1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Тогда г'(х) — г(хо) + , (х хо) + , (х хо) + ". Т'(хь) У (хю), 2 ... + (х — хо) + о((х — хо) ') при х ь хо, Т'"'(х.) и! или, короче, л.) =Е л=о Многочлен ~(ы ) д " (х — хо) ' + оКх — хо) а), х — ь хо. (1) а Р„( ) = Е г „(*ь) ( —,) ь (2) называется многочленом Те "лора функции )(х) в точке хо, а функция г„(х) = ~(х) — Ра(х) (3) остаточным членом и-го порядка формулы Тейлора. Формула (1) называется формулой Тейлора п-го порядка для функции 1(х) в окРестности точки хе с остаточным членом в фоРме Пеона, ее называют также локальной формулой Тейлора. 2) Функция Д(х), имеющая в точке хо производные до и-го порядка включительно, единственным образом представлнется в виде а Т(х) = ~ аь(х — хо)ь + о((х — хо)а), х — ь хо, (4) ь=-о Гл.4.
Применение производних к исследованию фуннциа (6) или ь е' = ~ ~—, + о(хп); ь=о б) гиперболаческие функции з хз зп и ейх = х+ — + — + ... + + о(х "+ ), 3! 5! (2п -~- 1)! (9) или 'ь-з л=о зп (2п)1 (10) или и с(,х = ~~ — + о(х " ): (2к)1 в) тригонометрические функции в1п т = х — — ' + —.* + ... + + о(х " уг Х* ( 1) Х, 2п-~-2 3! 5! "' (2п -~- 1)! (11) причем коэффициенты разложения (4) определяются формулами (5) Если хо = О, то формула (1) принимает вид ф~ь (О) 1(х) = ~~, хо+о(хп), х -+ О, в=о и называется формулоб Маклорена.
3) Пусть функция )(х) имеет в окрестности точки хо = О произ- водные всех порядков (бесконечно дифференцируема). Тогда: а) если 1 - - четная функция, то при любом п Е Ш ~'нч(О) (7) (2к)! б) если г нечетная функция, то при любом и Е М пь'н О ф(х) = ~ ф (О) хглп' 1 + о(хзп "2). (8) (2к+ Ц! л-=о 4) Формулы Тейлора в окрестности точки хо = О (форму- лы Маклорена) для основных элементарных функций имеют сле- дуюзций вид: а) показательная функция ее = 1+ х + — + ... + — + о(хп), 2! и.' 324 Гл.4. Прилеенение производных к исследованию функций 5) Если то (21) ~(х) =,~, ау(х — хо)" + о((х — хо)"), ь=о и д(х) = ~~' Ьь(х — хо)ь + о((х — хо)и), ь=о ~(х) + д(х) = ~ ~(аь + Ьу)(х — хо) + о((х — хо)"), у=о п Пх)д(х) = ~ су(х — о)" + о((х — хо)"), у=о где сл = ~ арЬл р.
р=о 6) Если функция 7"(х) представляется в виде Д(х) = д(х)/6(х) и если известны представления функций д и 6 формулой Тейлора в окрестности точки х = хо с о((х хо)и), т. с. известны разложения и д(х) = ~~~ Ьь(х — хо)" + о((х — хо)"), в=о п 6(х) = лр сь(х — хо) ' + о((х — хо)"), ь=о причем со = 6(хо) ф О, то для нахождения формулы Тейлора для функ- ции 7 можно применить метод неопределенных коэффициентов, ко- торый состоит в следуюшем.
и ПУсть 7(х) = ~ аь(х — хо)" + о((х — хо)и) -- искомое Разлоекеу=о ние. Приравнивая коэффициенты при (х — хо)", где 6 = О, 1, ..., и, в левой и праной частях равенства: П и ( ~ аь(х — хо)у + о((х — хо)")) ( ~~ су(х — хо)ь + о((х — хо)и)) = ь=о е=о Ь (х — ) + о((х — о) '), ь=о получаем систему уравнений, из которой можно найти коэффициен- ты ао,аы ...,а„. 7) Пусть Р(х) = Дус(х)) сложная функция, и пусть известны формулы Тейлора для функций ус н 7', т.
е. и ус(х) = ~ сь(х — хо)" + о((х — хо)"), (20) у=о У(ео) = ~~',аь(ш — <оо) + о((1р — шо) ) у=о Ь 18. Формула 'Галлера 325 где исо = уо(хо). Тогда для нахождения коэффициентов Ьь (Ь = О, 1, ... ...,и) функции и р'(х) = 1Ы(т)) = ~ Ьь(х — хо) у + о((х — хо)и) а=о нужно в формулу (21) подставить щ = ср(х), заменить функцию ср(х) ее формулой Тейлора (20), произвести соответствующие арифметические действия, сохраняя при этом только члены вида Ьь(х — хо)ь, где Ь = 0,1,...,п.
В частности, если и Р(Х) = АХ, ЬЧ Е И, ((и) = ~и ауса '+ О(Щи), ь=о 7(ср(х)) = 7(Ах ) = ~ ~А аьх +о(х"и). сс=а Например, из (15) и (17) следует, что ~( 1)ь зь + (, сии-1) (22) а=о то =,Сс(ХО) + ~ аул1(Х вЂ” Хе)ЬЬ + ОНХ вЂ” ХО) "~ ), ь=о ~С" "'(те) ~С" "(хе) 1 ЬЬ где аье1 — , — , = . Следовательно, (1с+ Ц! Ь! Ь+1 у+1 1(х) = У(хо) + ~ ' (х — хо) ' + о((х — хо)и~~), (24) ь=о где Ьь — коэффициенты формулы Тейлора функпии 71(х). 9) Если функция Дх) имеет в некоторой окрестности точки хо производные до (и+ 1)-го порядка включительно, то для любой точки х из этой окрестности найдется точка (, лежащая между х и хо 8) Пусть известно представление формулой Тейлора в окрестности точки хо до о((х — хо)и) производной функции 1, т. е.
известна формула и У'(и) = ~~ , ЬЬ(т — ХО)" + 11((Х вЂ” ХО)и), П ьио где Ьс, = Ьс Тогда сущсствует (1"+'1(хо), и поэтому фувкцию г"(х) можно представить в виде и-1-1 ,((х) = ~~с аь(х — хо) + оИт — то) ) = у=о 326 1л.4. Применение производных к исследованию функций (х < С < хо или хо < С < х) и такая, что и у(х) ~С, ' '"'(*е (х т )ь+ У' н(ч) (х х ) е1 (25) М (и+ Ц! ь=о Эта формула называется формулой Тейлора с остаточнь1м членол1 , (.
) = У~ ~ ~(С) („)олы (и -Ь 1)! е форме Лагранжа. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Представить формулой Маклорена с о(х") функцию Д(х) = з1п(2х+ к/4). ,а Так как ,(1 1(т) = 2ь зш (2х + — + й — ) и (1ь1(0) = 2" зш — (2й + 1), 4 2) 4 то по формуле (6) получаем и сфп (2х+ — ) = ~ —, аш — (2к+ 1) х" + о(х"). А 1=О П р и м е р 2. Представить формулой Маклорена до о(хо) функ- цию Дх), если: 1) Д(х) = се12чг; 2) 1'(х) = чу1 + хц 3) 1"(х) =, 4) г" (х) = 1в(5 — 4х). А 1) Используя формулу (9) и равенство е'12ег = с' еи12, полу- чаем е е'~ е = ~ — х + о(хо).
21М л =-о 2) Так как ч1Т+ х = (1+ х)112, то, применяя формулу (14) при о = 1/2, находим Л + х = 1+ ~ С,'„хь + о( и), ь=1 где (1 12)(1/2 — 1).. (1/2 — (к — 1)) ь 1(2У вЂ” 3)!! 112 М (2Й вЂ” 3)!! = 1 3 ... (2Й вЂ” 3). Следовательно, о Л+ .. =1+ ~ (-1)ь-' ""„',)' +.(хо). 218. Формула Тейлора 327 3) Используя равенство = и формулу (15), по- 1 1 2х + 3 3(1 + 2х/3) лучаем и ( — 1) ( — ) х + о(х"), т. е. 1=о и ( — 1) —,х +о(х"). у=о 4) Из равенства !п(5 — 4х) = !п5+ !п(1 — 4х415) и формулы (19) следует, что и !п(5 — 4х) = !п5 — ~ — ( — ) хе+о(та), а !4 1,5/ 1=1 Пример 3.
Представить формулой Ыаклорена с о(х") функцию Д(х), если: 1) ('(х) (х + 5)сзл. 2) 4(х) !п 3) 7'(х) = ел 1п(1 4- х), и = 4. а 1) Используя равенство Т"(х) = хез*+ 5ез» и формулу (9), получаем 2 х 21 1. Дх) = х( ~ + о(х" ')) -Ь 5 ~ + о(х" ) = а=о 1=Π— ьы, 1,.11 1=0 у=О 1=О 1=1 Ях) =5+~~~ (, +, )ха+о(х") = 1=1 2~ 21 — 1 = 5+ ~~, (1 + 10)хе + о(х") = ~~, (1 + 10)х1 + о(х"). У=1 1=О 2) Из равенства 7"(х) = !п — + !п (1+ — 7! — 1п (1 — — ) и фор- 2 (, 3) (, 2) леул (18), (19) следует, что п Т(х) = !и — + ~ — ( — „+ „) х + о(х"). 3) Используя формулы (9) и (18), получаем Т(х) = (1+ х+ — + — + о(х' )) (х — — + — — — + о(х )) = 2! 3! ) ( 2 3 4 1,2 41 1 11 3 4 1 1 1 1~,,4 4 = х+ ( — — + 17!х + !1- — — + -)х + !1 — — + — — — + -1!х + о(х ) = 2 ) (3 2 27 ~ 4 3 4 б) =х+ — х + — х1+о(х ).
А 2 1:1 4 2 3 Гл.й. Применение производных к исследованию функций 828 Пример 4. Представить формулой Маклорена с о(х") функцию 1(х) = сов т, + ~х~з. Какие значения может принимать пГ А Пусть д(х) = ~х(~; тогда д(0) = д'(О) = ди(0) = О, а ди'(О) не существует (315, пример 9). Поэтому для д(х) формулы Маклорена до о(х") при п = 1 и и = 2 имеют вид соответственно д(х) = о(х) и д(т) = о(х'), а продставление функции д(х) формулой Маклорена с о(хз) не существует. Используя для функпии соах формулу Маклорена с о(х") при п = 1 и п = 2 (формула (13)), получаем формулу Маклорена г'(х) при п=1 и п=2: г"(х) = 1+ о(х), г(х) = 1 — — + о(х ).
Представление формулой Маклорена функции 1(х) до о(хз) не существует. А Для получения формулы Тейлора рациональной дроби эту дробь обычно представляют в виде суммы многочлена и элементарных дробей. П р и мер 5. Представить формулой Маклорена с о(х") рациональную дробь ~(х) = хе Ц- х — 12 А Так как Г"(х) не явлнется правильной дробью, то, разделив числитель на знаменатель, представим 1(х) в виде 1'(х) = 1+, = 1 — + (т, + 4)(х — 3) х Ч- 4 х — 3 Преобразуем г(х) так, чтобы можно было использовать формулы (15) и (16): 3 2 1(х) — 1 4(1 -~- а/4) 3(1 — х/3) Отсюда получаем 3 ух~ 2 х~ 4 ~х-' 4у 3 ~2-' Зл у=о у=о или Г"(х) = — — +~~ ( ~, —,)х +о(х").
а у=1 Пример 6. Представить формулой Маклорена с о(хзит~) функцию 1 Пх) = х' — Зхе — 4 д Представим Г" (х) в следующем виде: Пх) = = (.,)'(. +,) = о (. '. —. +1) 513. Формула 7'еалора 329 1 Заметим, что нет необходимости заменять дробь, суммой алехе — 4 А В ментарных дробей вида ' и .
Записав зту дробь в вих — 2 х-';2 1 де —,, и используя формулы (15), (16), получаем 4(1 — х'-'/4) 17 1 1 5 (, 4(1 — х'-'/4) 1 -Ь хе ) о еь =~((-1)"+'- ' ) — '. +.(..а"+'). Л у=о Чтобы получить формулу Маклорена произведения тригонометрических функций, часто бывает полезным представить зто произведение в виде суммы тригонометрических функций. Пример 7. Представить формулой 31аклорена с о(хеозз) функцию 1(х), если; 1) )(х) = аш'хсозах; 2) Д(х) = соазх.
д 1 , з 1 л 1) Так как ып хсоа'х = — гйп 2х = — (1 — соа4х), то, применян формулу (13), получаем 3 2 ~ ( — 1) 2 ' зь (25)! у=1 2) Используя равенство созЗх = 4 салех — 3соах, получаем з 1,, 3 з 3( — Ць соа' х = — соа Зх + — соа х = у ' ' (Ззл ' + 1)х'ь + о(хз" ~'). л 4 4 4(2л)! ь=-е П р и м е р 8. Применяя метод неопределенных козффициентов, получить формулу Маклорена с о(ха) функции тих. л так как 16 х -- нечетная функция и тя х = х + о(х), то тих = х + азх + азха + о(х ). Используя формулу ашх = тйх сов х и равенства (12) и (13), получаем з х — — + — + о(х ) = (х + азх~ + паха + о(хе)) ( 1 — — + — + о(ха)) . 3! 5! 2! 4! Приравнивая козффициенты при хз и х", находим 1 1 1 1 ае — — = — — +аз, — „= — — — +аз.
б 2 ' 5! 4! 2! Из втой системы получаем аа = 11'3, аа = 21'15. Следовательно, е тих = х + — + — х' + о(х ). х' 2 а е 3 15 Заметим, что зто равенство мо;кно получить и по обшей формуле (6). л 330 Гл.й. Прилсенение производных к исследованию функций Пример 9. Представить формулой Маклорена с о(хз) функ- цнЮ Еусоеу д Искомая формула должна иметь вид 3 еесоее ~а ху + о(хз) ь=о Так как хссах = х+о(х), (хсобх)ь = ха+ о(х") при 1 = 1,2, ..., то в формуле п е" = ~ ~— + о(сс"), б — о где ьо = хсобх, нужно взять п, = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
