1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 26
Текст из файла (страница 26)
107. Указать такие последовательности (хи) и (уи), что 1ше хи = О, 1пп у„ = сс и, кроме того: 1) 11ш хоуп = О; 2) 1пп хоуп = 1; 3) 1пп хоуп оо ос: п — лпо иеоо п — нио 4) последовательность (хоуп) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. и, кроме того: 1) 11ш (хи — уп) =+ос; 2) 11ш (ти — у„) = 1; 3) 1пп (хи — у„) = — ос; 4) последовательность (хи — уи) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. 106. Указать такие последовательности (хи) и (уи), что 11ш х„=+ос, 11ш уп — — +ос и — лоп и — нпо Гл.2. Предел и непрерывность функции 1 50 108.
Доказать, что если 1ии хп = оо, то последовательность ( х„~ неограниченна. и=1 109. Указать сходящуюся подпоследовательность последовательности (хп), если х„ равно: 1) ( — 1)"; 2) сйп( — ); 3) и — 5Е( ). 110. Привести пример последовательности, не имеющей ни одной сходящейся (к числу) подпоследовательности. 111. Привести пример неограниченной последовательности, имеющей сходящуюся (к числу) подпоследовательность. 112. Доказать, что для того, чтобы а (число, +ос или — оо) было частичным пределом последовательности, необходимо и достаточно, чтобы в любой окрестности а содержалось бесконечно много членов этой последовательности.
113. Найти все частичные пределы последовательности (х„), если х„ равно: 1) ( ); 2); 3),,; 4) (-1)"; 5) 31 и-~-1 ' п-~-5' 1-~-пе' 6) а1п(кгь(4); 7) псов(кп(2). 114. У последовательности (х„) подпоследовательность (хзь) имеет пределом а, а подпоследовательность (хза д) имеет пределоьи Ь (а, Ь числа или +со, †). Доказать, что только а и Ь являются частичными пределами последовательности (х„). 115. Доказать, что всякая монотонная последовательность имеет только один частичный предел. 116. Для последовательности (хп) найти множество частичных пределов, 1пп х„, 1пп х„, если: о-нее и — ~х 1) хп = соа —; 2) хп = ( 4) (х.) = =( 1 2 9 1 2 99 1 2 10" — 1 1— -) 10~ 10) ео 10~ 103 ) ИР ~ '''1 103 ~ ее 10е ) 10п 1 ее 10п 117.
Для последовательности (х„) найти 1пп х„, 1пп хп, а так- и-ьы' и — ~ее же епр(х„), 1п1(хп), если хп равно: 1) ( 1) 1+ ( 1) . 2) ( 1)п Зп, — 1 3) и яп(кпр2) +1 п 2 ' и+2' п,ж1 (( — Ц" — Цп + и+1 (1 ос сои кп)п + 19п п 5) 19 2п 118. Привести пример расходящейся последовательности, имею- дд.
Предел последовательности щей только один частичный предел. 119. Доказать, что последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограниченна и имеет один частичный предел. 120. У последовательности (ти) подпоследовательности (хзв), (хаь !) и (хзь) сходятся. Доказать, что сходится и сама последовательность. 121. Доказать, что всякая неограниченная последовательность либо является бесконечно большой, либо имеет конечный частичный предел. 122. Последовательности (хь) и (уе) таковы, что для любого й существует н, такое, что уь = хи„. Известно, что последовательность (хи) имеет предел.
Следует ли отсюда, что и последовательность (уь) имеет пределГ 123. Для последовательности (хи) найти множество частичных пределов, 1пп х , 1пп хи, внр(хи), шЕ(хи), если хи равно: и ~ос и ьое ц ( (ян!2))и ь; 2) (1+( — 1) гьФ! ! — ! — !)')!" .
ь! ье! '! ! 2; 2и -~-3 7) 21 — Ю "и; 8) — (и — 2 — 3Е( 3 )) ( ( )) 124. Найти множество частичных пределов последовательностей: 1 2 3 1 2 3 4 9 1 2 3и 2) ' 2' 2' 2' 4' 4' 4' 4'"и 4'"и 2! ' 2 ! '"и 2и 125. Последонатольность (хи) такова, что х2в — ! х! = О, хзь =, хань! — 1+ хзл ! Й б 81. 2 Найти 1пп х„, 1пп хи.
и — 'сс и-+ж 126. Доказать, что если последовательность (хи) не достигает своей: а) верхней грани ЛХ, то !пп хи = И'; б) нижней грани т, то 1пп хи = т. 127. Доказать, что у любой последонательности есть монотонная подпоследовательность. 128. Доказать, что для всякой последовательности (хи) 1нп хи и — ь~ и 1йп хи нвляются ее частичными пределами. 129. 1) Пусть последовательность (хи) ограниченна снизу, т„= т 52 Гл.2. Предел и непрерывность функции = шЕ(хь). Доказать, что последовательность (ти) сходится и ь>п 1шт тап = 11пт хи. и-ьоо п-тес 2) Пусть последовательность (хи) ограниченна сверху, ЛХ„= = зпр(хн).
Доказать, что последовательность (ЛХп) сходится и 1пп ЛХи = 1пп хп, и — тес и — тсо 130. Доказать, что множество частичных пределов последова- тельности замкнуто. 131. Пусть (хп) и (у ) -- ограниченные последонательности. До- казать, что 1пп х„-ь 1пп уп < 11ттт (хи + уп), и — тес п — тсо итт 132. Доказать, что если последовательности (х„) и (уи): 1) ограниченны сверху, то 1пп (х„ + у„) < 1цп х„ + 1пп ц„; и — тес и — тю п — тсо 2) ограниченны снизу, .то 11ш (хи + у„) > 1пп хи+ Йш уи *).
п — тю и~~ и — тс 133. Пусть хп > О, п Е Я. Доказать, что: хи т < 1тпт тес~, 2) 1ттп ти х < 1тттт:и ьт итсо Хп и — ~ж и — ьсо п-асс Хп 134. Привести пример последовательности, у которой множест- во частичных пределов совпадает с множеством значений последова- тельности и: 1) конечно; 2) счетно. 133. Указать последовательность, множеством частичных преде- лов которой является множество натуральных чисел. 136. Указать последовательность, частичными пределами кото- рой были бы: 1) все числа вида 1(тт, .а е И; 2) все рациональные числа.
Может ли множество частичных пределов последовательности со- стоять только из этих чиселГ 137. На плоскости даны несовпадающие точки А, В, С. Точка Ат середина отрезка СВ, точка Аз середина отрезка ААт, Аз середина САз., "., Ать середина ААрь — т, Азнчт середина САзы ... Найти частичные пределы последовательности точек (Ап). 138. Построить последовательность, множеством частичных пре- делов которой является отрезок [а;Ь). 139. Последовательность (хп) ограниченна, 1пп (хп — х„ет) = О, а = 1пп х„, Ь = 1пп хи, а ф Ь. и — 'со и -— и со итс *) Считают, что 1-~-оо) -~- (со) = -~-со, 1 — оо) -~- 1 — со) =- — со.
р 8. Предел иоеледоеателъиоети 153 Доказать, что любое число из отрезка [а; Ь] является частичным пределом последовательности (хи). 140. Последовательность 1хи) такова, что хилл > хи — аи, где аи > О, 1пп а„ = О. Пусть а = 1пп х„, Ь = 1пп х„. Доказать, что и — ~ж иэоо и- со любое с, а < с < Ь, является частичным пределом последовательнос- ти (хи). 141. Доказать, что последовательность 1х,) фундаментальна, если; 1)хи=-,пей; 2)хи=,пей, 1 и -Р 1 и' Зп — 2 ' 3) х„= 0,77...7, п Е Я; и Лиер 4) хи = а + ад + ...
+ ау" ~, где [а[ < 1, и, Е И; 1 1 1 1 1 1 5) (х )=]1 — 1 '2' 2'3' 3' 'и' и' 1' 6) х~ = 1, хи = х„з +, (и = 2,3, ...). (-ци ' и! 142. Пусть ао целое неотрицательное число, (аи) последова- тельпострь члены которой — — цифры. Рассмотрим последовательность конечных десятичных дробей хи = ао, аеаз...аи, п Е М. Доказать, что эта последовательность фундаментальна. 143.
Доказать, что последовательность (хи) сходится, если хи равно: япа яа2а ешЗа як па 2 2 2з '" 2и и 2) ~~~ атл1, где ]а] < 1, ]аь] < С, й Е й(, 3) 1+ —, + ... + —,; а 1 1 и! а=1 ( 1)и 1 1 2 2 3 п(и+1) 144. Доказать, что фундаментальная последонательность ограни- ченна. 145. Доказать, что у фундаментальной последовательности любая подпоследовательность фундаментальна. 146. Доказать, что для того, чтобы последовательность (хи) была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 'де>О эйг Уп>Х: ]хи — хи]<я 147. Пользуясь отрицанием условия Коши, доказать, что последовательность (хи) расходится, если хи равно: 1) О 21 — О" и. 2) ', 3) ( 1)и[1+ 2п ' ' и/ 154 Гл, ре Предел и непрерывность функции 4) (1+ ' " ) 148. Пусть 1х„) и 1у„) - .
фундаментальные последовательности. Доказать, что: 1) тх„+Ун) .- фУндаментальнаЯ последовательность; 2) 1хнУ„) фУндаментальнаЯ последовательность; 3) если ~у„~ > с > О, п Е И, то 1х„/у„) фундаментальнан последовательность. 149. Доказать, что последовательность 1х„) сходитсн, если х„ равно: 'й и 1) ~~~ ', абй; 2) ~~ — "„, где ~не~<С, ЙЕИ. А=1 ь=.! 150. Доказать, что последовательность 1хн) расходитсн, если х„ равно: е -: "г':)-с ьье lп +1т 4) — — Е~ ), рЕИ, р>3; 5) ашп; р р 6) соа1ап+ о), где а,об й, а у-'2йл, й Е И; 7) 1дп. 151. Пусть 1и, п Е И, --- число натуральных чисел р, удовлетворяющих неравенству 100п + 1 < р ( 100(п + Ц. Доказать, что последовательность 11н) Расходитсн. 152.
Пусть 1„, и а И, --- число натуральных чисел р, удовлетворяюших неравенству п~ + 1 ( р ~ < 1п + 1), где й -. данное натуральное число. Доказать, что последовательность 11,) расходится. 153. Последовательность 1хн) такова, что последовательность х„) сходится. Доказать, что 11ш х„ = О. л=ь 154. Последоватольпость 1х„) монотонна и 11ш хн = О.
Дока- и-нсе зать, что последовательность Ян = хь — х + .. + 1 — Цн ьхн, и Е И, сходится. 155. Доказать, что монотонная ограниченная последовательность фундаментальна. 156. Последовательность 1х„) такова, что ~хи.ьь — х„~ < Са", где 0 < а < 1, и Е Ш. Доказать, что последовательность 1х„) сходится. Гд. Предел поеледоеателъноети 155 157. Доказать, что длн любого х й Я последовательность и! сходится. 158. Привести пример расходяшейся последовательности 1хп) такой, что для любого р й И 1пп ~хгг ер — хп( = О. пеоо 159.
Последовательность 1хп) не сходится. Доказать, что сушествУет последовательность натУРальных чисел 1Рп) такаЯ, что последовательность )х„л р„ — хи) пе стремится к О. 160. Длн последовательности 1х„) обозначим И 'е — 1И. Ь>п, г>о Доказать: для того чтобы последовательность )хи) удовлетворяла условию Коши, необходимо и достаточно, чтобы 11ш М„= О. г — э 161.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
