1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 51
Текст из файла (страница 51)
4. Написать уравнение касательной к эллипсу †, + †, = 1 в точ- У аз ке (хо;до). 5. Найти точки пересечения с осьиз абсцисс касательных к эллипсам — +'~,, =1 100 Ьз в точках с абсциссой хо. 6. Найти угол между касательными к кривой 2х — 4хд + дз — 2х + бд — 3 = О, проходящими через точку (3; 4). 7.
Написать уравнение нормали к графику функции у = Д(х) в указанной точке: Гл. д. 11рвнвввднан и дифференциал 1) д = сов 2х — 2япх, х = л; 2) у = агсс18(1/х), х = 1 3) д = хз/(2 — х)", х = 6; 4) д = х/;/х+ 1, х = — 3; 5) дз = 2рх, д ) О, х = хо,. 6) х = ез'соазз д = ез'япзй ф ( т/4 1 = т/6. 8. Написать уравнение нормали к эллипсу Зхз + 2ту + 2дз + Зх— — 4у = 0 в точке ( — 2;1).
х д 9. Написать уравнение нормали к гиперболе — — —, = 1 в точа' Оз ке (хо'уо). 10. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке ЛХ: 1) хз+ уз+ 2т — 6 = 0 М( — 1.3). 2) 4хз — Зхуз+бхз — 5ху — 8уз+9х+14 = 0, ЛХ( — 2;3); 3) у4 — 4хв — 6ху = О, ЛХ(1;2); 4) хо+уз — 2ху = О, ЛХ(1;1); и и 5) (4 — х) уз хз, ЛХ(хо; уо); 6) (-) +(-) 2, н Е И, ЛХ(а; 5); 7) х = Сз, у = за, ЛХ(4; 8); 8) х = 1 сов 1, у = 1 яп й ЛХ (: ); З З ...1т~ 2 зз/21 9) х = Г2созз1, у = х/2зьпзг, ЛХ(1/2; 1/2); 10) х = (1+ з)/1~, у = 3/(21 ) + 1/(21), М(2; 2); 11) х = (21 — 1)/1з, у = (Згз — 1)/Хз.
М(1; 2). 11. Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики функций: 1) /з (х) = х — хз, /з(х) = 5х; 2) /з(х) =;Г2япх, Хз(х) = з/2соах; 3) /з(х) = х"", /з(х) = хз; 4) /з(х) = 1/х, /з(х) = т/х; 5) /6(х) = х', /з(х) = 1/х'; 6) /з(х) = 1пх, /з(х) = х'/(2е); 7) Уз(т) = хз — 4х+ 4, /з(х) = — хз + бх — 4; 8) /з(х) =4хз+2з — 8 /з(х) =хз — х+10. 9) /з(х) = Ов(х), /з(х) = р(х) яплх, цв(х) всюду дифференцируемая функция. 12.
Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются кривые: 2 з 1 з 1) д=х- и х=д-; 2) у= — хз — — хз и х=1; 3 9 3)д=е1зих=2; 4)ха+у =5иу =4х; 5) уз = 2;тз и 64х — 48д — 11 = 0; 6) хз+дз — ху — 7=Он у=т+1; зз — 21 5х 7) х=, д=, ид+1и — =0:, 1+ зз ' 1 +зз 8 8) х, = (1+ — ), у = (1+ — ) и у = т. 414, Геометрический и физический смысл ироизводиой 289 13.
Доказать, что семейства парабол дз = рз — 2рх и уз = 2ох + сХзо Р ~ О, оХ Р'. -О, обРазУют оРтогональнУю сеткУ, т, е. кРивые этих семейств пересекаются под прямыми углами. 14. Доказать, что семейстна гипербол хй — рз = а и ху = 6 обра- зуют ортогональную сетку. 15. Доказать, что семейство эллипсов х = — ~а + — ! соз 2, р = — ~ а, — — ! гйп 1, О < 1 < 2ттб 2 ч а! ' 2 ч а! и селоейство гипербол 1/ 1о 1Г 1о х = — ) 2+ — ! соз со, д = — ) 1 — — ! в1п ао 0 < о < +со 2), с! ' 2), (а и о — постоянные, причем и > О, а ~ хЛХ2о Л Е л ), образуют ортогональную сетку.
16. Определить угол между левой и правой касательными в точ- ке ЛХ графика фушгции у = Х(х): 1) у = )х), ЛЕ(0:,0); 2) у = ъ'х-', ЛХ(0;0); о) о= Сс С, иО; Л оОо= 'о —.— *., оооо;о); Е о = 'о*' + ое, к[о;оО; оО о = ' . ',, ооОо; если х~ О, оз)г: оо =о., ооОо;о); оО у= + ос ' ' ооОо;о).
~о, если х = Оо 10) х = Х вЂ” „, у =,, ЛХ(0:, 2). 1 ж ~з ' 1 -~- йо ' 17. Вычислить в точке (1:2) параболы рз = 4х длины отрезков: 1) касательной; 2) нормали; 3) подкасательной; 4) поднормали. 18. Найти длину подкасательной графика функции й = а", а > О, а у'= 1, в каждой его точке. 19. Найти длины подкасательной и поднормали графика функции у = ах"', н Е В, а Ф О, в каждой его точке. 20. Найти длины подкасательной и поднормали: 1) параболы рз = 2рх: 2) гиперболы .гз — рй = аз.
21. Доказать, что подкасательные эллипса — ' + —, = 1 и окружу ао Ьз ности хз + уз = аз в точках с равными абсциссами равны. 22. Доказать, что в точках с равными абсциссами поднорьлали графиков функций о = у(*) о = Л'( О о ', где Х(х) -- дифференцируемая функция, равны. Гл. У. Производная и дифференциал 23. Найти длины подкасательной и поднормали для кривой: 1) уг — хз 2) з уз — 1 24. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоиды х = а(1 — вш1), у = а(1 — совг) в каждой ее точке, не лежащей на оси абсцисс. 25.
Найти длины отрезков касательной и нормали у трактрисы х = а(1и 18 (1/2) + сов в), у = ав1ззг, 0 < Х < зг, а > О. 26. Доказать, что у кривой х = 2а(1пвш1 — сйпз1), у = ав1п21, 0 < 1 < л, а > О, сумма длин подкасательной и поднормали постоянна и равна 2а. 27. Доказать, что если т = /(цз) - уравнение кривой в полярной системе координат и ы — угол, образованный касательной и полярным радиусом точки касания, то 18ы = т/1т'~. 28. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых: 1) спирали Архилзеда т = а~р; 2) гиперболической спирали т = а/~р; 3) логарифмической спирали з = ае~", 4) кардиоиды т = а(сов цз+ 1); 5) дуги лемнискатпы Бернулли тз = аз сов 2цз, 0 < цз < к/4.
29. Под каким углом пересекаются кривые т = цз и т = 1/чз в точке (1; 1) Г 30. Доказать, что угол между касательной к спирали Архимеда т = озр и полярным радиусом точки касания при д — з +со стремится к к/2. 31. Найти расстояние от полюса до произвольной касательной кривой т = аегк. 32. Записать в декартовых и в полярных координатах уравнение нормали к кардиоиде т = а(1+ сов цз) в точке с полярным углом р = = л/б. 33. Поезд Москва — Тбилиси проходит путь в 2400 км за 44 ч 14 мин Определить среднюю скорость поезда. 34. Определить среднюю скорость изменения функции у = = вш(1/х) на отрезке (2/я;б/к]. 35. Тело с массой ш = 1,5 движется прямолинейно по закону Б(г) = ге + г+ 1.
Найти кинетическую энергию тела через 5 с после начала движении (масса тп задана в килограммах, путь Б — - в метрах). 414. Геометрический и физический смысл нроизеодной 36. Точка движется по параболе у = 8х — ха так, что ее абсцисса изменяется по закону х = чз1 (х измеряется в метрах, 1 в секундах).
Какова скорость изменения ординаты точки через 9 с после начала движенияГ 37. Радиус шара нозрастает равномерно со скоростью 5 см/с. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 смГ 38. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан за 8 с. Найти угловую скорость через 64 с после начала движения. 39. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения х = 100+ 51 и х = Гз/2.
С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи (х измеряется в метрах, 1 в секундах)Г 40. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 мз'мин. Определить скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 25 м от берега, если ворот расположен на берегу выше поверхности воды на 4 м. 41. Закон движения материальной точки, брошенной под углом о к горизонту с начальной скоростью ио, без учета сопротивления воздуха., имеет вид :с = (по соя п)1, у = (ползя се)1 — (убз)/2, где 1 время, у ускорение силы тяжести.
Определить координаты вектора скорости и величину скорости. 42. Точка движется по спирали Архимеда г = ауз так, что углоная скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна 6' в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса г, если а = 10 м. 43. Расстояние г спутника Земли от ее центра приближенно может быть выражено формулой где 1 время, а большая полуось зллиптической орбиты, е ее эксцентриситет, Р период обращения спутника, 1о время прохождения через перигей.
Найти величину скорости изменения расстояния з (так называемую радиальную скорость спутника). 44. Количество тепла С) Дж, необходимого для нагренания 1 ьг воды от 0'С до 1'С, определяется формулой Я = 1+ 2 10 егз + 3 . 10 т1з. Определить теплоемкость воды при 1 = 100'С. Гл. ид Праиаводнан и дифференциал 45. Масса па(1) радиоактивного вещества изменяется по закону 2аао аут па = ьчо где Ь --. время, гна -- масса в момент времени 1а, Т период полураспада. Доказать, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества. Найти коэффициент пропорциональности.
ОТВЕТЫ 1. 1) В точках х = 2я1,аЗ угол ор= агс183, в точках х= я(2Ь+ 1)/3 угол ца = я — агс183; 2) я/4: 3) в точке х = 1 угол у = я/4, в точке х = — 1 угол ца = Зя/4; 4) Зя/4; 5) агаа8о; 6) в точках х, = 1 и х = 2 угол ца = О., в точке х = 3 угол ~р= агс188; 7) в точке х, = 1 Угол Ца = т — агс18(Заа2), в точке х = — 2 Угол ца = аг — агс18 (Заа4); 8) агс18(1/2); 9) 0; 10) в точке х = — 3 угол ор = агс183, в точке х = 3 угол ~р = = я — агс18 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
