1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Справедлива более общая 4) Теорема (Г. Кантор). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем. Компакт в 17 это ограниченное, замкнутое (см. задачу 94, 2 10) лзножество. 5) Пусть д . — произвольное положительное число. Модулем непрерывности функции 1 на множестве Х С 17(1) называют ы(д; 1'; Х) = вир (1'(х') — 1" (хв)), х' с Х, хв с Х, )м — в" ~<6 гдо верхняя грань берется по всем парам точек х' и хв из Л, расстояние между которыми не больше д.
Этому определению равносильно следующее определение: ы(б;1';Л) = апр 11(х') — 1'(хв)~, х' Е Х, тв Е Х. (х' — х" (<6 Модуль непрерывности для краткости обозначают также вз(5;1) или из(б), если ясно, о каких Х и 1 идет речь. Модуль непрерывности для каждого б может быть как числом, так и +со. В этом смысле лводуль непрерывности определен для любого б>0. Теорема.
1(ля того чтобы функция Г была равнолберно непрерывна на множестве Л', необходил~о и достаточно, чтобы для некоторого Бо > 0 ее модуль непрерывности вз® был числом для каждого д Е (О: бо) и чтобы 1ппы(б) = О. 6-вв ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Доказать, что функция д = в1п х равномерно непрерывна на Й. А Пусть х', хв — произвольные числа; оценим модуль разности: ! в ! в ~в1пх' — в1пх"( = 2в1п ' сов < ~х' — хв~, (1) 2 2 так как сое х' -1-х < 1. 2 е1п Гл.2. Предел и непрерывность функции Пусть е произвольное положительное число. Возьмем б = е, тогда для любых х' Е Я, хи Е й из неравенства ]х' — хи] < б в си- лу (1) следует неравенство ]а1пх' — зьпхи] < б = е.
Таким образом, функция д = а1п т, равномерно непрерывна Я. А Приллер 2. Доказать, что функция д = 1/х: 1) равномерно не- прерывна на любом промежутке [а;+со), где а > 0; 2) не явлнется равномерно непрерывной на любом промежутке [О; а]. а 1) Пусть х', хи Е [а;+со), а > 0; тогда 1 1 ]х — х ] 1 у и — — — < —,]х' — х ], х' хп хм хп ое так как х' > а > О, хн > а > О. Пусть е произвольное положитель- ное число; возьмем б = а-'е, тогда для любых х', хи из [а;+со) из неравенства ]х' — хи] < б следует, что 1 1 1 — — — < —,,б=е.
х' хп ае Это и означает равномерную непрерынность функции 1/х на проме- жутке [а; +со), а > О. 2) Пусть х', хи Е [О; а], где а > О. Из равенства ]х' — *и] х' хи х'хи видно, что величина ]1/х' — 1/хо] будет расти, если при сколь угодно малой, но фиксированной разнице ]х' — хи] приближать меньшее из чисел х' или хн к нулю.
Возьмем хи = х'/2; тогда ]х' — хн] = х'/2, 1 1 1 х' хн х' ТаккакО<х'<а, то 1 1 — — — > а. Р, и Чтобы удовлетворить неравенствам х' < а и ]х' — х" ] = х'/2 < б, достаточно взять х' = ба/[б -ь а). Итак, возьмем е = а и для произвольного положительного числа б возьмем х' = ба/(б+а), хи = = ба/2(б -ь а). Тогда и бо ~ 1 1 ] — х ]= <б, а ] — — — >а=а. 2(бфа) ' ]х' хн Следовательно, функция д = 1/х не является равномерно непрерывной на [О;а]. а При мер 3. Доказать, что функция д =,/х равномерно непрерывна на [О;+ос). а Функция д =,/х непрерывна на [О;+ос), в том числе и на [О; 2].
Значит, по теореме Кантора, она равномерно непрерывна на [О;2]. 912. Равнонерная непрерывность функции 249 Докажем, что данная функция равномерно непрерывна на [1:+со). Пусть:е', хн Е [1;+со); тогда ! о Дли произвольного е > 0 возьмем б = 2е, тогда для любых х', хо е Е [1:-Ьоо) из неравенства ]х' — хо] < д следует неравенство [ъй'— — ъгхо] < О,бб = е. Значит, фУнкциЯ д = ъ/х РавномеРно нспРеРывпа па [1;+со). Докажем, что эта функция равномерно непрерывна на всем промежутке [О; +со).
Пусть в --- произвольное положительное число. В силу равномерной непрерывности на [О;2] Лб1 > 0 Чх' б [О; 2] Чхо б [О; 2] []х' — хо] < б1 =э [ъ/ад — ъ'Р] < е), [2) а в силу равномерной непрерывности на [1:+ос) Лбз > 0 Чх Е [1;+со] Чх Е [1;+ос] []х — х [ < ба =~ [ъ/х~ — ъ/Р] < е).
[3) Возьмем за б наименьшее из трех чисел бы бз и 1, т. е. б = = ш1п1бг,бз. Ц. Тогда для любых х',хо й (О;+ос) из неравенства ]х' — хо] < б будет, во-первых, следовать [так как б < 1), что х' и хи оба принадлежат либо [О; 2], либо [1;+со), а во-вторых, отсюда в силу либо [2), либо [3) будет следовать, что ]ъ'х' — ъ~ Р[ < е, Значит, функция д = ъГх равномерно непрерывна на [О; +ос). А Пример 4. Найти на [О;+со) модули непрерывности функций и исследовать с их помощью заданные функции на равномерную непрерывноствн 1) д = ъ/х; 2) д = в1п[1/х); 3) д = 1/ъгх. а 1) Пусть б > О, х', хо Е [О;+ос), [х' — хо] ( б. Положим для определенности х' > х", т, е, х' = хо + Ьх, где 0 < Ьх ( б. Тогда при любом хо > 0 имеем ]ъ х' — ъ'ха] = ъгР+Ьх — ъгР < ъ'хо + б — ъ х", а б б ъ'Р ц- б — ъгР = < — = ъЯ, Б" + б+ ан ъб так как ъ/х" + б + ъгхо > ъ/б. Итак, ]ъгх' — ъх~ко[ < Л при ]х' — хн] < < б, значит, и оо[б) = апр ]ъ'х' — ъ/хов] < ъ/б.
!е' — ы'(<б В то же время при х' = хо + б 1пп [ъхо+ б — ъ/хо) = Л, е" -эе поэтому ~о[б) > ъгб. Отсюда и из предыдущего следует, что ы[б) = у'б, б > О. Поскольку 1пп ы[б) = 11щ ъЯ= О, з-эц-о з-~ц-о 212. Равномерная непрерывность функции 25! 2. Доказать, что функция не является равномерно непрерывной на множестве Х: 1) у = соа[11гх), Х = [О; 1): 2) д = яп ха, х = 17; 3) гу = хз, Х = Я; 4) д = 1и х, Х = [О; 1). Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множестве Х [3, 4).
3. 1) у = е ""'"' Х = [ — 1 Ц 2) у = агглй ( ), Х = [О: 10]; 3) у = зггх, Х = 17: !/хе +Те [япх[ 4) у = е', Х = Я; 5) у = с!6 х, Х = [О: 1); 6) у= ', Х=[ — 1;1); 7) у=аштггх, Х=[1;+со); 2 9) д = хяп[11х), Х = [Ог Рсо). ). +1, х<0, 2) у=соахсоа —, Х=[0;1); 3) у=, Х=[Огя); 4) у = х + яп х, Х = 17; 5) у = х соа т,, Х = 17; 6) У = вш[1ггх), Х = [0,01; +ос); 7) у = из при 2п < х < 2п+1, и 6 г!1, .Х --. это объединение всех отрезков [2п;2!!+ 1), гг, 6 г"1; 8) у =, Х = [-я; 0) г1 [О; гг).
5. Функция 7" удовлетворяет на множестве Х следующему условию: существуют числа й > 0 и о > 0 такие, что для любых х! и хз из Х верно неравенство [7'[х!) — 7'[хз)[ < И[х! — х [ [при о = 1 это условие называют условием Лип!пипа, при о < 1 условием Гельдера порядка о).
Доказать, что функция, удовлетворяющая этому условию, равномерно непрерывна на множестве Х. 6. Доказать, что если функция равномерно непрерывна на промежутке, то она и непрерывна на этом промежутке. 7. Доказать, что если функция неограниченна на ограниченном интервале, то она не является равномерно непрерывной на этом интервале. 8. Привести пример функции: 1) ограниченной и непрерывной на ограниченном интервале, но не являющейся равномерно непрерывной на нем; 2) непрерывной на замкнутом [см. задачу 94, 2 10) множестве и Гл. 2.
Предел и непрерывность фунннии не являющейся равномерно непрерывной на нем. 9. 1) Доказать, что если функция Г" равномерно непрерывна на ограниченном множестве, то она ограниченна на этом множестве. 2) Привести пример функции, равномерно непрерывной на множестве и неограниченной на этом множестве. 10.
Нарисовать график модуля непрерывности щ(6) функции 1 на множестве Л, если: 1) ('(х) = 1 — 2х, Х = й; 2) ((х) = [х[, Х = Я; 3) д"(х) = х, Х = [ — 2; — Ц 0 [1, :2[; 4) д"(х) = — ([х + а[ — [х — а[), а > О, Х = Я; 1 5) ~(х) = х', Х = [О,:1[; 6) ((х) = Е(х), х б й. 11. Найти модуль непрерывности функции 1 на множестве Х и, используя его, установить равномерную непрерывность функции, если; 1) д'(х) = 2х — 1, Х = й; 2) т"(х) = хз., Х = [ — а;а[, а > 0; 3) 1(х) = 1/х, Х = [а;+со), а > 0; 4) 1(х) = сон х, Х = й; 5) д(х) = 1п х, Х = [1;+ос). 12. Доказать, что для любого 6 > 0 щ(6; 1; Х) = +со,. если; 1) 1(х) = хз, Х = Я; 2) 1(х) = 1/х~, Л = (О; 1).
13. 1) Привести пример функции, модуль непрерывности щ(6) которой удовлетворяет условию щ(+0) = е > О, где е --. данное число. 2) Привести пример неограниченной на промежутке функции, у которой модуль непрерывности со(6) на этом промежутке удовлетворяет условию щ(6) < +ос для любого б > О. 14. Пусть щ(б) модуль непрерывности функции 1 на множестве Х. 1) Доказать, что если 61 < 6з, то щ(бь) < ы(бз). 2) Доказать, что если ( ограниченна на Х, то ы(6) < +со для любого 6 > О. 3) Доказать, что если множество Х ограниченно, а функция 1 неограниченна на Х, то ы(б) = +со для любого 6 > О. 4) Доказать, что если со(бе) число для некоторого бо, то и для каждого 6, 0 < б < 6о, щ(б) число, т.
е. ы(6) функция на (О; 6о), и существует Ппь ы(6) = ог(+0). ь — ь-ьо 5) Доказать, что если Х промежуток, то для любых 61 > О, 6з>0 ы(бь + бз) < со(61) + и~(6е). 6) Доказать, что если Х - - промежуток и щ(6о) = +ос длн некоторого 6о, то оо(6) = +сю для любого 6 > О. у 12. Равномерная непрерывность 4уннции 7) Привести пример функции, у которой со(б) = Ь при О < Ь < 1; ы(б) = +со при б > 1. 15.
Доказать, что для любого е > 0 существует Ь такое, что для любых ты тз Е РЦ) из неравенства [вь — хз] < Ь следует неравенство ]1 (ть) 1 (лз)[ < ьо(+0) + е. 16. Доказать, что если функции г" равномерно непрерывна на множестве Х, а У 6 Х, то Г" равномерно непрерывна и на множестве К 17. Функция 7" равномерно непрерывна на отрезках [а; 6] и [Ь;с]. Доказать, что она равномерно непрерывна и на отрезке [а; с].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
