1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 45
Текст из файла (страница 45)
18. Привести пример функции, равномерно непрерывной на отрезке [а; 6] и на полуинтервале (Ь:с] и не являющейся равноеиерно непрерывной на отрезке [а;с]. 19. Доказать, что если функции Г" и д равномерно непрерывны на множество Х, то длп любых сх,,д Е Й функция сьу" -Ь Дд равномерно непрерывна на Х. 20.
1) Доказать, что если функции 1 и д ограниченны и равномерно непрерывны на [а;+ос), то и их произведение 1д — - равномерно непрерывная функция на [а; +ос). 2) Привести пример равномерно непрерывных па [а; +со) функций, произведение которых не является равномерно непрерывной па [а;+ос) функцией. 3) Доказать, что если функции г и д равномерно непрерывны на ограниченном множестве, то их произведение 7д — равномерно непрерывная функция на этом множестве. 21. Доказать, что непрерывная периодическая функция равномерно непрерывна. 22.
Функция г" равномерно непрерывна на [а;+сю). Доказать, что выполнено одно из трех условий: либо 1(л) ограниченна на [а;+со), либо 1пп г'(х) = +ос, либо 1пп г'(в) = — со. е — ь-Ьос е — ь-~-ос 23. Функция Г" непрерывна на [а;+ж) и существует (конечный) 1пп г(х). Доказать, что 1 равномерно непрерывна на [а;-~-оо). 24.
Доказать, .что ограниченная, монотонная, непрерывная на интервале функция равномерно непрерывна на этом интервале (конечном или бесконечноле). 25. Доказать, что для равномерной непрерывности функции на ограниченном интервале (а;Ь) необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна на (а;6) и чтобы существовали пределы !пп г'(х) и 1пп г" (т). е — ьа-~-В е — ьь — в 26. Доказать., что для того., чтобы функцию г', определенную и Гл.
М. Предел и непрерывность функции непрерывную на интервале (а; 6), можно было продолжить как непрерывную функцию на отрезок [а; 6], необходимо и достаточно, чтобы функция ~ была равномерно непрерывна на интервале (сс; Ь). 27. Доказать, что если функция Г' равномерно непрерывна на интервале (а; Ь), то ее можно продолекить как непрерывную функции> на всю числовую прямую Я, т. е. существует непрерывная функция Е(х), определенная на й, такая, что Е(х) = Г(х) для любого х ~ (а; Ь).
28. Функция 1 равномерно непрерывна на Я. Доказать, что существуют числа а > О, Ь > 0 такие, что (Д(х)( < а(х(+ Ь для любого хи н'. 29. Непрерывная на отрезке (а; Ь] функция Г' называется кусочно линейной, если существует разбиение отрезка (а; 6] точками хо, хы ... .... хи такое, что а=хо<х1«...х,«...хп 1<хи=6, и функция ф лннейна на каждом отрезке (х, Ы х,], 1 = 1, 2, ..., и (т, е. 1(х) = а,т+ 6,). Доказать, что всякая непрерывная на отрезке (а; 6] функция Р может быть с любой точностью аппроксимирована кусочно линейной функцией, т.
е. для любого е > 0 существует такая кусочно линейная функция 1, что для всех х Е (а; Ь] верно неравенство ]1(х) — р (х)( < в 30. Для функции Е подобрать кусочно линейную функцию Г' так, чтобы для всех х Е [а; 6] было выполнено неравенство (Р(х) — г" (х)] < < 0,1: 1) Г(х) = х' (а: 6] = ( — 1 1]: 2) Ь"(х) = 1/х, [а:Ь] = [2/3;2]. 31. Найти такую кусочно линейную на отрезке (О;100] функ- цию Г", что для всех х е (О; 100] верно неравенство ]2 ' — г"(х)( < 1/4. 32. Функци|о (, непрерывную на П, называют кусочно линейной на П, если существуют такие числа а и Ь, а < Ь, что функция г" линейна на промежутках ( — оо; а], [Ь;+~к) и кусочно линейна на [а; 6].
Доказать, что, каково бы ни было число в, не существует кусочно линейной на й функции Г", дли которой (хз — Г" (х)] < 1 для всех х Е й. 33. Доказать, что всякая кусочно линейная функция может быть задана формулой 1" (х) = а+ ~ а;(х — хе(, 34. Найти формулу, указанную в предыдущей задаче, для кусочно линейной на отрезке функции 1, если: 4 те. Равномерная непрерывность сбуннции 255 х+4, 1) г"(х) = 2 — х, х~ 2х+ 3, 2) г"(х) = 4, — 3<х( — 1, -1 <х <1, 1<х<3; -2 < х < О, 0<х<1, 1<х<3, 3 <х< 5; Доказать, что ни при каком а не существует кусочно линейной на [ — 1/л;1/л) функции д такой, что [1'(х) — д(х)[ < 1/2 для любого х Е [-1/л;1/л). 37.
Сформулировать в позитивной форме утверждение, что функция, определенная на отрезке, нс может быть аппроксимирована с любой точностью кусочно линейной функцией. 38. Доказать, что если функция г" опредолена, но разрывна на отрезке [а; 5), то ее нельзя аппроксимировать с любой точностью кусочно линейной функцией. 39. Доказать, что если функцию г" на промежутке можно аппроксимировать с любой точностью кусочно линейной функцией, то Г' равномерно непрерывна на атом промежутке. 40. Доказать, что если функцию г' на промежутке [с;+ос) можно аппроксимировать с любой степенью точности кусочно линейной функцией, то Г имеет асимптоту при х ь +со (функция кусочно линейна на [с;+со), если она непрерывна на [с;+ос), линейна на [аь, +со) при некотором д > с и кусочно лнпейна на [с; с()).
ОТВЕТЫ 3. Равномерно непрерывными являются функции: 1), 2), 3), 6), 7), 8), 9). 4. Равномерно непрерывными являются функции: 1), 3), 4), 6), 7). 10. Ц ы(б) = 2б; 2) ьо(б) = б; 3) если 0<б<1 или 2<5<4, то ьо(б) =б, если 1<б<2, то о~(б) = 1, если б > 4, то ы(б) = 4, 4) если 0 < б < 2а, то ы(б) = б/а, если 2а < б, то ы(б) = 2; 5) ьо(б) = б(бз — 35 + 3); 6) ьо(б) = — Е( — б). 3) у(0) = 1, .1(1) = — 1, У(3) = 2, 1(4) = — 4, 7" (6) = О, где (0,1, 3,4,6) . разбиение отрезка [О;6].
35. Доказать, что кусочно линейная на й функция равноьиерно непрерывна на Й. 1 зуп(1/х), х ф О, [х[ ( 1/л, 1а., х=О. 266 Гл. 2. Предел и ненрерььенееть функции 11. 1) ьл(д) = 2д; 2) если д > а, то ыЯ = ае, если О < б < а, то ьи(б) = б(2а — д); 3) ю(д) = д/а(а+ д):, 4) если д > н, то ьи(д) = 2, если д < х, то ьи(б) = 2 61п(д/2); 5) ы(д) = 1п(1+ б). 30.
Ц Например, у = — (9,1х+ 3,1)/6, если — 1 < х < — 0,4; у = = 0,09, если ~х~ < 0,4, у = (9,1х — 3,1)/6, если 0,4 < х < 1; 2) Например, у = 2,45 — 1,5 х, если 2/3 < х < 1, у = 1,45 — 0,5 х, если 1<х<2. 31. Например, у = (8 — 3 х)/8, если 0 < х < 2; у = (100 — х)/392, если 2 < х < 100. 34. Ц Дх) = — 1+ (х+ 3! — )х+ Ц + )х — 1); 2) /(х) = 3/2+ (х + 2! — (3/2)(х! + )х — Ц вЂ” )х — 3)/2:, 3) /(х) = — 11/2+ (7)х — 1!)/4 — (15)х — 3/)/4+ 4)х — 4/.
ГЛАВА 3 ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ у 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Определение производной. Предел отношения Пхд + Ах) — йхд) дхх при Ах — > О называется производной функции Р!х) в точке хо. Этот предел обозначают одним из следующих символов; ад(хд) Таким образом, з (хд -!- Ах) — з (хд) ф !хо) = ))ш ь -о ддх Если в каждой точке х Е (а; Ь) существует !пп Пх+~1 ) — Пх) ах — зо Ах т. е.
если производная 1'(х) существует для всех х Е (а;. Ь), то функция 1 называется диффервнцирувл~ой ка интервале (а: Ь). Вычисление производной называют дифференцированием. 2. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функцинми. Если функции 1ы 1д, ..., 1„имеют пРоизводные в некотоРой точке, то фУнкциЯ ~ = сз~1 + са 6 + ... + ся~„(си се, ..., с„--. постоянные) также имеет в атой точке производную, причем ф = сззз + сззз + "+ сязп' Если функции ~з и !"д име|от производные в некоторой точке, то и функция З' = !пфл имеет производную в этой точке, причем Г =ЛА+ЛЛ Если функции ~1 и ф имеют производные в некоторой точке и !д ~ О в ней, то функция ! = )з,~Дд также имеет производную в этой точке, причем У Ь1' — ДА 17 Пад рвд. Л.д.Кудрявцева, т.
! Гл. Ю. Производная и дифференциал 3. Формулы для производных основных элементарных функций. 1) Степенная функциа: с'=О, с=сопг1, (х ) =ох ~, х>О, оеЯ. Область существования производной функции х" может быть и шире. Например, если о Е И, то (х")' = "-', * ~ Я. 2) Показательная функция. Если а > О и а ф 1, то (а")' = а'1па, х с Я; в частности, ,л ° ! л 3) Погарифлсическая функция. Если а > О и а ~ 1, то (1оя,:т)' =, х > О; (1ой, ~х0' =, х ~ О; в частности, (1пх)' = 1/х, х > О; (1и ~х0' = 1/х, х ~ О. 4) Тригонометрические функции: (сбпх) = соах, х Е Я; (соах) = — з1пх, х Е Я; (тях)' =,, х ~ — (2п+1), п Е л; сове х' 2 (с1йх) = —,, хф лп, об У. ! сцпг х 5) Обратные тригонометрические функции: (агсашт)' =,, ~х( < 1: (агссоах)' = —, ~х~ < 1; ч'1 — хг (агс16х) =,, х Е Я; (агсс16х) = —,, х Е Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
