1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Е(ц/(1 — ц)) + 1. 303. Ц ае( > Ьс; 3) ае( < Ьс. 305. 1п((х„) = 0,5, япр(х„) = 1. 314. б. ГЛАВА 2 ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ т 8. Предел последовательности СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Понятие предела. Число а называют пределом послвдовательяосгаи 1х„), если для каждого в > О существует такое натуральное Х, что для любого п > Х верно неравенство )х„— а! ( в: короче хв > О Вдт Чп > Х: ~х„— а~ ( в; Ж на языке окрестностей: если для каждой окрестности числа а найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности; в символической записи 'тЮ(а) ЗХ 'хя > Х: ~х„~ Е Г(а). (2) Иными словами, какую бы окрестность числа а ни взять, вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо находится лишь конечное количество ее членов.
Последовательность может иметь только один предел. Если а -- предел последовательности (ха), то пишут Пш х„=а, и-э~ а саму последовательность называют сходящейся к а, иногда просто сходящейся. Число а Яе ЯвлаетсЯ пРеделом последовательности 1хч), если сУ- ществует такое число в > О, что для любого натурального Х найдется номер п > Х такой, что )х„— а! >:, короче Вв>ОЧХ Вп>Х: ~хв — а~>Ш (1') на языке окрестностей: если существует окрестность числа а, вне которой находится бесконечно много членов последовательности. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом, другими словами, если для любого числа а существует такое число в > О, что для любого натурального Х найдется номер и > Х такой, что ~х„-а~ >в: Гл. У.
Предел и непрерывность функции короче, (3) Ча Зг>О ЧХ Зп>Х: ~хи — а~3г. 2. Свойства сходящихся последовательностей. 1) Если последовательность имеет предел, то она ограниченна. Значит, если последовательность неограниченна, то она расходится. Последовательность, сходлшуюся к нулин называют бесконечно малой. Если последовательность 1хи) бесконечно малан, а последовательность !уи) ограниченная, то их произведение, последовательность тх„у„), бесконечно мелел. 2) Для того чтобы число а бьсло пределом последовательности 1х ), необходимо и достато сне, чтобы для всех п х„= а+оп, где !ои) - бесконечно малая последовательность. 3) Если существует 11ш хи, то для любого числа о существует и — >ос 1пп ох и 1пп охи со о 1пп хи. и-ссо и — ссо исж 4) Если существуют 1пп хи и 1пп уи, то: и,осо иосо а) сущеспьвует 1пп (хи +уи) и и — с со 11ьп (хи + Уи) = 1!га хи + 1ьга Уи! и ' ос иож посо б) существует 1пп хиуи и 11ш хиуи = 11ш хи ' 11п1 уи! 3ь -с со и-осо посо в) если к тому псе у„фО и 1пп у„фО, то существует 1пп —" и и-сос и — иж уи 1!га х„ Хь, и ооо 11ш и.— ссо уи !1П1 уи посо 5) Если 11гп х, = !пп ги сс а и длл всех п, начиная с некоторого, 'и-осо и-чсо хи<уи<хи, то 1нп у„= а и — сж !теорема о трех последовательностях).
6) Если 1пп хи со а и для всех ио начин я с некоторого, хи < Ь 1,или хи > с), то а<Ь (илиа>с). 7) Если 1пп хи > а (или 1пп хи < Ь), то для всех п, начиная с и-осо и — сж некоторого, х, > а !или х„< Ь). дд. Предел последовательности 327 3. Бесконечно большие последовательности. Последовательность 1хп) называют бесконечно большой, если для каждого е > О СущЕСтВуЕт таКОЕ НатураЛЬНОЕ йс, Чта дпя ЛЮбОГО и > 1ч' ВЕРНО НЕравенство ~х„) > г, и в этом случае пишут 1пп х„= оо. и — ~ж Бесконечно большаЯ последовательность 1хп) имеет пРеделом +со (соответственно — со), если для каждого в > О существует такое натуральное Ж, что для любого п > Л7 верно неравенство хп > г (соответственно х„ ( — г), и это записывают так: 1пп хп = +со (соответственно 1пп х, = н-ьое и-еьо = — оо). Во всех этих случаях говорят, что последовательность имеет бесконечний предел.
Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной и расходяшейся. Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. 4. Частичный предел. Теорема Больцано — Вейерштрасса. Если подпоследовательность )хпь) последовательности )х ) имеет предел 1цп х„ь = а, где а число или одна из бесконечностей +со, ь — ~со — оо, то а называют частичным пределом последовательности 7хп). Если 1пп хп = и, где и число или одна из бесконечностей +сю, -оо, то любаЯ подпоследовательность 1хп„) последовательности )х„) имеет тот же предел: 1пп х„, = а.
Ь вЂ” >со Теорема (Больцано — Вейерштрасса). Любая ограничвннал последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Всякая неограниченная последовательность имеет частичный предел +со или — сс. Таким образом, множество частичных пределов любой последовательности не пусто. Пусть Т, — . множество частичных пределов последовательности 1хп) 1наРЯдУ с числами Ь может содеРжать и +ос, и — оо). ВеРхним 1нилсним) пределом последовательности 1хн) называют ацрА (1п1Т,), и обозначают его 1пп х„= ацрЬ ( йга х„= 1пГЬ), и — ~пи н — ~ос Верхний и нигкний пределы последовательности являются ее частичными пределами. Гл. г'. Предел и непрерывность функции 5. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши. Последоватслыюсть !хи) называют фундал~ентальнои, если для каждого г > 0 существует такое натуральное Х, что для любого и > Х и любого т > Х верно неравенство )х„— х, ) <г, короче че ) 0 ЛЛ чп ~ )Х чпь ~ )Х: ~хи — х~ ~ < г (4) (условие Коши).
Это же условие формулируют и так; для каждого г > 0 существует такое натуральное. Х, что для любого и > Х и любого натурального р верно неравенство ~Хи„-Хи! <=, короче, Чг > О 3Х 'чп > Х Чр: )х„ер — х„~ < г. (4') Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Для того чтобы последовательность нс имела конечного предела, необходимо и достаточно, чтобы она не удовлетворяла условию Коши, т. е.
удовлетноряла отриианию условия Коши: существует такое г > О, что для любого натурального Х найдутся такие и > Х и гп ) Х, что )х„— х )>г, короче, зг>ОУХЗп>Х Ут>Х: (х„— х )>г. (5) 6. Монотонные последовательности. Число с. Теорема (Всйерштрасса). Ограниченная и монотонная, начиная с некоторого номера, последовательность имеет конечный предел. Последовательность хи = (1 + 1/гь)и, п 6 Х, строго возрастает, т. е.
Чп хи < х„ты ограниченна; 2 < х„ < 3, поэ- тому имеет предел, обозначаемый е, 1пп (! -ь 1/л)" = е, и-~Ос это нерациональное число е = 2, 718 281 828 459 045 ... ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Доказать исходя из определения., что число 1 является пределом последовательности хи = п!!и. + Ц (п = 1,2,...). а Рассмотрим модуль разности и ~ 1 ~х„— Ц = — — 1~ = —. и + 1 и -~- 1 Возьмем произвольное число г > О. Неравенство )ти — 1~ < г будет выполнено, если 1/(и+ 1) < г., т. е.
при п, > 1/г — 1. В качестве Х 48. Предел последоеательиости 129 возьа|ем какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию тзг > 1/е — 1, т. е. 1/(4"зг + 1) < е *) . Тогда длн всех и > 1'т' выполнены норавенства 1 1 ~х„— 1( = — «, е. и+1 1"а+1 Это и означает, что 1 есть предел последовательности 14и/Гп + 1)), т, е. и 11щ =1. а и-чее и-'г 1 Пример 2. Доказать исходя из определения, что 1ип (1/3)и = О. а Так как 3" > и для любого и > 1, то ((1/3) и — 0~ = 1/3" < 1/и. Пусть а > О, выберем натуральное 14г такое, что 1/тзг < е. Тогда для любого п > гт' имеем ~(1/3)" — 0~ < 1/п < 1/дг < ж Значит, 1пп (1/3)" = О.
а и-4 со П р и м е р 3. Доказать, что последовательность (( — 1)" + 1/и) расходится. А Нужно доказать, что никакое число не является пределом дан- ной последовательности. Отметим на числовой прямой несколько членов последовательнос- ти, например, х1 = О, тг = 3/2, хз = -2/3, хл = 5/4, ха = -4/5, хе = 7/6, х12 = 13/12, х13 = -12/13. Рис. 8.1 показывает, что расстояние между двумя соседними членами 1 х з хзг хз хз 2 О Хзз Хз Рис. 8.1 последовательности больше 1. Докажем, что зто действительно так для любых двух соседних членов. Из зтих членов один имеет четный номер и = 2Й, и х 1 = 1+ 1/(21с) > 1. Соседний член имеет нечетный номер 21+ 1 (или 274 — 1), и 1 г' 1 хгь ' 1 — 1 + 214+1 4, 214 — 1 < 0 )или хгь — 1 = — 1+ < О).
Отсюда следует, что ~хи — хи4.1~ > 1. *) Например, Д' =- Е(1/е), гпе Е(а) — целая часть числа о. 130 Гл.3. Предел и непрерывность функции Для произвольного числа а возьмем окрестность единичной дли- ны интервал (а — 1/2; а+ 1/2). Любые соседние члены х„и хп.ь1 оба имеете не могут находиться в этой окрестности, так как рассто- яние между ними болыпе 1. По крайней мере один из этих членов будет лежать вне окрестности. Таким образом, для любого числа и существует е = 1/2 такое, что для любого натурального 7ьг найдется н, равное либо 7ьс, либо Х+ 1 такое, что !х„— а~ > 1/2 = ж Это и означает, что данная по- следонательность расходится.
А Пример 4. Доказать, что последовательность 1(пз — 10)/гь) рас- ходится. А Докажем, что данная последовательность неограниченна. Имеем хп = п — 10/и > п — 10. Пусть С произвольное положительное число. Возьмем какое-ни- будь натуральное число гьо > С+ 10, тогда хп, > по — 10 > С. Это означает, что последовательность 1(гь~ — 10)/и,) неограниченна, а по- этому расходится.
А опе — 3п Пример 5. Найти 1пп о — ьсл гг +1 А Преобразуем формулу длн общего члена к виду 5 — 3/и 1 -~- 1/пе Учитывая, что 11/и) и 11/пз) бесконечно гиалые последова- тельности, и используя теоремы о пределах, получаем !нп (5 — 3/и) 5 — 3/п „, >, 5 !!пь 1 Ь1/„з ! !1+1/ е) Пример 6.
Доказать, что 1пп (5п/и") = О. п — ьк а Для всех а > 15 верно неравенство 5/и < 1/3, поэтому 0 < (5/гь)" < (1/3)" при п > 15. Здесь слева и справа стоят члены последовательности, имеющие пределом нуль. Значит, по теореме о трех последонатель!!ш (5/п)п = О. а Пример 7. Пусть !!пь хп = 0 и хп > — 1 для любого и; пусть р натуральное число. Доказать, что 1пп 4'Г+ хи = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
