1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если 1пп 1(х) = оо или и — «о«о — О 1пп Д(х) = со« к — «гомо (2) то прямую х = хо называют вертикальной асимптатой графика функции Д(х). Например, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графиков функции 1/х и 1пх, так как 1цп (11«х) = со и — «о и 1цп 1пх = — оо. График функции Сбх имеет бесконечно много г -«.~-а вертикальных асимптот«а именно, каждая прямая х = кг«2+ ко, н б л, является асимптотой. Выделение главной части бывает полезно и тогда, когда 1цп )'(х) = оо или 1пп 1(х) = со. и — «го — О г — «и««-ьо Если в зтих случаях 1(х) = д(х) + о(1) при х — г хо — 0 (или т, — > хо+ 0), то график функции Г(х) "схож" с графиком функции д(х). Прямую д = йх + Ь называют асимптатой графика функции д = = 1(х), х б (а;+ос), при х — ь +со, сели 1пп (1(х) — (Ьх+ Ь)) = О. (3) Прямую у = Ьх + Ь называют асимптотой графика функции у = Д(х), х Е (-оо;а), при х -ь -оо, если 1ш«( г" (х) — (Ьх + 6) ) = О.
(4) Если Ь ф О, то асимптоту у = Ьх+ Ь называют наклонной. Если Ь = О, то асимптоту д = 6 называют горизонтальной. Для того чтобы прямая у = Ьх + 6 была асимптотой графика функции д = Д(х) при х г +со (при х — > — оо), необходимо и достаточно, чтобы, Г'(х) . 1(х) 11«п = 6 ~ 1«сп — — 6) (5) П (у(х) — Ьх) = Ь ( 1пп (Дх) — Ьх) = Ь). (О) В случае горизонтальной асимптоты (6 = 0) вместо (5) и (6) имеем: для того чтобы прямая у = Ь была горизонтальной асимптотой графика фушсции у = 7(х) при х — г +ос (при х — ь — оо), необходимо и достаточно, чтобы 1нп Д(х) = 6 ( 1нп Д(х) = Ь). (7) Примерами функций, графики которых имеют горизонтальные асимптоты, являются функции агссях и агсссйх (см.
рис. 7.6, 7.7). Гл. 2. Предел и непрерывность функции или 1ип х(1) = хо, 1пп у(1) = со, е — е †,-о ' е †ее или 1!ш х(1) = хо, !!ш у(е) = ж. (10) е-е — о Š— ее — О Прямую у = Ь называют горизонтальной асилептотой кривой х = = х(1), у = у(1) при х -+ +со, если существует такое а (число, +со или — со), что 1ипх(1) =+со, 1пп у(1) = Ь, С вЂ” ее е †(11) или 1пп х(1) = +со, 1пп у(1) = Ь, е — е — о е-ее — о (12) или 1пп х(1) = +со, !1ш у(!) = Ь. (13) е — еез-о е — еа-Ьо Прямую у = Ьх + Ь, Ь ф О, называют наклонной асилеитотой кри- вой х = т(1), у = уЯ при х е +со, если существует такое а (число, +со или — оо), что 1ппх(1) =+со, 1ппу(т) = со, (14) е вЂ С вЂ 1шг У =Ь, е-ее х(г) 1пгг(у(г) — Йх(1)) = Ь, (16) или условии (14) -(16) выполнены при 1-+ а — О, или условия (14)- (16) выполнены при ! — ~ а+ О.
Аналогично даются определения асимптот при х — > — оо. В полярных координатах прямая, задаваемая уравнением г= ., ЫфО, е!п(ег — ре) ' является асимптотой графика функции г = г(~р), если выполнены (15) 1ип Доз) = +со, (17) Ф-ееа !нп г(р)з!п(у — ~ро) = г1. (18) е-еее Эта прямая удалена от центра на расстояние ф; перпендикуляр, опущенный из центра на прямую, составляет с полярным лучом угол., График функции агссбх имеет горизонтальную асимптоту у = и/2 при х — г +со (горизонтальную асимптоту у = — л/2 при х — > — со).
При построении кривых, заданных параметрически, также используется понятие асимптоты. Прямую х = хо называют вертикальной асилттотой кривой х = х(0), у = 1з(1), если существует такое а (число, +со или — оо), что 1!ш х(1) = хо, 1пп у(1) = оо, (8) у11. Ааимптоты и графики функяий 225 равный У!о + —, а!Ип а.
2' Если наряду с условием (17) вместо (18) выполнено условие (19) 1пп г(р)вш(ч! — !ро) = О, !г-!уо то асимптотой графика функции г = г(!р) является прямая, проходящая через центр и содержащая луч у! = у!о. При исследовании и построении кривой, заданной уравнением Е(л, .у) = О, иногда удается представить кривую или ее часть как график функции у = Дл) (эта функция удовлетворяет равенству Г(х,1(л)) = 0) или как график функции г = г(ч!) в полярных координатах (эта функция удовлетворяет равенству г'(г(!р) сов!р, г(Д х х зш;р) = 0).
Иногда же бывает возможным задать кривую параметрически. В этих случаях для исследонания и построения кривой можно применить указанные метод выделения главной части и приемы нахождения асимптот (пример 3, 3), пример 5). Алгебраической кривой и-й степени называют кривую, которую в декартовой системе координат можно задать уравнением вида ~ алстгУ = О, (20) где сумма составлена по всем целым Ь и 1 таким., что 0 < 1 < п, 1 + 1 < п, и имеется хотя бы одно ненулевое слагаемое, для которого 1+ 1 = п. Если прямая у = Ьл + Ь --. асимптота алгебраической кривой, то коэффициенты Ь и Ь можно найти следующим путем. Подставим в уравнение (20) у = Ьл+ Ь и в получившемся многочлене относительно л приравняем нулю коэффициенты при двух старших степенях л, коэффициенты Е и 1 являются решениями этой системы из двух уравнений. Если прнмая л = хо - вертикальная асимптота алгебраической кривой, то хо корень мпогочлена относительно а, являющегосн коэффициентом при старшей степени у в уравнении кривой.
ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Найти вертикальные асимптоты графика функции 1 и построить его, если: 1) 1(к) = ; 2) Д(л) = †'; 3) ~(л) = ъ~к! — 1. а Ц Функция определена и непрерывна на интервале ( — 1; Ц. Так как 1пп ~/1 — лз = 1пп Д вЂ” лз = О, и — !1 — в , — — !но Гл. 2. Предел и непрерывность функции 22б то х 11ш, =+со и 1пп, = — са. и-»-о иг1 — хе -ь ее,/~ Следовательно, прямые х = — 1 и х = 1 вертикальные асимптоты графика. Данная функция нечетная. Она строго возрастает на интервале (О;1).
Действительна, если О < х < 1, то /(х) = 1 * е = , ' е - 1, откуда и видно, что при возрастании х от О до 1 функция 1/(1 — тз), а вместе с ней и функция /(х) строго возрастают. Отметим еще, что х/НТ вЂ” хз > > х при х > О. Для того чтобы уточнить вид графика вблизи точки х = О., выделим главную часть функции при х — ь О.
Так как 1ш1 — = 1пп У(х) 1 =1, л — ьа х е — ье ь/) — ххее то /(х)/х = 1+ о(1), откуда /(х) = х+о(х). Это означает, что график данной функции вблизи х = О "похоже на график функции у(х) = х (точки этих графиков, соответствующие значению х. сближаются по вертикали быстрее, чем х убывает). рис. Ыд График функции изображен на рис. 11.1. 2) Функция определена и непрерывна на промежутке (О; Ц, Так как 1 — х 1нп ь/ — =+со, л-ь~-о 1/ х то прямая х = О вертикальная асимптота графика.
Кроме того, /(х) = — ь/1 — х, 1пп т/1 — х = 1. ь/х Для разности /(х) — 1/т/х имеем = о(1) при х — ~ О, 1 — х 1 /Г— х ь/х ь/х Я вЂ” х+ 1 поэтому /(х) = — + о(1). 1 т/х Таким образом, функция 1/т/х являетсн главной частью данной функции /(х) при х -ь +О и, более того, расстояние по вертикали ь ь ьу ь ПГ-. я 1!ее ° ь 211.
Асимитсты и графики функций 227 нулю при х — г +О. Как иногда говорят, график функции 1/1/х является криволинейной асимптотой графика данной функции (рис. 11.2). Используя равенство 1 — х 1 =Я вЂ” х— т т/х 1 и учитывая, что Пгп — = 1, при х — и 1 — О получаем — гг — о игх /(х)/Я вЂ” х = 1/1/х = 1 + о(1), откуда /(х) = уТ вЂ” х+ о(ъ~Т вЂ” х). Следовательно, график данной функции в окрестности точки х = 1 — — О 1 2 З Рис. 11.2 Рис.
11.2 (х ( 1) "схож" с графиком более простой функции т/1 — х (сьь рис. 11.2). Поскольку Дх) = т/1/х — 1, даннан функция, очевидно, убывает на (О;1]. 3) Функция определена и непрерывна на промежутках ( — со:, — 1] и ]1;+со), значит, вертикальных асимптот ее график не имеет. Функция четная. Рассмотрим ее на промежутке ]1;+ос). Здесь функция хг а значит, и функция т/тг — 1, строго возрастает. Используя формулу 7( ) = и* — ~ '7* у 7к ' -'; с и учитывая, что 7.
у Г)( ..г 1) = 2, ; — н-о при х — н 1+ О получаем /(х) = ъ'х — 1(2+ о(1)) = 2~/х — 1+ о(~lх — 1). Следовательно, график данной функции в окрестности точки х = 1 (х ) 1) "схож" с графиком функции 2 тггх, — 1 (рис. 11.3). Кроме того, Гл. 2. Предел и непрерывность функции 228 = — -~-о(ла), а>О, Ь>О. ахе+ Ь Ь Последнее равенство доказывается легко: е хе х- а,х' ахе жЬ Ь Ь(ахе ж Ь) (21) ах Ь(ахе -~- Ь) -ах 3 2 и так как 1пп ь ' = О, то, хь = о(х ), откуда и сло- е-ьо Ь(ахе+ Ь) ' Ь(ахе+ Ь) дуст (21). Используя (21) при а = 3, Ь = 8, получаем равенство г"(х) = — ха — 3+ о(хз), 8 1(х) > 2~~х — 1 при х > 1, т. е. при х ь 1+ О точки графика данной функции приближаются сверху к графику функции у = 2~Гх — 1. Так как с(.)=*'ит:и*', ь нт:и '=ь е — ь-Ь,х то при х — ь +ос получаем 1(х) — х 2 1 ) 2 — 1Й 1 1 =х е 1 — —,— 1~=х = — —, =о(1), У л ~ тес1 — 1~х' + 1 х ф — Цхе + 1 (, —, )= откуда 1(х) = х + о(1).
При этом 1(х) < хз, т. е. точки графика данной функции приближаются к параболе у = хз снизу (рис. 11.3). Я Пример 2. Найти асимптоты графика функции у" и построить его, если: 1) у(х) =,,; 2) у(х) = б(х~ — 4) А Ц Поскольку 1пп, = 2, прямая у = 2 является гое — ьое Зхе -~- 8 ризонтальцой асимптотой графика и при х -+ +со, и при х -э — со. Функция непрерывна па Я, следовательно, вертикальных асимптот ее график пе имеет. Данная фуякпия четная. Из равенства 1(х) = 2— следует, что яа (О;+со) с ростом х значения функции строго возрастают.
Из этого жс равенства видно, что точки графика функции приближаются при х — ь ос к прямой у = 2 снизу (1(х) < 2 для любого х е й). При х = О функция принимает наименьшее значение 1(О) = -3. Для того чтобы уточнить вид графика вблизи точки х = О, представим функцию в виде З(бхе — (Зх~ + 8)) 15хе Зхеж8 Зхе-ь8 и воспользуемся тем, что при х -ь О 211. Агииитоти) и графики функций 220 которое означает, что при х — 1 О график данной функции "схож" с Рис. 11.4 15 параболой у = — хз — 3. График представлен на рис.
11.4. 8 2) Функцин определена всюду, кроме точки х = О. Поскольку ,/Г+ хг г)(о х г) — 0 х прямая х = О вертикальная асимптота графика. Далее, Л+ хг 1пп =1, 1цп г — )г-х: х г — ) — сс х поэтому р = 1 горизонтальная асимптота при х -++со, а р = — 1 горизонтальная асимптота при х -1 -со. Поскольку ~ъ'Г+ хз,(х~ > > 1 при х ф О, точки графика при х — 1 +со приближаются сверху к прямой у = 1, а при х — 1 †— снизу к прямой р = — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
