1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для дифференцируемой функции у = д(х), заданных неявно, вычислить у'(хо): 1) ха+уз — Ох+ 10у — 2 = О, у > — 5, хо — — О; 2) 6ху + 8дз — 12х — 26д + 11 = О, д < 2, хо = 117'12; 3) е" + ху = е, д > О, хо = 0; 4) ху + 1п д = 1 д < ез хо = О. 209. Найти А(хо) и гл(Ьх) в формуле (5), если: 1) у=хз 2х, хо=1; 2) у=хго хо=О. 210.
Найти разность между приращением и дифференциалом функции д = (х — 1) . 211. При каких значениях х дифференциал функции у = сов х не эквивалентен при дтх — > О ее приращеггиюГ 212. Какой порядок при Ьх — г О имеет бесконечно малая Лгд — г1у, если у = хз — ЗхГ 213. Найти дифференциал: 1) )7(е + 1пх): 2) г7( /х+ 2зух+,/х); 3) )1(2ъгхз(31пх — 2))) 4)з) .*); ))з)) Г+2~ .г 2) ..— 1); г) ы(ге'( — *) ~ге) "( — *)); г) з(" к" .~).)Г '); 8) Н(1п ' +2агсг8х7в1пх)) 9) г1(хд ).
1 — ага))) х 214. Найти дифференциал в указанных точках; /1 х — 11 1г) х 1 1 ) г1 ( — + 1п ), х = — 1: 2 ) аг агсз8 — , х г = †, хг = е; х х Р' х е 3) г1(,, ), х = 0; 4) д(х, ), х) = 1, хз = 2. 215. В указанных точках найти дифференциал функции у = д(х), заданной неявным или параметрическими уравнениями: 1) уз — у = 6х'-', (1;2); 2) хе+ ул — 8хз — 10уз+16 = О, (1;3); 3) Уз + хл = хд', (хо; Уо); 4) х;- У 1п д = О, (хо,' Уо); 5) ху — ~зйуз + 6 = О, (2; 1); 6) хе)л)" г) — 2у = О, (4; 2); 7) 3"аяа — Зх(у — -г) — 1 = О, (1;)г); 8) гну ) ГО7).
г) = О. )10); 9) х = (1 — 1)'(1 — 2), д = (1 — 1)з(1 — 3), (4; О):, 10) х = е)7)1, у = (1 — Цзе', ( — 2/х/е: 97(4х))е)). 216. В точке (О; а) найти дифференциал функции у = у(х), за- данной в полнрной систсн|с координат уравнением г = а(1+ совр), 0 < )р < гг. 217. Найти дифференциал функции у, считая известными диф- ференциалы функций и и и: 1) у = или: 2) у = изг)и; 3) д = ии)(ггз + из); 4) д = е"', 41о. Производная. дифференциал функции 277 5) у = т'аз а+ с'; 6) у = !и ся (с/и); 7) у = и".
218. Заменнн приращение функции дифференциалом, найти приближенное значение функции у = у(х) в указанных точках: 1) у = з/х, а) т = 65, б) х = 125,1324; 2) у = 67х, а) х = 90, б) х = 15,8: 3) р = япх, а) х = 29', б) х = 359'! 4) у = !8х, х = 44'50'! 5) у = агсзш х, л = 0,51: 6) у = асс!8 х, х = 1,05: 7) у =!и еях, т = 47'15'! 8) у = *., х = 0,15. ч 2жх' 219. Доказать, что для всех малых по сравнению с хо значений ллх верна приближенная формула т~/то + Ьх ухо о+ ~ Ьх, хо > О. нхо С помощью этой формулы приближенно вычислить: 1) л/640; 2) 1/200; 3) ф2443.45; 4) '#000. 220. Определить, на сьолысо приблизительно увеличится объем шара, если его радиус Я = 15 см увеличить на 0,2 см.
221. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила 1%. 222. На сколько приблизительно изменится (в процентах) сила тока в проводнике, если его сопротивление увеличится на 1%Г 223. На сколько приблизительно следует изменить длину маятника ! = 20 см, чтобы период колебаний маятника увеличилсн на 0,05 сГ Период Т определяется формулой Т = 2яф/д.
ОТВЕТЫ 1. 1) 0,2: 2) 0; 3) 1; 4) — 1. 2. 1) Зхз+ 2х, х Е Й; 2) — 1/хз, х ф 0; 3) 1/(2х/х), х > 0; 4) (4/3) фх, т Е Й; 5) — 2х/(1+ ха)л, х Е й; 6) 2а ь7 !п2, х Е й; 7) 1/х, х>0; 8) 2соз2х, х6Й; 9) — 1/япзх, хфкд, ЙЕ2; ГО) 1/Л:Р, ~х~ <1; Г1) -3/Л:9хз, ~ ~ <1/3; 12) 7/(ха + 2х+ 2), х Е й. 3. Зхз+2х+1, х Е Й. 4. Захе+ 2дх+с, х Е Й. 5 91(хгз — х з), т ф О. 6. — !пЗ/х'-', х ф О. 7 — 2ат з — Зде' е — 4сх в, х ф О. 8. 1/(2х/хх) + 1/(Зт/ха) -!- 1/(4т/хзз) х > 0 9. т/хез з— 2х з — 2х з, х у- 'О. 10. (11хл х/ха + 22хв тз/хх)/3, х Е Й. 11.
т/5(хна+о, нн)/х, х>0. 12. (аг! — Ъс)/(ох+а)-', хф — Н/с. 13. (6хз + 2х — 41)/(ха + т+ 7)7, х Е й. 14. (6 — хз/ха)/(6т/х(2+ ъ'тл)а), т > О. 278 Гл. д. Производная и дгзфференциал 15. о(совх — хе!пх), х Е Й. 16. Фцх+ (х+ 1)/(совах), х ф (тг/2)(21+ 1), Й б л. 17. 2хслцх — ха/84п х, х у'= лй, й б л. 18. (тсовх — 8!пх)/ха, если х ф 0; у'(0) = О.
19. сов х/(2игх 84п х) — иГх/8!п х, х > О, х ф тй, й Е Р4. 20. 2(совх — вшх) з, х ф л/4-Г-згй, й Е У. 21. 1. 22. пхсс4пх+ зз/уТ вЂ” х'-', ~х~ < 1. 23. 2 асс!8х/(1+ ха), х б !7 24. — а/(2уТ вЂ” ха агсв!пах), !х~ < 1, х ф О. 25. (3/х) + (3/х)а + (3/х)а, х > О. 26. — (иГ2) — — (з/55) е, х Е Я.
27. (х~ — 5х+ 1)е~, х Е Й 28. (!п2 !п!х!+ — )2', х у'= О. 29. (!о8ах+ )е', х > О. 1 г'!пх!одах !и х !одз х 1 30. — ( Зз +!одах!одах+ 8з ), х > О. х(, !п2 !пЗ )' 31. —, х > О, х ф 1. 32., х > О, х ф 1 х !и х !о87 х !пх !о8ех 33. (1/~(~ — ха — ахсг4пх)е ', !х~ < 1. 34. (аа+ 5~)е"ив!пЬх, х Е Й. 35. с!72х, х Е Я. 36. О.
37. (1 — Зс!з~х)/с!зах, х Е й. 38. +, х > О. 39. 2. 40. (а — Ь)(а — с). хсг!гх сузх ' 41. 1/(а — Ь). 42. аЬ(а+ Ь+ 2). 43. у'(0) = — 1985), у'(1985) = 1985!. 44. О. 45. 1. 46. а+в!. 47. зг/2. 48. 1. 49. е. 50. О. 51. (Зев+ е з)/2 52 30(Зх — 7)е 53 ха/(1 — х)гоо 54. аЬ(а+ Ьх)а 55. — 0,64(2 сов(8х+ 5) — 384п0,8х)(28ш(8х+ 5) + О,3сов0,8х).
56. 84пхе!гг(х+ 3). 57. а(асовх+ Ьвшх)а г( — ас4пх+ Ьсовх) 58. Ае " '(из сов(озх+ о) — йа 8!п(изх+ о)). 6(х — Ц 1 1З! 1+4з/х +1 х зги + — 1 . 60. 2 '2!+ Ъ +1 61.. 62. г 1 и!2*!' '~/(В С 7аигз ад — Ьс „ах+ Ь 64 2х и(ах з- Ь)(ех -н И) !Г ех -!- д 1 1 . 1 Г х !а2хл 66. —,, х ф а. 67. —,, 8ш —. 68. -2(,, +, ). 4 йгхз хе х ~ с4пз х сове 2х ) 69. — 4со88х, х ф': — + — й, х ф — + — й, х у'. -— й, й Е Е.
8 4 ' 4 2 ' 2 70. — хе ' га. 71. 2!п2 со82х. 2""". 72. 5/(ха+ 13ха+ 36) х — 1 г 73. — сов 2х. 74. я" -еЛ+ ми' ° 413. Лроизеоднан. Дифференциал функции 279 2х агсснх' ! , 12 !об»)(2х -(- 3)' ((1+х()0 х!п(х((2) ' !п2 2х+3 соз 4п !х~ з4п(17' !обз х) 78. ойх.
79. л (х !об~4 т) 4п 2 з! 1 4- (2х Н- )г)' 200 4- 1 83. ) 10'( "з". 84... 85. 4пх !он х 2хз — бх + 7 х» + 1 86. ' . 87.. 88. 2~I с5х с!)2х ' ! — з!) 4х 89. — яп 2х . сов(сов 2х). 90. 4 0 ( — ) збех 7 48 хе ), яп 2:е яп 2хз 91. вшх (и !8х. 92. сов!пх. 93. — псозн 4 х яп(п + 1)х. 94, . 95. ' . 96.
2 !п(2х + н((4хз + 1). (1+ х') з(1+ х'),й' + 1 97. 1, ~х~ < 1. 98. 4х, ~х~ < 1. 99. 12хх — 3, ~х~ < 1. 100. ' ' . 101. — ~ ~ . 102. 1+. 1. ("'+1) (*»+и+О)) 103. 27((2 — Зхз). 104. 20)((х~ + хз — 6). 105. 2()п2)хсовхз.2"и' . 106. — (!оЗ)вш2х.З"' '. 101. — (' 0)((' *). 100. (1 4- х)н((1 — хз яп" х -!-соз'х 109. 1 , х>5. 110 0 ..
х>е. 2 (4п 2)х !и х !и !обз х ' х(!и хз) 4п 4п хз ' 111.,».' 0 1) . 112. )) 07Д» ') . О. 110. 2(0'*. 114. — . 115. 0/2 яп х (2х -!- 1) е 1' 1(е) ' ')0)н(»1'~ ) 110. — 1( .. 111. -* ())( * - 1) . 110. -1*( 119. сов х(( сов вш х. 120. — 4хз(сов х4 + в(п х4)((з(»яп2х4. 121. 4сз8~)((вша х+ 1)з. 122. 2зГ6в(~х((З вЂ” 2 совах). 123 ! 124 2+ 'Ь* 125 ! ' — ! а-Н!)совх 1-)-2с5» 2 ее 4-! соз х — соз о япо ~ созх — сов о~ 1 — соко сон х 127.
„„, (х~ < 1. 128. (1 — хз)(1 — хзсоззо) ' х' — 2»созо+! 129. 4х~Я~ + хз 130.. 131. 1 — з!) »х (хз + а) (х4 + ьз) 132 2ъ(аа — хз 133 — ( ) 134 яп т, е» +3 1 — хе хз — 1 2х»+ бхз+бхе+ бх+ 2 138 3 '+Зх-2 . 139 з1пзх'озх (* — )(' *+ )(' ' Бн*:г 2ВО Гл. з. Производная и дифференциал 166..' . 2 7(12,*). 161..*(12 и ). 142.0, х>0, хр(1. 143. — . 144. —, х>0, хф1. 1 1 х!пи!обгх х 145. 2е(х — е), х > О, х ф 1. 146.
х'е' (1 + 2 !и х). 147. е" х' (1Г(х+!пх). 148. (!п2)2л х*(1+!пх). 149. х' х* '(х !пз х + х !и х + 1). 150. ~ з!(г х!еое'(соа х сти х — яп х !и ~ з!п х!). , „„,3 „. (!иагсяпвшзх яп2х. агг1бт ) 151. (агсвшз!и х)вгг В" 152. (с!гх)' еи(!п сЬх+ тбх). 153. у'(0) = '2, д'(Ц = — 2. 154. 36((72. 155. — ггз !п 2. 156.
— 2ьГЗ. 157. 2/ !и 2. 158. 2((е. 159. О. 160. у'(0) = 2, у'(2) = — 2((5. 161. д'( — 1) = 1, у'(1) = — 1, д'(0) не существует. 162. б. 163. О. 164. О. 165. 2!п2. 166. — (т1,(2) язз(1+!п(х(г(2)). 167. 1) 1; 3; 2) 7Г(11( 3) из(|2, п 6 Е; 4) 1; 2; (5 х т((ГЗ)((б( 5) 0:, б) 7/12. 1 1 168. Е; 2) —; 3) 3* ('(*); 6) 2;Д(х) 3 (х) 28:7-'( ) 1 л'и ( ) .( )2 р . р 6( и ( ) - я )6 (г). " и(е(.)+ '-()) — ' 3) аш 2х(г'(В!(гз з:) — д'(созе х))( 4) (д'(х) !п)(х) + д(х))и(х)/Д(х))О'(х))в(е). 171.
1) бх — 3; 2) Зхз — 30х — 18; 3) бхз. 173.1) о>0( 2) о>1( 3) о>2. 174. 1) о > О, 8 произвольно; 2) о > 1, Д произвольно; 3) о>1, Д(о — 1. 176. 1) а) ге+ )3=1, б) о = 2, Д = — 1: 2) а) о + Д = 11 б) о = Зг(2,,3 = — 1(2; 3) а) 4о+,9 = 1/12, б) а = — (и -1- 2т/3)г(9бгг,,З = (Ззг+ 2и(3)((24л; 4) а) о1 б произвольные числа, б) о = 5(2, б = 9((5. 177.1) о=1, 8=1((2( 2) о=6. 178. 1) о = 1, Д = и,(4; 2) о = 1, Д = (зг — 4)г(4. 179. 1) Дифференцируема всюду, кроме точки х = — 2; 2) дифференцируема всюду, кроме точек х = ггй, й целое; 3) дифференцирусма всюду: 4) диффсренцируема всюду: 5) дифференцируема всюду, кроме точек х = пй, Й целое; б) дифференцируема всюду; 7) дифференцируема всюду, кроме точек х = 2г((2й + 1), й целое; 8) нигде не дифференцируема.
180. 1) Дифференцируема в точке х = О, причем у'(0) = 0; 2) у'(1) = 2, д'( — 1) = — 2. 181. Утверждение неверно. См., например, задачу 179, 7) и 8) р И. Производная. Дифференциал функции 281 182. Ц Утверждение верно; 2) неверно (контрпример: Г' = ~х(, у = — 1х~, х = 0); 3) неверно (контрпример: г = О, у = 1х), х = 0); 4) неверно (контрпример: 7" = )х), у = )х), т, = 0). 187. Ц Утгзерждение неверно (контрпримср; у = хз, х Е ( — 1; Ц); 2) неверно (контрпример: у = х+ зшх, х Е Я); 3) неверно (контрпример: у = х, х Е Й): 4) утверждение верно.
188. Ц Утверждение верно; 2) неверно (контрпример: у = х + 1); 3) верно., 4) верно. 189. Утверждение верно. Обратное утверждение неверно (контр- пример: функция задачи 179, 8), хо произвольно). 190. Ц Утверждение неверно (контрпример: у = тггхо х Е (О: Ц): 2) неверно (контрпример: у = 1ггх+ яп(1г'х), х Е (О; Ц)1 3) неверно (контрпример: у = созхаггх, х Е (1;+ею)); 4) неверно (контрпример: у = зш1пх, х Е (2;+со)). 191. Ц 7' (0) = 1, 7' (0) = — 1; 2) г' (2) = г"' (3) = - 1, Д (2) = г"„' (3) = 1:, 3) г" (Ц = 1п4, г"' (Ц = — 1п4; 4) г"'(2й) =+со, 7'(29 — Ц = — оо; 5) Х+(О) = 1, гл' (О) = — 1, 7' (к/л) = — ос, (~ (кгл) не существует; 6) г"' (2нй) = г"' (, зг) = 7' ((2й+ Цн) = Д ( и) = О, (' (2лй) = г"' ( гг) = 2, (~т((21+ Цгг) = г"' ( зг) = — 2; 7) 7'( ) = — (2й+Ц вЂ”, г"г( )=(2Й-ьЦ вЂ”; 8) г"' ( — Ц = Д (Ц = +гю, г"' ( — Ц и 7" (Ц не существуют; 9) у~ (41л "1 ) уг (2~+1 ) , (41 з- 1 ), (2й -Ь 1 ) 192.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
