1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. хи Ьг > хи, и, значит, 1хи) возРастающаЯ последовательность. Из доказанного следует, что сушествует 1пп хи. и — ьсо Рассмотрим подпоследовательность х л = 111+ 1/р)Р)" при и = = рй, р е А). Так как 1пп 11 -ь 1/р)Р сс е, то 1пп хре = ее. Значит, и р — ьсо иьсо 1пп хи = 1пп х„л = е . А и — ьсо р-исо ЗАДАЧИ 1. Доказать, что !пп хи = О, указав для каждого е > О такое Х, и — ьсо что для любого и > Аг верно неравенство ~х„~ < е, если; Ц х„ = 1/и; 2) хи = а/и 1а -- произвольное данное число); 3)х„=~ ); 4)т„= п и 1+1 — Ц 1 , ии 5) Хи =; 6) Хи сс — Гйп —. и ' п 2 Отметить на числовой прямой 1в случае 2) взять а = — 1) первые шесть членов зтих последовательностей. 2.
Доказать, что: и+6 Ц 11пг — =1, где об гг; и — ьсо 7ь 58. Предел последовательности 137 2) 1пп = —; 3) !!ш п 1 . Зп 3 и — ьсо 2п -~-1 2 ' иисл 2п — 1 2 ' и+1 . 1 5) !!гп „=1; 6) 1пп — =О, где р> 1. и — иж п- и — ьсе сор 3. Пусть 1нп хи = х, а последовательность 1у„) такова, что существуют натуральные р и пе такие, что уи = хо,+р (или уи =:си . ) для любого и > по.
Доказать, что последовательность у„ сходится и !!ш уи = х. Иными словами, изменение (в частности, отбрасывал — ьо ние или добавление) конечного числа членов сходящейся последовательности оставляет ее сходящейся к тому же пределу. 4. Доказать, что 1!ш хи = О, указав для каждого е > 0 такое Х, и — и ос что для любого и > Дс верно неравенство ~х„~ < е, если: 1) хи — ! 2) хи — ! 3) хи— 1 2 1 ь7й т72п — 1 КЗп:11 ' 4) хи = —, Й Е Рд.
5. Доказать, что 1шь = 1. ь7п-'+ п 6. Доказать, что: 1) 1пп (-0,.5)" = 0; 2) !цп (0,99)" = О. 7. Доказать, что если )77! < 1, то !пп уи = О. 8. Доказать, что 1хи) бесконечно малаЯ последовательность, если: и, 1) хи= о: 2) хи=,,: 3) хи= —, ~9~<1: 2п+ 1 е!пи 4) хи =: 5) хи = —. 9. Для того чтобы последовательность 1хи) была бесконечно ма- лой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность )~х,,~) была бесконечно малой. Доказать.
10. Привести пример последовательности 1хи), удовлетворяющей условию 'е'е > О Л!'л' Чп > Х: хи <- и такой, что: 1) она не имеет предела; 2) она имеет предел. Может ли этот предел быть равным 1Г 11. Сформулировать на языке ее-Ии отрицание того, что (х„)-- бесконечно малан последовательность, и записать его, используя сим- волы Л, 'Ф. 12. Доказать, что число а не являетсн пределом последователь- ности )хи), если: 1) х„=(-1)", а=-1; 2) хи= ', а=3; 2 4соепи ' 138 Гл.2.
Предел и непрерывность функции 3) хп = соа(кгь/3), а = 1/2: 4) хп = 21 нО ", а = О. 13. Доказать, что последовательность 1хп) расходится, если: 1) хе=( — 1)": 2) х„=и; 3) х„=аш 2 4) хп —— Е~ ); 5) хп = япи; 6) х„= соа и ) ич1 3 14. Последовательность 1х„) расходится, а последовательность (у„) такова, что сушествуют натуральные р и ио такие, что дп = = хпцр (или у„= х„р) для любого и > ио. Доказать, что последова- тельность 1Уп) РасходитсЯ. Иными словами, изменение (в частности, добавление или отбрасывание) конечного числа членов расходящейся последовательности оставляет ее расходящейся. 15. Доказать, что последовательность 1хп) расходится, если: 1) х, =( — 1)пи; 2) х„=и1 О; 3) хи= и+1 4) х„= изеш; 5) хп = (0,5)О 16. Привести пример такой последовательности 1хл,), что 11ш хп = 0 и из ДвУх последовательностей 1818пхп), 1(пйпхп)з): 1) обе сходятся: 2) обе расходятся; 3) первая расходится, а вторая сходитси.
17. 1) Последовательность 1хп) сходится, 1шл хп = а. Доказать, и-лес что сходится и последонательность )~х„~) и !шл )х„~ = ~а~. 2) Привести пример расходящейся последовательности 1хп), для которой последовательность )~х„~) сходится. 18. У последовательности 1хлл) подпоследовательности 1хаь) и 1хзь 1) имеют один и тот ьке предел.
Доказать, что и сама последо- вательность сходится к атому пределу. 19. Последовательность 1хп) такова, что 1пп хаь = а, 1пп хза А -лес Ь-л:о = 5, а р'= Ь. Доказать, что последовательность 1хп) расходится. 20. Доказать, что последовательность 1хп) расходится, если х„ равно; 1) 1оде(2+ ( — 1)'), а > 0 а ф 1; 2) агсаш ; 3) 21. Доказать, что последовательность: 1) х„ = — ~~ ( — 1)п "лс, и с Н, сходится, а=1 П 2) хп = — ~У ( — 1)" 'й, и Е Р4, расходится. и=1 9В. Предел последовательности )39 22. Привести пример последовательностей 1х„) и 1уп), имеющих одно и то же множество значений и таких, что: 1) 1х„) и (у„) сходятся, но 1пп хп ф 1пп уп; п — )сс и — )сю 2) 1хп) сходится, а 1у„) расходится.
23. Последовательности 1х„) и 1уп) сходятся и 1ш) х„ф !ш) уп. и — )сс п )сс Множества значений зтих последовательностей совпадают. Доказать, что зти множества конечны. 24. ПУСТЬ !!Пь Хп = Хс тп = !П11ХП), Мп = ЗПР(Х)8), И Е И. и — )со Ь>п Ь> Доказать, что 1пп 9и, = 1пп Л1„= х. п- 25. Доказать, что если хп > О, и Е И, 1пп хп сс а, то: 1) 1ш) с/хс) =.~а; 2) 1пп з))хсп)'= 'лсса; 3) 1ПП 8)ХП сс т/а), р б И.
26. Найти !!ш хп, если: п — )сп )) * = Ь)99 —; 2) * = )8 — —,); 8) *„= ())' 4) х„= 5) 1пп 6) х,= .„~п-'+! и — шсс 87пс+2и и+2 7) хп сс ~'") 8) хп = т))пз — 1 — и — 1; ь)пв + п+ и, 9) хп сс ы)из+и —,/п~ — и; 10) хп сс т))из+ 2из — и; и) *„= -", ())99 9 — )).
27. Доказать, что сходнщаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней . — верхней или нижней. 28. Является ли обязательно число а пределом последовательнос- ти (х„), если; 1) существует такое натуральное число И, что для любого е > 0 и для любого и > Х справедливо неравенство !хп — а~ < е; 2) для любого с > 0 существуют такис натуральные числа Х и п > Хс что !х„— а( < с Г 29. Пусть хп > О, и Е И, 1пп хи сс О.
Доказать, что: 1) — ) и 1) сссХ 59)о > Х )9998 >'ао) 'хп < х 2) ЧХ Лпо ~ )Х )))98 11 ~ (и < по): хп > хпо. 30. Пусть К - множество всех сходящихся последовательностей, а Кы Кс, ...,Кз .- - множества всех послеДовательностей, УДовлетво- ряющих соответственно услониям: 1) Не>0 ЛХ Лп>Х) !х„~<е; Гл.2. Предел и непрерывность функции ыо 2) Нв > О ЛХ '4п ) Х: )хп1 < е; 3) Нв > О ЧХ Нп ) Х: )хп1 < в; 4) йе > О ЛЯ Дп > йг: (х„1 < е; 5) Лв > 0 Ч1к' 'йп > йг: )х„1 < в; 6) Че > О ЧК Чп > р7: )х„1 < е; 7) Че > 0 ЛМ ьдп > Х: )хп( < .; 8) йе > 0 йХ 'дп > Х: (хп1 < е.
1) Какие из слсдУющих включений веРны; а) Кв С Кз1 б) Кз С Кв1. в) Кт с Кг! г) Кв с К; д) К с КвГ 2) Для каких з = 1, 2, ...,8 верно включение К, с КГ 3) Какие из множеств Кд (~ = 1, 2, ...,8) содержат как сходящиеся, так и расходящиеся последовательностиГ 4) Какие из множеств Кд 0 = 1, 2, ..., 8) содержат неограниченные последовательностиГ 5) Какому из условий Ц -8) удовлетворяет любая последователь- ностьГ 6) Какие из множеств К.
0 = 1,2, ...,8) совпадаютГ 31. Доказать, что если последовательность (х„) удовлетворяет условию Ж>0 На 3М Мп>Х: ~х„— а~<в, то (х„) обратное. 32. Доказать, что последовательность (х„) расходится тогда и только тогда, когда Нв > 0 Ча ЧХ Нп ) Х: 1с„— а~ ) е 1сравните эту запись с определением расходящейся последовательности в (3)). 33. Последовательность (уь) получена перестановкой членов последовательности (х„), т. е. для любого и существует йп такое, что хп = ун„, причем, если и, ~ пз, то Йп, ф Й„„ и обратно, для любого к, существует такое пр, что уь = х„„, причем, если Йь ф Йз, то пм ф пе,.
Доказать, что: 1) если 1пп хп = ао то и 1пп уь = а; и — ьсо Ь вЂ” ьсс 2) если (х„) расходится, то и (уе) расходится. Иными словами, перснумерация элементов последовательности не меняет ее свойства сходимости или расходимости. 34. Найти 1пп х„, если: 9+ п71п+ 1) 2) 3+ 0,5" 3) п 2-Ь1/и ' 0 Зп-'-Ь5' ' Зпж2' 28. Предел последоеателъиоети по+ 27 Хи п! — 15 Зп и-1 бп и'-1 ' (п+ 5)' — п(п лс 7)л, пе + 1 Хп п! ) Хп 2п ч-1 ! — Ц" +1/п ) Зп 1! е — ( — Цп' " 5+За+!' 1-с2-с...+п п пч-2 2 35. Известно, что х„ ф- 1, 1!ш хп си 1 п — !ос хи — 1 хп Найти 1пя уп, если: и — !се х! +хо — 2 уп = хп 2хп — 1, 1) уп =; 2) у„ хп — 2 .) ~п Зхп+ 2 4 уп — — '" 30.
Найти )ш! хп, если: 2п'е -Ь Зи ' 5 - 2п — 3. бил' 2п -!- Зп ' ' 100 2п -1- 2 5п ' ) 5п ( Цп ! бпс! 1 1 аи п п — и 2п; — 3 3) хп сс 2 "— Зи' 37. Верно ли, что: 1) если и-„' — ! аз, то ап — 1 а; 2) если аз — ~ аз, то ап — ~ аГ 38. Последовательность 1х„) имеет конечный предел а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
