1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 53
Текст из файла (страница 53)
= О П р и м е р 6. Функции д = 1(х) задана параметрически формулами х = Ь вЂ” чшй у = 1 — сов1, 1 Е (О:,2У). Найти д,",. А По формуле (3) 213 находим 1зз в1п1 2 вцп(1/2) сов(1/2) Уз, х~~ 1 — сов с 2 вшз(1/2) т. е. у' = с1я ®2). Дифференцируя обе части полученного равенства по х, получим д,.", = (с18 — ) .
1', = (с18 — ) 1 1 2вшзЯ2) 1 — сов1 915. Производные и дифференциалы высших порядков 299 Следовательно, у>0. а П р и м е р 9. Определить, какого порядка производными обладает в точке х = 0 функция у = ~х~з. д Если хфО, то Зхз при х>0, — Зха при х < О. При х = 0 по определению производной находим р(0 -Ь Ьх) — зд(0) . )Ьх~' Ьх — «О Ьх Хх-«О З.ЕХ Таким образом, первая производная существует при всех х, причем у'(х) = Зхз ззяпх. Аналогично, для второй производной получаем ( бх при х>0, д (х)= 1 — бх при т <О, и,, у'(О -~- Ьх) — р'(О) .
3Ьх' взяв Ьх Ппз Л О зах лх — зо дех т. е. вторан производная существует при всех х, причем ро(х) = 6И. Функция ~х~ недифференпируема в точке х = О. Следовательно, дан- нан функция р = ~х~з обладает в точке х = 0 производными до второго порядка включительно. а П р и м е р 10. Найти второй дифференциал функции р = хе ", счи- тая х независимой переменной. а 1-й способ.
По определению второго дифференциала находим д2у <У«1у) «1(хс1е — х + е — хе)х) г)( ае — хслх + е — хг1х) = — «Цхе *)сзх+ (сзе ')с1х = — (хозе '+ е хйх)йх — е хдх = хе хс)хз — е *Их~ — е «дхз = (х — 2)е хсзхе. 2-й способ. Вычисляем вторую производную: 1" = (хе х)о = (е х — хе х)' = — е х — е «+хе * = (х — 2)е и по формуле (13) находим «РП = (х — 2)е хс)хз, а Пример 11. Найти второй дифференциал функции у = а)пх"', считая х: а) функцией некоторой независимой переменной: Хл. д. 11роиаеоднан и дифференциал зоо б) независимой переменной. А а) 1-й с и особ.
По определению второго дифференциала имеем й у = йХйвтпх ) = йХ,2хсовх йхХ = (2хсовх )й х+ + (й(2х сов х ) ) йх = 2х сов х йв х + (2 сов хв — 4х яп х~) йх~. 2-й способ. Вычисляем первую и вторую производные данной функции по х: у.' = 2хсовхз, ун = 2совх, — 4хвяпх~. Согласно формуле (18) получаем йз у = (2 сов х — 4хз в1п хз) йхз + 2х сов хвйзх. б) В атом случае йзх = 0 и, следовательно, й~у = (2 сов хз — 4хв вш а ~)йхв. А Пример 12. Найти йву, если у = и,си и йи, йи, сРи, йви известны.
а При решении ис пользуем снойс тва первого дифференциала (213): в/их / иЪ /ийи — искрит и й1ийи — и,йи) — Хийи — исХсс)йиа Ю сс'(и йеи + йи йи — и йесс — йи йи) — 2сс(и йи — и. йи)йи 1 г и 2 2и = — й и — — „йзи — —, сХийи+ — йи . А и ие ие а ЗАДАЧИ 1. Найти производную второго порядка: 1) у=хв+13х+11; 2) у=1+10х+ — „; 3) у =; 4) д = сов х; 5) у = вХссх+ сХс х; з . ", 2 2 Я вЂ” хе 6) д = 1п(х + ъ'х~ + 1); 7) у = агстб (х + исха + 1); 1 — х . х — 1 2 8) у = агсс18,; 9) у = агсяп ~сс2х — а-' ' хе+ 1 ' 10 д = 2 агсгй и 2. Найти вторую производную в указанной точке; 1) у = е ", х = 4; 2) у = х = 5; 3) у = ,.
х = 0; ( — и' ' Л:ха' 4) у = е"о" сов(вш х), х = О. 3. Точка движется по закону в(Х) = 2Хз+ — Хз (в измеряется в 3 метрах, Х вЂ” в секундах). Найти ее ускорение через 5 с после начала движения. 215 Производные и дифференциалы высших порядков 301 4. Доказать, что при движении тела по закону в(1) = ае'+ Ье его ускорение численно равно пройденному пути. 5. Доказать, что при движении тела по закону в(1) = ъ'7 его ускорение пропорционально кубу скорости. В 1 6. Одна точка движется по закону ее(1) = 1~ + — +1+ —, дру- 2 2' 2 ган по законУ вз(1) = — св + 312 — 51 (вы вз измеРЯютсЯ в метРах, 3 в секундах). Найти ускорения точек в тот момент, когда их скорости равны. 7. Найти величину силы, действующей на точку с массой т = = 0,1, днижущуюся по закону в(1) = вт — 41е в момент времени 1 = 3 (т, е, 1 заданы в системе СИ).
8. По окружности радиуса 5 м движется точка с постоянной угловой скоростью 2 рад~с. Найти величину ускорения точки. 9. Найти второй дифференциал функции; 1) у = (хе + х+ 1)е '; 2) у = 2х + с18 2х; 3) д = х(сов1пх+в1п1пх); 4) у = х*. 10. Найти нторой дифференциал функции в указанной точке: 3) у = х ~ф(х — 5)е, х = — 3; 4) р = агс18,, х = О. 11. Определить, удовлетворяет ли функция у = у(х) заданному уравнению: 1) д = Асанах+ Вешах, уо + аау = 0; 2) у = Авве + Ве '*, уп — азу = 0; 3) у = (АсовЗх+ ВгйпЗх)е ', ун+ 2д'+ 10у = 0; 1 о хе — 2 4) д=Аее-1-Ве ' — —, уо — у= 5) д = 1+ сове'+ вше*, до — р'+ ез'у = 0; 6) р = (т+ уТ+ тз)~о (1+ та)до+ хд' — 100р = 0 7) у — еюессесее (1 — сз)до — зд — 100у — 0 8) у = сов(10 атосов х), (1 — хз)уо — ху' + 100у = О.
12. Найти у", считая известными и', и", о', оо: 1) д = (о+ 2и)/и; 2) д = е "; 3) у = агс1р (о/и); 4) р = 1п узи-+ 2/з. 13. Найти ~Ну, считая известными с1и, сРи, с1о, е1зо: 1) д = и(2+ о); 2) у = и 1п о; 3) у = огиз + оеа; 4) д = и". д р 14. Найти — для функции, заданной параметрически уравне- дхе 302 Гл. 3. Производная и дифференциал пнями: сз 1) х=12, у=12; 2) х= з, у= 3) х = 1п соя 1, у = !и соя 21; 4) х = а соя |, д = 5 ьйп !! 5) т, = (1+ сояг1) я!и!, у = я!п 1соя1; 6) х = 1сЫ вЂ” я!с!, д = тяЬ1 — сЬ1; ес, 1 7) х= —, у=(! — 1)е'! 8) х=, у=161 — й 1 Ч- С ' соя! ' 9) х = ып!оця !., у = 16 !о821; 10) х = 2'о' ', д = 2ии '.
дзд 15. Найти —, в заданной точке: дхз Ц х (!г Ь1)ес д !2еяс, (1;О); 2) х=, у= —, (О;4); 3) х = 1п(1+ я!пср), у = 1п(1 — соя 2ср), (1п(3/2); !п(1/2))! 4) т. = сЬ!яшд+ яЫсоя1, у = сЫсоя! — яЫяш1, (О;1). д у 16. Найти †,, для функции, заданной параметрически уравнедх пнями: 1) х= — 2+ 31 — 1Я, у =1+ 212+ !з; 2) х = !п 18'(!/2), у =1и 181; 3) х = !одя Яш 1, У = !о8я соа 1; 4) х = асса!и 18 1, У = т/соз 26 17. Доказать, что функция у = у(х), заданная параметрически, удовлетворяет заданному уравнению: 1) х = сз+ с, у = — се+ — !2+ 1, уо(1+ Зуег) = 1; 3 4 ! 2 2) х=е'соя1, у=с'сйпй — зг/4<1<зс/4, (х — у)яун=2(ху' — у); 3) х = я!сс1, д = Аес'гс+ Ве сгзс, — л/2 < ! < и/2, А и В произвольные постоянные, (1 — хя)уо — ху' — 2у = 0; 4) х = ЗАся+ !пВ1, д = 2А1з + й А и В .- произвольные полоькительные постоннные, (Зд — 2у')уо = у'2.
д д 18. Найти †, для функции, заданной параметрически уравнедхз ниями: 1) х = асов!, д = асйпй 2) х = ас!с1, у = аяЬ1; 3) х = асояз1, у = ая!из!; 4) х = а(1 — я!и!), у = а(1 — соя!); 5) х = е ' соя 1, у = е ' я!и й 6) х = соя ! — !п сс8 (!/2), д = яш 19. Найти ' для функции, заданной параметрически уравнед'д дх" ниялли: 1) х = асояя Х, у = Ья!п 1; 2) х = соя!, д = соя п1, и Е !4; 3) х = 1г — ! + 1, у = сз + ! + 1; 4) х =, у = 2С -!- С С -с- 1 ' (С -!- 1)г 20.
Пусть для функции у = /(х) известны /н(х), /о(х), /о'(х). Найти вторую и третью производные обратной функции х = / с(у), я 15. Производные и дифференциалы высших порядков зоз предполагая, что они сушествуют. 21. Для функции у = у(х), заданной неявно, найти уо: 1) ха+уз=аз 2) хз — уз=аз 3) — + — '=1 4) уз=2рх 5) ез и = х + д; 6) егпз — 2 1п х, — 1 = 0; 7) у — т 18' 1п тзгхе + дз = 0; 8) уз = ее 22. Найти с!зу в точке (хо,уо) для функции у = р(х), заданной неявно: 1) хе+ 2ху+уз — 4т+ 2у — 2 = О, (1:1); 2) 21п(у — х)+я1пху=О, (О;1); 3) хзу+агсяш(у — х)=1, (1;1); 4) 3(у — х -Ь 1) + агс18 (у/х) = О, (1; 0). 23. Доказать, что функция у = у(х), заданнан неявно, удовлетворяет уравнению: 1) д = А1пу+ х+ В, д.
Уо = (У') — (У ) ' 2) (Л+ Вх)ее~ = х, тяд = (ху У) . 24. Найти у!о!(х) для заданной функции: 1-ь х 1) у = хз + х + езе; 2) д = аохп + агх" ' + ... + а„; 3) у = 1 — х 4) у =; 5) у =!п(ах+ 5); 6) у = я!пах; ох+ с! 7) у = ягппахя!пЬх: 8) у = с!захе!гЬх:, 9) у = я!пах яш2х; 10) д = яш х+соялх; 11) д = сове тд 12) у = л, л 1 иг! — 2х 13) д=,,; 14) у=,; 15) у= х.- '— 4х — 12 ' 1 — хз ' 2хе -ь Зх — 2 25.
Найти УОО(х) для заданной функции: 1) у = (х — 1)2* г; 2) у = (2х — 1)2Я' Зз*; 3) у = (3 — 2х)зее 4) р = х 1ойз(1 — Зх); 5) у = 1п(т — 1)зл; 6) д = х 1п 3+к, 7) у = х1п(хз — Зх, + 2); 8) у = хсоях; 9) д = 2хсояз(х/3)! 10) д = (хз + х) соя~ х. 26. Найти д!и!(х) для заданной функции: 1) д =: 2); 3) у = все соя(Ьх+с); Я вЂ” 5х ' ит1 — 2х 4) у = езе яшз х; 5) у = с!гахя!пЬх; 6) у = х" 'ездке; 7) у = х" ' !пх; 8) у = згс18'х.
27. Вычислить в заданной точке производную указанного порядка и: 1) д = (2х — 7)Я(Зх+ 7); а) и = 5, .х = хо, б) и = 6,. х = хо,. 2) у=тзсх; и=10, х=1: 3) у= —, п=8, х=О; Гл. 3. Производная и дифференциал 4) у =,; п = 13, х = — —; 5) у =;(х'-' + Зхв; и = 5, х = 1; х-~-1 1 хз+х — 2' ' 2' 6) у = „.; п = 6, х = — 1; 7) у = х 1п х; п = 100, х = 1; 72 — Зх 8) у = (хв — 2х) сов Зх; и = 101, х = 1; 9) д = хяпхсов2х; п = 100, х = л/2; 10) у = (х — яп х)в; и, = 16, х = л/4; 1Ц д= агсгбвх; а) п=10, х=О;б) п=11, х=О.
28. Вычислить в заданной точке дифференциал указанного порнд- ка гм 1) у = (х+ 5)в; п = 3, х = 0; 2) д = ',,; п = 10, х = 1; 7х -Ь 1 (Зх — 2)з ' 3) у = (ъ т~ — 1 + /х — 1)з; п = 16, х = 1; 4) д = в1п х в1п 2х вш Зх; и = 10, х = зггг6,: 5) д = (2гс~ + 1) вЬ ах; п = 8, х = 0; 6) у = агсяпх; а) и = 19, х = 0; б) п = 20, х = О.
29. Определить, какого порядка производными обладает в точ- ке х = 0 функция у = д(х), и вычислить н этой точке все сущест- вующие производные: ) 1 — сове, если х < О, [ 1п(1+ х) — х, если х > 0: (2хсовх, если х < О, 2 д(х) = 1 яп2х, если х > 0; [ вЬх — х, если х<0, ( х — япт, если х > 0: 3 9(.)=~ вЬх, если х < О, (вшхсЬх, если х > 0; 5) у х = го хго, если х рациональное число, ) -х'о, если х иррациональное число; ) х'а" яп(1гх), если х д= О, О, если х= О; 2 е-'~', -, х~О, О, если х=О. 30. Пусть 7(х) Е бщ ~[0;+ос). Доказать, что существуют чис- ла ов (1 < Й < п) такие, что функция аь2( — Ггх)., если х < О, 'р(х) = ь ь У(х) если т > О непрерывно дифференцируема на всей оси. 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
