1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пусть функция г"(х) дифференцируема и удовлетворнет усло- 215. Производные и дифференииалы высших нврнднвв 305 ни|о |р'(х) = /(гг(х)), где / имеет производные всех порядков. Доказать, что |р(х) также имеет производные всех порядков. 32. Доказать, что если /|"з су|пестнуе, то (| и — 1/( )) ( ) /(и)|( ) ~н 33.
ПУсть Р„ш(х) = и(1 — г;ш)", т > О. Найти Ри„,(Ц. ОТВЕТЫ 1. Ц 2; 2) 9702/х|"0; 3) Зх(1 — хг) 5'г; 4) — 2соя2х; 5) 4с52х; 6) х(хг + Ц вЂ” з7г. 7),х(1+ хг) — '. 8) (х Ц(2х хг)-з/г. 9) — 4хя|8вх/() +ха)г, х ~ 0; 10) 4хз(1+ хл) 2. Ц ег/32; 2) 625/1024; 3) 0; 4) О. 3. 54 м/сг. 6.
При Ь вЂ” 2 с: 13 и/сг и 14 м/с'-', при Ь вЂ” 3 с: 19 м/сг и 18 м/сг. 7. 43 Н. 8. 20 и/сг. ывг 2х х 4) (х(1+ (пх)г+ Цхл 'с(х~. 10. Ц вЂ” с(хг; 2) — с(хг; 3) — — с(хг; 4) с)хг 11. Ц "4) удовлетворяет при произвольных .4 и В; 5) не удовлетворяет; 6) — 8) удовлетворяет. |гон — иююр — 2ии'ю' ж 2ю(и') из 2) (июн+ 2и'о'+ иин+ (ию'+ ии')г)еее; 3) (и ж ю )(июн — юин) е-2ио(н,')г -Ь 2(о — и )а'ю' — 2ию(ю') (иг + юг)г (и ж ю )(ии' + ююн) -|-(ю — из)(и') — 4июи' ° ж (и — юг)(ю') Ц (иг -Ь юг)г 13. Ц (о+ 2)дги+ 2с(ив|о+ ив(го; 2) (и ю с(г и + — с(и с(о + и с(г о — и, фюг. ю ю юг (и -|- юг) (и де и -|- ю д ю) -|- (о ди — и дю) (и | оз)з|г ',и иг и 2 б г1-~-Р'|| соя Ь Ь 14.
Ц вЂ” †,, 2) — ( / ; 3) — 8 ' ,, ; 4)— 91|' Ь 2 — Ьз соя| 2| ' аг ыпв Ь ' 5) 1/(соязг(3 совет — Ц); 6) — 1/(Ья)|зе); 7) 2(1+ Ь)з/(1е'); 8) сояз с/ яш Ь: 9) (3 яш!08г Ь)/(сояя 108г Ь); 10) 25 ив ' 15. Ц 2; 2) 1/2; 3) — 12; 4) — 1/2.
21 16. Ц вЂ” 12(Ь+ Ц '(31+ Ц з: 2) — я|пггсоят; 3) — 21п5 яа|Ь ' зов Гл. 3. Производная и дифференциал 4) 2 /со о— 21 яп 1 — сов 21 яп 21совг Зсовг ) Зс51 ) сов 1 — 4яп 1' 4) сов(1/2) из япз1 ' аз в1ззг ' 9аг сов' 1япзг 4аг япз(1/2) 4е з(2яп1 — сов1), яп1(1-»Звзп 1) (яп1-» сонг)з сов'1 19. 1) у' = — Ь/а, у00 = О, зз > 1; 2) у»из = 2" »и!; ( — Цп '2 (2п — 3)!! (21 — 1) г" 4) у'=2х+1, ун=2, у00=0, п>2. 20 хи = — /и/(/з') х'н = (3(/и)г — /'/и')/(/з)в 21. 1) — аг/ув 2) — аз/ув 3) — Ь4/(агув) 4) — рг/уз 5) 4(к+ у)/(х+ у+ 1)', :6) — (3+ 2!пх)/(хг(1+ 21пх)г); 2(х -» у ) 2хзу(Зу -» 2(3 — хз)у 4-3+ 2хз) )з ' 6) ( 1)з 22.
1) — — з(хг; 2) — — Нхг; 3) 0; 4) — »1хг. 24. 1) уОО = Зиевз, п > 3, у'и = 6+ 2?езз" уи = 6х+ 9евл у' = 3 се + 1 + Зеве' 2) ао п1; 3) 2 и!/(1 — х)и»', 4) ( — 1) н ' з»1с '(а»1 — Ьс) (сх + с?) и 5) ( — 1)" '(тз — 1)! '; 6) — 2" 'сов(2х+ — ); 7) — (и — Ь)" сов ((а — Ь)х+ — ) — — (и+ Ь)псов ((и+ Ь)х+ — ); 2 3) у»гв 0 = — (а+ Ь)'в 'вЬ(и+ 5)х+ — (а — Ь)' ' 'вЬ(а, — Ь)х, 2 2 уз»гв) = — (а+ Ь)г" сЬ (а+ Ь)х+ — (а — Ь)~~ сЬ(а — Ь)х; гв 1 гв 1 2 2 9) 2и — 1 (2.+ аа)+4Я вЂ” з (,1 + ~~). 10) 4"" з сов (4х + — ); 11) 2" з сов (2х + — ) + 2г" в сов (4х + — ); 12) (2п — 1).'!(1 — 2х) 13) ' (3(х — 6) " ' + (х + 2) " '); 14) и!Н1 — х) " + ( — 1)и(1+ т) " ~).
15) ( — 1)"и!(2"(2х — 1) " г + (х+ 2) " ~). 25. 1) (1п" ~ 2) 2' з ((1п 2) (х — 1) + и); 2) (1п72)п з?2з((1п72)(2х — 1) + 2п); 3) ( — 3)" г(36хг — 12(9+ 2п)х+ 81+ 32п+ 4пг)ег ™; (и — 2)!Зн 4) ' (Зх — п)(1 — Зх) ", и > 1; 1зз 2 р 75. Производнвге и дифференциалы въщших порядков 307 5) ( — Цп2(п — 2)!(х — п)(х — Ц ", п > 1; 6) (и — 2)!((Зп — х)(3 — х) п+ ( — Цп(Зп+ х)(3+ х) п), и > 1; 7) ( — Цп(и — 2)!((х — п)(х — Ц п + (х — 2п)(х — 2) п), и > 1; 8) хсов (х+ — ) + пава (х+ — ); 9) ( — ) (ияп ( — х+ — ) + — хсов ( — х+ — )), и > 1; 10) 2" в((4хг+ 4х — ив+и) сов (2х+ —,")+ +2п(2х+ Цяв(2х+ — )), и > 2.
бп '(2и — 3)!! 26. Ц ' ' (2п — 5х)(1 — 5х) ~гпв 07г п > 1; 2) (2п — 5)И(Зхг — 2пх+пг — п)(1 — 2х) ~гпвгиг и, > 2. 3) еае(аг + Ьг)п7г сов(Ьх + с + п р), соа х ц/~цг + Ьг яв х = Ь/у аг + Ьг, 4) 2" ег" (1 — 2п7г сов(2х+ лп(4)); 5) (цг + Ьг) п7г (с1, цх сон(и~о ли 72) я1в(Ьх + лгг/2)+ + в1гахяв(п7г — лп(2) сов(Ьт+ лп72)), сов 7г = а7',)а~ + Ьг, яв ор = Ь|177ог + Ьг: 6) ( — Цпх " 1ег7»; 7) (п — 1фх; 8) ( — Ц"' '(и — Ц!(1+ хг) п7г яп(патсс$8х).
27. Ц а) 12960, б) О. 2) 17н72~о. 3) 8в 4) 13~(273 5) — 2 щ 3' 5 19; 6) 336/(625Л); 7) — 2(97!); 8) 10109(3") яв3; 9) — — (1+ 3'оо); 10) (16 — — ) и/2; 1Ц а) 2о.Зг 7 37, б) О. 27и-72 28 Ц 1оеООдхз' 2) 194 10~ Зов1хто' 3) Их~в 4) — 27. 1025Яйх'о 5) 2о 29дхв: 6) а) (179)гй ~о, б) О. 29. Ц р'(0) = О, .ри(0) не существует; 2) р'(О) = 2, ри(0) = О, рп'(О) не существует; 3) р'(О) =О., рп(0) =О, рп'(О) = 1, р~7' ~(0) =О, р~в~(0) не существует; 4) р'(0) = 1, ри(0) = О, рп'(0) не существует; 5) р'(О) = О, рн(0) не существует; 6) рОО(0) = 0 для п < 50, рЩО(0) не существует; 7) р~п~(0) = О, и б И.
33 ( Цпгппп$ ГЛАВА 4 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ 2 1б. Теоремы о среднем для диффереицируемых функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Теорем а Р о л л я. Если функция г" непрерывна на отрезке (а; Ь), имеет во всех его внутренних точках конечную или определенного знака бесконечную производную и 1(а) = З'(Ь), то существует такая точка С Е (а: Ь), что ~'(Е) = О. (1) Услоние (1) означает, что в точке (Е: )'(Е)) графика функции касательная к нему горизонтальна (рис.
1б.1). В условиях теоремы Рис. 16.1 Рис. 16.2 Ролля среди точек с, удовлетворяющих условию (1), всегда существует точка, в которой функция ф имеет экстремум. Теорема Лагранжа. Если функция 1" непрерывна на отрезке (а; Ь) и имеет во всех его внутренних точках конечную или определенного знака бесконечную производную, то существует такая точка Е Е (а; Ь), что )(Ь) — 1(а) = 1~® (Ь вЂ” а). (2) Форн|ула (2) называется формулой конечнь1х приращений Лаграняса.
Ее геометрический смысл состоит в том, что в условиях теоремы на графике функции ф найдется точка, ф г(с)), а < Е < Ь, в которой Зтб. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций Зев касательная к графику параллельна хорде графика (рис. 16.2), соединяющей точки (а: Тала)) и (Ь; (11Ь)). Действительно, если формулу (2) переписать в видо = Г'®, (3) то ее левая часть равна тангенсу угла, образованного указанной хордой с осью х, а правая тангенсу угла, образованного соответствующей касательной с той же осью.
Положив а = х, Ь вЂ” а = Ь, формулу (2) можно удобно записать в 1(х+ й) — 11х) = 1'(х+ 0Ь)Ь, О < д < 1. (4) Следствие 1. Пусть функция Г непрерывна на некоторол~ промежутке и дифференцируема во всех его точках, кроме конечного их множества. Тогда, если производная функции 1" равна нулю во всех точках, где производная существует, то функция Т" постоянна на рассматриваемом промежутке.
Следствие 2. Пусть функции з" и д непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во всех его точках, кроме. конечного их множества (вообще говорщ своего для каждой из них). Если во всех точках, в которых одновременно существуют производные з" и д', они совпадают: 1'1х) = д'(х), то на всем рассматриваемом промежутке функции 1 и д отличаются на постоянную: 11х) = д(х) + с, с — — сопят. Следствие 3. Пусть функцил Г непрерывна в некоторой окрестности точки хо и дифференцируема в проколотой окрестности этой гпочки. Тогда, если существуегп конечный предел 11пз 1'(х) = Л, то л-эгь функцил З' дифференцируема в точке хо и Т'(хо) = А.
Теорема Коши. Если функции х = Ьь(1) и у = чЬЯ непрерывны на отрезке )а;Ь) и имеют во всех его внутренних точках конечные производные, причем ~'Я ф О, а < Ь < Ь, то существует такая точка 5 Е (а; Ь), что ~ ),~ ), 1с) — и а (5) ~(Ь) — ь"(а) ~'(6 Если ~р(а) ф Ьз(Ь), то условие д'(Ь) ф О на (а1Ь) можно заменить условием ~Ьс'(8))г+ 1ф11))г > О, а < 1 < Ь. Геометрический смысл теоремы Воши состоит в том, что на параметрически заданной кривой х = фг), у = ф11), а < Ь < Ь, существует точка (Ьз®; ьЗ1С)), а < С < Ь, .в которой касательная параллельна хорде, соединяющей начало (1з(а);ф(а)) и конец (д(Ь);ьЬ(Ь)) этой кривой. В самом деле, дроби ', и равны соответственно чг (Я чз1Ь) — ч4а) тангенсам углов, образованных указанными касательной и хордой с осью.
Гл.д. Применение производных и исследованию Ярпиашз ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке ]а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), где а > О. Доказать, что существует точка С Е (а;Ь) такая, что '".' ',""' =я) -а'в (6) А Применяя теорему Коши к функциям ф(1) = /(1)/1 и р(Ь) = 1/й /(Ь)/Ь вЂ” /(а)/а (с/ (с) — /(с))/с 1/Ь вЂ” 1/а, — 1/Ез откуда следует равенство (б). А П р и мер. Доказать, что все корни многочленов Лежандра действительные, простые и лежат на интервале ( — 1;1). А РассмотРим многочлен 11зп(х:) = (хз — 1)".
Он имеет степень 2п, и его корнями являются хз = — 1 и хз = 1, причем каждый корень имеет кратность и. Поэтому если я > 1, то производная Я',„также имеет хз и хг своими корннми, но уже кратности п — 1. По теореме Ролля, у производной 1;)'е(х) существует еще по крайней мере один корень хз, лежащий между хз и хг. Поскольку сумма кратностей всех корней ащогочлена равна его степени, а степень многочлена Я',п(х) равна 2а — 1, то кратность корня хз равна 1 и других корней, кроме хы хг и хз, у многочлена с)!„ нет. Продолжая этот процесс, по индукции получим, что производная Ц,„ Н(х) имеет и + 1 простых корней х; (1 = 1,2,...,п + 1). Занумеруем их в порядке возрастания: — 1 = хз < хг « ...
х„< х„аз —— = 1. По теореме Ролла, на каждом отрезке (х,;тзз з] (1 = 1,2...я) (зз — Н лежит хотя бы один корень производной многочлсна Щп (х), т. е. корень многочлена Лежандра, ибо (4.-"(х)] = О,',...',(х) = 2-п/Рп(.). Таким образом, многочлен Лежандра имеет на интервале ( — 1;1) и различных корней, а так как его степень равна п, то все они простые и других корней, действительных или комплексных, у него нет. а ЗАДАЧИ 1.
Проверить справедливость теоремы Ролла для фушгции х(тз— — 1) на отрезках (-1;1] и (О; Ц. 2. Па интервалах ( — 1; Ц и (1;2) найти точки, в которых касательная к графику функции /(х) = (хг — 1)(х — 2) горизонтальна. 416. Теоремы о среднем длн дифференчируемых фуннчиб З1! 3. Па интервале (0,1) найти такую точку (, что касательная к графику функции у = хз в точке ф ~з) будет параллельна хорде графика, соединнющей точки (О;0) и (1; 1). 4.
Доказать, что между двумя действительными корнями много- члена с действительными коэффициентами имеется корень его производной. 5. Доказать, что если функция 1 дифференцируема и раз, на отрезке [а; Ь) и обращается на нем в нуль в и+ 1 точках, то существует такое ~ 6 (а; Ь), что ~~п~(~) = О. 6. Доказать, что если функция 1 дифференцируема и раз на отрезке ~о; Ь), а = х1 < хг < ... < хе = Ь, х, 6 (о; Ь), и, — натуральные числа, п1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
