1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 60
Текст из файла (страница 60)
е. 11ш д(х) 1п Т(х), о-оа представив функции д(х) и 1п г"(х) формулами Маклорена. Гл.4. Применение производных к исследованию функций 550 Если 1(х) = 1+ахи+ о(хи), д(х) =, х э О, где а~О, ЬфО, т,зз667 и тп~п, то 1пп ®х))в1е1 = 1 при п > т; (6) л — )о если )и > п и т — и четное число, то П-а*))"' = ~(' (7) если же т > п и т — п нечетное число, то 1пп(г"(х))о)*) не сул — )о ществует.
3) При вычислении предела с помощью формулы Тейлора в конечной точке хо ф О следует положить 1 = х — хо и свести задачу к вычислению предела в точке 1 = О. Случай х — ~ со заменой х = 1)1 сводится к случаю 1 = О. Если имеется неопределенвость одного из видов †, О оо, О со — оо, ее следует привести к неопределенности вида О ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ т)'1-Ь 221г8йх х— е* -)-х Пример 1. Найти 1пп *.— )о агсюп х — вш х д Функции, стоягцие в числителе и знаменателе дроби, являются бесконечно малыми при х г О. Так как вша = х — хз,)6+ о(хз), агсзшх = х+ х~/6+ о(хз), х -+ О, то формула Маклорена для знаменателя дроби имеет вид агсз1пх — 51пх = х~/3+ о(хз), х -э О.
Поэтому числитель дроби следует представить форгиузтой Маклорена с о(хз). Используя формулы /1+1 = 1 + — à — — 1~ + — 1~ + о(1~), Ь -о О, 2 8 16 18*= + — + ( з) *- О получаем )) + 2 З = 1+ -)зьу ) — -)21В )г; — )2~с )' -; —,)~З' ) = 1 1 з 1 2 8 16 ,з „з з х' х х = 1+х+ — — — + — +о(х ) = 1+ х — — + — х' +о(х ). 3 з,з 3 2 2 2 6 Учитывая что ел = 1+х+ — + — + о(х ), 2 6 находим представление формулой Маклорена числителя дроби от+2~в †.*+о= — . + ) ), * О. 3 319.
Вычисление нределое с иолзощью форлзулы Тейлора 351 Таким образом, дробь представляется в виде 2х'/3 -1- о(хз) х †« О, хз/3 + о(хз) ' откуда следует, что искомый предел равен 2. я с ""'3 л — 1/(1 — х) + х /2 Пример 2. Найти 1пп я Используя формулы з з з х х' з Х Х з 1п(1 + х) = х — — + — + о(х ), !п(1 — х) = -х — — — — + о(х ), 2 3 2 3 находим формулу Маклорена для знаменателя дроби; 1п — — 2х = — х' + о(х' )з х — «О. 1+х 2 з з 1 — х 3 Позтому числитель дроби следует представить формулой Маклорена с о(х ). Так как 3 атсзйх = х — — -1- о(х'3), 3 то еиыхз* =1+ (х — — ) + — х + — х +о(х ) = 3) 2 6 з х:с 3 = 1+ х+ — — — '+ о(х ), х — «О.
2 6 1 Заметив, что = 1+ х+ ха + ха + о(хз), х — «О, получаем пред- 1 — х ставление формулой Маклорена числителя дроби: с — + — = — — х +о(х), х — «О. асс«с з 1 Х 7 3 3 1 — х 2 б Таким образом, данную дробь можно записать в виде -7хз/б+ о(хз) т «О, 2хз/3+ о(хз) откуда следует, что искомый предел равен — 7/4. А сон( 3!3 (х/ч! 5) ) — 4',/1 — хз/2 П р и м е р 3. Найти 1пп — «о сй (зза х) — е*'/3 я Используя формулы хз 12 Мпх = х — — + о(хз), х — «О, сиз = 1+ — + — + о(1~), 1 — «О, 6 2 24 получаем 1 (' 2 х ') х 4 Х Х 2 4 сЬ (3!и х) = 1+ — (х — — ) + — + о(х ) = 1+ — — — + о(х ), 21 3/ 24 2 8 х — «О. Учитывая, что е' /3 = 1+ хз/2+ хз/8+ о(хл), находим формулу Маклорена для знаменателя дроби: сЬ (31п х) — е~ /2 = — — хз + о(хз), х — «О.
4 Гл.й. Прилеенение нроизводных к исследованию функций Числитель дроби следует представить формулой Маклорена с о(хл). Так как /5 304/5 соз1 = 1 — — + — + о(т ), 1-4 О, 2 4! то соз ~ вЬ вЂ” ) = 1 — — ( —. + — ') + — — +о(х ) = 1 х« 4! 25 хз х 4 =1 — — — — +о(х ), х — «О. 10 200 1 + — 1 — — 1 + о(1 ), 1 †« О, полу- 5 25 Используя формулу (1+1)'«~ = чаем в е х х х 4 1 — — = 1 — — — —.
+ о(х ), х — «О. 2 10 50 Итак, хц з х- 3 сов (а!з — ') — )/1 — — ' = — х +о(х ), х — «О, 4/5 ) )/ 2 200 и поэтому заданная дробь представляется в виде Зх'/200 4- о(х~) х — + О, -х4/4 -« о(хз) откуда следует, что искомый предел равен — 3/50. а 1п(х + з/Г+ аз) — х + хз/б Пример 4. Найти 1пп Л вЂ” 40 х — 45х А Так как 5Ь х — нечетная функция и 1Ь л = х + о(х) при х -+ — «О, то 3 4 11«х = х+ озх' + о(х ). Используя формулы зЬх = х+ хз/6+0(х~), сЬх = 1+х /2+0(хз) и равенство зЬх = 4ЬхсЬХ, получаем х + тз/6 + 01Х4) = (х + озхз + о(хл))(1 + хз/2 + о(хз)).
Приравнивая коэффициенты при хз в этом равенстве, находим 1/6 = аз + 1/2, откуда оз = -1/3, и, следовательно, 1ЬХ = х — хз/3+ 0(Х4) х — 4ЬХ = хз/3+ о(хл). Поэтому числитель дроои следует представить формулой Маклорена с о(хз). Заметим, что (1п(х+ х/1+ ха))' = 1/Д+*'-', я!9.
Вынисление пределов с пол2ои4ью форл2улы Тейлора где 1/Я+ хз = 1 — хз/2+ о(х~). Позтому 12 182 формула 124)) 1п(х + 1/1 + хз) = х — хз/6 + о(х') и числитель дроби есть о1х4). Таким образом, дробь представляется в виде о)хл) хл/3 4- о1х4) ' откуда следует, что искомый предел равен нулю. А 2 Пример 5. Найти 11ш1соя1хех) — 1п11 — х) — х) "Я' . х — хо А Так как з 1 1 с1д х *' 4- о1х1) ' ф л„ию /Г; ) = соя1хв') — 1п11 — х) — х следует представить формулой Маклорена с о1хз).
Используя равенства хе' = х+ х +о1х~), х — 2 О, соя1= 1 — 12/2+о112), 1 — г О, — 1(1 — )хх + 22+ 23+ (3) — О получаем /1х) = 1 — — х + о1х' ), , 1дх 2-о1х П Г1"Гх)) осях' = (1 — — хо + огх11)), х 1 О, 3 откуда следует, что искомый предел равен е 21~. А ,! 111 — сое 21 Пример 6. Найти 1пп ( х;хо ( х 4- я1п х л Используя формулы 1 — соях = хз/2+ о/хх), Гях = х+ хз/3+ о1х~), ягпх = х — хз/6+ о1х~), х 4 О, получаем ( ) =( ) 1Д1 — осе 21 /2х 4 2хс/3 4 Цхс) ~1Н1 — сов 21 Х+ Я1ПХ/ '1 2х — хс/6 4- 421хл) / 2/3+ ~ .2) 1дх~124-с1х~Ц 1 — хе/12 4- о1хл)! =( ..' 2) откуда следует, что искомый предел равен езО1~ 1 ~1~~11, т.
е. ра- вен в~1~. л 1,,1дх'1Л зх-1П Пример 7. Найти 1пп (соя1яшх) + — 1агсяшх)2) 2-1О ( 2 А Используя формулы соя 1 = 1 — 12/2+ 1~/4! + оЯ, 1 -+ О, я1пх = х — хз/6+ осхл) агсягпх = х+ хз/6+ осх4) т/1+ 2х = 1+ х+ о(х)., х — ~ О, 354 Гл. 4. Применение производных к исследованию функций получаем /(х) = соз(з!и х) + — (агсяп х) = 1 + — х + о(х ), 2 8 П(х)— хг( /1 + 2х — 1) хе + о(хз) Следовательно, искомый предел есть ~ Не~то<**О !пп(/(х))ейй = 1пп (1+ — х + о(х ))) = 1. А Пример 8. Найти !!пт(ъЗ вЂ” х+!п(х/2))'~и" (* л Полагая х — 2 = г, получаем !пп (уг3: х + !п(х/2) ) ~ ~ пи !' з! = 1пп (~/1 — г + 1п(1 + г/2) ) ~ ~ ии '. Так как зьп г = гх + о(! ), т/1 — 1 = 1 — 4/2 — 1 /8+ о(гз), 1п(1 4-4/2) = г/2 — 42/8+ о(4~) при ! — гО, то ( /Г ~ ! (1 ~/~))ГГе1и'1 ( ~а/~ (ГЗ))ГГ(4'чо(4'й откуда следует, что искомый предел равен е 'з~.
А Пример 9. Найти !зш хг24(ъзх + 1+ тзх — 1 — 2фх). е — 4 тес а Используя равенство Ф*+1+ 4х-1-24х=хг14(4/1+1/х+ 4/Г 1,х-2) и полагая 1/х = 1, получаем , 7,~4(4Г + 1+ т4/я+1 124, ) ! ( +~) +(1 ) Š— 4З~Ос г — мо гз Так как (1+ !)ил =1+ -' — —.' Г'+ о(!з), 4 32 то (1+ 4)'з~ + (1 — !)424 — 2 = — — !з + о(1з), 4 — 4 +О, Г6 откуда следует, что искомый предел равен -3/16. л 1 1 Пример 10. Найти 1пп (, * — зо (япхагссях гях ассе!пх) Л Используя формулы япх = х — х'/6+о(х4)., агс18х = х — хз/3+ о(х4), 'с8 х = х + хз/3+ о(х ), агсяп х = х + хз/6+ о(х ), получаем 1 1 48 х агсяп х — яп х ассад х яп х ага!6 х 46 х агсега х яп х агсГа х 48 х агсяп х (х+ х'/3)(х 4- хз/6) — (х — хз/6)(х — хз/6) + о(х4) х' + о(хз) хз 4- о(х') хз + о(х ') у!9.
Вынисление пределов с ползогнью форлгулы Тейлора Зэб откуда следует, что искомый предел равен 1. А ЗАДАЧ И Найти предел (1- 18). з/1-1- хяпх+ 1п сов х — х 1пп ма зз/1 з 1. 1) Бш 2) 1пп 3) 1пп х-за хг х-за хз х-за хг совх — 1 -ухе/2 , . 01гЗх -Ь сов Зх — 2 1пп х — го хз арго х' Гах — япх, . з/! Ч-х-~- (в/1+ х — 2К1 — х х — зО хг х — зо х агсГЗ х — агсяп х 1шг х — го хг ГЗ х — х 2) 1, агсФК х — вхсззп х х ~О ЕШХ вЂ” Х х зО ГЗХ вЂ” Яие 2 агсяи х — агсвш 2х, .
(/1 -1- 2х — 1 х — го х' 41 1 1-!- х сов х — з/1 Ч-2х, . ех — з/Г~- 2х 1пп 6) 1пп х — зо !п(1 Ч-х) — х х — зо 1пСОВх Зсовх-Вагсяпх — 34~1->х, . К1 — хг — хсьдх 1пп 8) !пп :х — го 1п(1 — хг) х — зо хвшх 3.1) 1шз( );2) 1шз( х х — ~0 хг (1+х)'/х — е(1 — х/2), . сов((п/2)совх) 1!пз 4) 1пп х — зо хг х — ьо яп(взпг х) * — гп г* ь'г~ 4. 1) 1шг хго з ! п(1 + хг) — 2 яп х + 2х сов х' 1шз х — зо агсса хз 3) 1пп хЯ -1- яп х — (1/2) ! п(1 -!- хг) — х х — зо г. 4) 1пп е "х — з/1 + хг — х сов х х — го 1п (1 — х) ) )зггз г х — зО х вьп хг 5. 1) !шз Е х"хв Ч- 1а(1 — Х) — 1 хзо 2 — з/4+ х' 3) 1' 1зпз о 1 — К1:хг 1п(е х Ч-в!пх) — 3агсяпх Ч-огх /2 4) 1пп 3 х-го Л+ х' — 2 419. Вычисление пределов с помощью фармульг Тейлора 357 6) !пп х — го 8) !!пг х — го 11.
1) 3) 1пп х — го 5) 1пп х-го 12. 1) 2) 1пп х — го 3) 1пп — о 4) 1пп х — го 5) !пп х — го 13. 1) 3) !пп хгО 4) !!п1 хьо О) !1П1 х — го 6) 1шг х — го 14. 1) 2) 1пп х — ьо 3) !пп х — ьо 4) !!пг х — го 6) 1пп х — го — * — хгг ге 7) !пп вш(хг/7) — (х/3)1п(1 — х) ' г — ьо х-р 18х — яп2х 18 япх — хсовх ех + !п(1 — х) — 1 1пп; 2) !пп ех — х~/1 + х — 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
