростью и, а через час по другому лучу вторая частица со скоростью Зи. Найти зависимость расстояния между частицами от времени движения первой частицы.
На какое наименьшее расстояние сблизятся частицы после вылета второй из нихГ 118. Область определения функции содержит гп элементов, а область значений и элементов. Доказать, что: 1) п(7гц 2) для того чтобы функция была взаимно однозначной, необходимо и достаточно, чтобы и = т. 119.
Найти число всех; 1) функций, определенных на множестве Р из т, элементов, со значениями из множества Е из и элементов; 2) взаимно однозначных функций, область определения и множество значений которых содержат по п, элементов. 120. Область определения функции Х счетное множество. 1) Доказать, что если функция Х взаимно однозначна, то и множество ее значений счетно. 2) Привести пример не взаимно однозначной функции Х, множество значений которой также счетно. Гл.
П оеедеиие 121. Выяснить, какие из заданвых функций обратимы: 1) д = 2+ х — х~, х Е [О, 5;+ос); 2) у = х' — х, х Е й; 3) д = хл — 2хз — 8, х Е [0,2]: 4) у = — х[х[ — 2х+ 8, х Е 17; 5) у = 1 — з1п х, х Е [О; гг]; 6) у = 18 т, х Е (О:, я), х ф гг/2; 7) д = 9* — 3', х Е Й; 8) у = агссое([х[ — Ц, х Е [ — 1; 2]; 9) у = агсс18 (х[х[), х Е Й. 122. Доказать, что функции / и д взаимно обратны: х — 2' х 2) 7(х) = х + 1, х Е ( — оо;О], д(х) = — т/х — 1, х Е [1;+со), егм — — ( *е е+ ьее= 'г — гт( — е, х Е [ †,/е; 0); 4) /(х) = 1п , х Е (О; +со), д(х) = /(х); 5) /(х) = з1пх, х Е [гг/2; Зт/2], д(х) = гг — асса|их, х Е [ — 1; Ц; 6) /(х) = ГКх, хЕ[ — г;О], х~ — — ', д(х) = сь ' (О' Функцию, .обратную к заданной, выразить через зяементарные и построить ее график (123 — 125).
123. 1) д= ь/хз, х Е [О;+со); 2) у=,, х Е ( — со',0], х ~ — 1; 3) у=х[х[+2х, ЕЙ; 4) у= „, хЕЙ, хфО, ~5; 5) у = ', х. Е [1;+со); 6) у =, х Е (О; Ц; 7) у = х — т/хз — 1, х Е (-со; — Ц. 8) у = ъ~хз — 1+ х, х Е ( — со; — Ц, 124. 1) у=2™, хЕ( — оо;Ц; 3» — 2л 2) д = 1 — е" *'д' *~, х Е гг', х у= -1, 3) у =, х Е гт, Зл+2л 10 — 10 4) у= +1, хЕЯ; 5) у=1о8 (х+ъгхз+1), хЕ17, а>0, ау'-.1. 125. 1) у=з1пх, хЕ [5я/2;7я/2]: 2) у=2соз(х/2), хЕ [2л".,4я], 3) у = суй х, х Е ( — я/2; гг/2), х У'= 0; 4) у = атцз(х/2), х Е [2гг; Згг]; 5) у = 1/ соз х, х Е [ — я; О], х ф — г/2; 6) у=агссоа~/1 — хз, хЕ[0;Ц; 7) у=атосов~/1 — хе, хЕ[ — 1;0]; 1 -Ь х 8) д = агс18 — ', т, Е Й, х ~ 1. 1 — х у 7.
Числовые функции. Последовательности 5 126. 1) Доказать, что функция д = хз+ — х обратима. Постро- 9 ить в одной системе координат графики даьшой и обратной функций. Найти точки пересечения этих графиков. 2) Доказать, что если и — нечетное натуральное число, р > О, Ч 6 Й, то функция д = х + рх+ Ч обратима. 1к. л. --.,-.ф,-,- р= с*+е*г-=»сс:~е-~ имеет обратную, и найти ее.
128. Пусть д = ассой х, х > 1, -- обратная функции для функции д = сйх, х > О. Доказать, что функция 2 ей [ — агссЬх), х > 1, г1 д = 2 сов ( — агссозх), — 1 ( х ( 1, ~3 является обратной для функции д = [хз — Зх)/2, х > 1. 129. Найти функцию, обратную для функции д = [х~ + Зх)/2, х Е й. 130. Найти наибольший промежуток вида [а;+ос], на котором функция * — 1 д=1+2шп х -ь 1 обратима, и найти на этом промежутке обратную функцию. 2х+3 131.
1) Доказать, что функция д = совпадает со своей обх — 2 ратной. ах+Ь 2) При каких условинх на а, Ь, с, д функция д = обратна ох+а самой себеГ ее+о 132. Доказать, что график функпии д = 1оао, о/д ф — 1, Дал симметричен относительно прямой у = х. 133. Пусть а и Ь такие числа, что область определения функции д = 1п[а+Ье*) -- непустое множество. При каких а и Ь эта функция совпадает со своей обратнойГ 134.
При каких а, Ь и с функция д = агсьй [а+ Ьтйх) + с,,т, 6 ~2' 2 /' совпадает со своей обратнойГ 135. Найти все Л, при которых обратима функция /, и задать обратную функцию формулой, если /[х) = (агссбпх)а + Лагссозх, х 6 [ — 1; Ц. 136. Доказать, что; 1) соз(2агссоах) = 2хе — 1, х Е [ — 1; Ц; Гл. 1. Введение 2) яш(3 агсгйпх) = Зх — 4хз, х Е [ — 1: 1]; х(З вЂ” ') 3) 18(Зал.'18х) =,, х б Й, хз ~ —; 1 — Зхе ' ' 3' 4) 3 агссоях — атосов(Зх — 4хз) = л, х Е ( — 1/2; 1/2), 5) атссоя, = 2~ аттадх~, х Е Й.
14-хг 137. Найти все значения х, для которых верно равенство: Ц атосов чт1 — хз = агся1пх; 2) агссоя чтГ- хз = — агсяш;е; 3) агстях = агсс18(1/х); 4) атстйх = атсстя(1/х) — тт; 1жх я 1-'; х Зз о) атстя = атс18х+ —, 6) агсг8 = агс18х — —.
1 — х 4' 1 — х 4 Установить, какие из функций являются четными, какие не являются ни четными, ни нечетными (138-140). 138. Ц у=,,; 2) у=1п; 3) у= 4) у = сЬ(х+ яЬх); 5) д = 1Ь(х+ сЬх); 6) у =1п (ъх'-'+1+х); 7) у=сояхяЬх+я1пхсЬх; 8) у = агсяЬ(яЬх); 9) у = 1Ь(агстЬх). 139. Ц у =; 2) у = я1пх+ 2хз; 3) у = гях — соях; 4) у =; 5) у = (х — Цз яшз х; 1 — соях ' 6) у = соя(х — х/4) + гйп(х — л/4); 7) у = я|п 18х; 8) у = с18 соя х.
140. Ц д = агся1пх-'; 2) д = 2агссоя( — х); 3) у = агссоя ~х~; 4) у = агссоях — —; 5) у = агсс18(с18х):, 2' 6) у = сяя(агсс18х); 7) у = агсяш(агссояг); 8) у = я1п(2х — агссгхх). 141. Представить функцию т" в виде суммы четной и нечетной функций; Ц ((х) = (х + Ц ; 2) ((х) = , ; 3) ((х) = гЗп(х + Ц; 4) т"(х) = , ~х( < 1.
142. Доказать, что всякая функция, определенная на симметричном относительно начала координат множестве, представима в виде суммы четной и нечетной функций. 143. Представить функцию в виде суммы четной и нечетной функций, если: Ц у=~х — 1~; 2) у=а*; 3) у=1п(1+с*), 4) у=яп(хе+ха); 5) у = 1д(х — 5); 6) у = атссоях; 7) у = — агссг8х; Л 7. Числовые функции. Последовательности 4) у= 1 хеж1п х 3) 2 сов х к — 2х 149.
1) у = 18хсоа3х; 2) у = ссбх — 1 ' 4) у = с18 х —, [т[ ( —, х ф О. е1пх' 2' 150. Доказать неограниченность функции: Ц у=ха 3х. 2) у=тзД[хе 1) ха[ оо 3) у = Зе/х, х 6 ( — со;0); 4) у = 2*/х, х 6 [1;+со); 5) д = 2~~с, х 6 [О;+оо); 6) у = 1о8 [1+х), х 6 [1;2); сов х 1 . 1 7) д = хеюх; 8) у =; 9) д = — сйп —. 151. Доказать, что любой многочлеп степени не ниже первой неограниченная функция.
152. Привести пример функции, определенной на отрезке и неограниченной на нем. 153. Привести пример функции, определенной на отрезке и неограниченной в окрестности каждой точки этого отрезка. 154. Исследовать на монотонность и построить график функции: 8) у = агс18 [1 — х). 144. Функция 7 ни четная, ни нечетная, функция д четная, функция 6 нечетная. Выяснить, может ли сумма; 1) 1+9 быть: а) четной, б) нечетной; 2) 7'+ 6 быть: а) четной, б) нечетной. 145. Функцин 7 ни четная, ни нечетная, функцин д четная, функция 5 нечетная и имеет смысл композиция любых двух из этих функций. Указать асе композиции., янляющиеся: 1) четными функциями; 2) нечетными функциями.
146. 1) Доказать, .что функция, обратная к нечетной, -- нечетная функция. 2) Может ли функция, обратная к данной, быть четнойГ Доказать ограниченность функции [147.149). 147 1) у = х — зГхз — 1 х 6 [1 +со) 2) у = ~!хз+ 8 — х. 3) д = ч'хе + 2 — [х[; 4) д = , ; 5) у = , х Е [О;4); 6) у = ',, х Е (-сю; -1); 7) у = х+ ъ'х' ' (х — 1)6'2ч-х' 1) д 2е~пе. 2) д 2!/е х а [ .О). 3) 5) у = 1о8, (1+ х), х Е [2;+со). Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
