1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 55
Текст из файла (страница 55)
+ пе = и — 1 и ~0*~(хг) = О, у; = 0,1,,.пи, — 1, 1 = 1, 2, ..., Ь, то на отрезке ~а; Ь) существует такая точка ~, что ~~'~® = О. 7. Доказать, что корни производной многочлена х(х — 1)(х — 2)(х — 3)(х — 4) действительные, простые и лежат на интервалах (О;1), (1;2), (2;3), (3; 4). 8. Доказать, что все корни уравнения (1+хе)п ' = 0 2 пд (1+х) дх и действительные. гп , е й си — Не 9. Доказать, что все корни уравнения хгпе 1~с = 0 дей- 4 и ствительные.
10. Доказать, что все производные от многочлена с действительными коэффициентами, имеющего только действительные корни, также могут иметь только действительные корни. 11. Доказать, что корни всех производных (порядка т < 2п) многочленов Лежандра ) 1 д(х — Ц вЂ” 2птд дхп действительные, простые и лежат в интервале ( — 1; 1).
12. Доказать, что у мнвгочленвв Лагерра 1п и — и 1,„(х) = ее все корни положительны. 13. Доказать, что у многочленов Чебышева-Зрмитв Нп(х) = ( — 1)пе* все корни действительны и лежат в интервале ( — з/2гпг + 1;,/2л, + 1). 14. Применив теорему Лагранжа к функции 1/х"', доказать, .что Гл.д. Применение производных и исследованию дздннаия при любом и Е И и любом о > 0 справедливо неравенство 1 1[ 1 1 < по:' о ~(п — 1)о по]' 15. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства: 1) п(Ь вЂ” а)ап ' <Ь" — а" <п(Ь вЂ” а)Ь" ' при 0<а<Ь, пеИ; 2) х/(1+ х) < 1п(1+х) < х при х > 0; 3) ех > 1+ х при х Е й; 4) е* > ех при х > 1; 5) х" [!их[,11(схе) при 0 < х < 1, о > О.
16. Доказать, что при х > 0 справедливо равенство /х+ 1 —,Гх = 2. ззх + В(х) где 1/4 < В(х) < 1,12, причем !!пз В(х) = 1/4, 1пп В(х) = 1/2. х — з-ГО .х-зл-оо 1Т. Доказать: если функция 1 дифференцируема п раз при х > О, )'(0) = Г'(О) = ... = (!" 0(0) = О, а (!и!(х) > О при х > О, то и 1(х) > О при х>0. 18. Доказать: если функции 1 и д дифферепцируемы п раз при т > 0 и ((0) = д(0), ('(0) = д'(0), ..., 10' 0(0) = д!" 0(0), ~!пз(х) > > дбб(х) при х > О, то и 1(х) > — д(х) при х > О.
19. Доказать, что если функция 1 дифферепцируема и неограниченна на конечном интервале (а: 6), то ее производная также неограниченна на этом интервале. 20. Доказать, что если функция 1' дифференцируема на конечном или бесконечном интервале (а; Ь) и существуют равные конечные или одного и того же знака бесконечные пределы 1пп 1(х) и !1ш Г(х), х — заН-О х зв — О то существует такая точка 4 е (а; 6), что 1'(С) = О.
21. Пусть 1(х) — 1(0) = хГ'(с(х)), 0 < с(х) < х. Доказать, что если 1(х) = хзш(1пх) при х > 0 и 1(0) = О, то функция с(х) разрывна в сколь угодно малом интервале (О;е), а > О. 22. Доказать, что если функция Г" дифферснцируема при х > а и !пп У(х) =О, то !пп ' =О. Пх) х — зз-~ х — зН-~ х 23. Доказать, что если функция 1 дифферепцируема при х > а и !!пз = О, то !!ш [го(х)[ = О. ~(х) х — зл-ос х пзн-ж 24 Доказать что если функция 1 дифференцируема на отрезке [и; 6), аЬ > О, то а — 6,! (х) 1(Ь) ® гдеа<(<6.
25. Доказать, что если функция 1 удовлетворяет условиям теоремы Ролла на отрезке [а;6[ и не является постоянной, то на этом р16. Теаремы и среднем длн дифференчируемых функций отрезке существуют такие точки ~1 и ~з, что У'(б,) > Оо У'(Ы < О. 26. Доказать, что если функция г" непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; Ь) и не янляется линейной, то су- ществует такая точка ( Е (а;Ь), что ,® ф(Ь) — ф(а) Ь вЂ” а 2Т. Доказать, что если функция ~ дважды дифференцируема на отрезке [а; Ь] и г'(а) = г'(Ь) = О, то существует такая точка д Е (а; Ь), [1~~(с)] ) о ] ! (Ь) — 1(и)].
28. Пусть функция г" непрерывна в некоторой окрестности точ- ки хо и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. До- казать, что если существуют пределы !пп ( (х) и !пп 1 (х), к — оео — Е л — оно+О причем они не равны между собой, то функция Г" недифференцирус- ма в точке хо. 29. Доказать, что если функция г" дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки хо, непрерывна в самой этой точке и существует конечный предел 1ш1 ~'(х), то существует и произл-о хо воднаи ~'(хо)о причем ('(хо) = 1!ш Г"'(х) (иначе говоря, доказать е-оео следствие 3 теоремы Лагранжа), 30. Доказать, что если функция Г дифференцируема на отрезке [1;2], то существует такая точка с Е (1;2), что !(2) — ~(1) = — У'(с). 31.
Доказать, что если функции г" дифферснцируема на отрез- ке [а:Ь], причем Г"(а) = !(Ь), то существует такая точка ~ е (а; Ь), что г'(а) — г(с) = (~(Я))/2. 32. Пусть функция г" непрерывно дифференцируема на интерва- ле (а;Ь) и ее производнаи монотонна на этом интервале.
Доказать, что если ((хо) = О, хо е (и:,Ь), то !цп , = О. ф(х) ° Х'(х) 33. Выяснить, будет ли всегда существовать такан точка ~ Е (а; Ь), что г'(с) = О, если функция г" удовлетворяет всем условиям теоремы Ролла, кроме одного из следующих: а) функция ! непрерывна на отрезке [а: Ь]; б) функция !' имеет во всех точках интервала (а; Ь) конечную или определенного знака бесконечную произнодную; в) 1(а) = !(Ь). 34. Являются ли условия теоремы Ролля необходимыми и дос- таточными для того, чтобы существовала такая точка ~ Е (а; Ь), что г'(~) = ОГ зы Гл.д.
Прилзенение производных и исследованию бренной 35. Выяснить, справедлива ли формула конечных приращений Ла- гранжа на отрезке [ — 1; Ц для функции ) ха1н(1/х), если х ~ О, '( о. если х = О. 36. Пусть функция 1 непрерывно дифференцируема на интерва- ле (а; 6). Верно ли,. что для любого с е (а; 6) существуют такие точки хз Е (а; Ь) и хз е (а; Ь), что ,г"'(с) = ( ) ~(') Г хз х! 37. Пусть функция Г" при любом х Е П и любом Ь > 0 удовлетво- ряет условию [1(х+ 6) — г(х — Ь)[ < Ьз. Доказать, что 1(х) = согза1.
38. Пусть функция г' дифференцируема при всех х Е й и 1пп 1(х) = О. Доказать, что существует точка ( такая, что ('(~) = О. 39. Пусть функция Г" дифференцируема на отрезке [а; 6) и Г'(а)Г'(б) < О. Доказать, что сУществУет точка хо Е (а;б) такал, что У (х.) = О 40. Пусть функция г" (х) имеет непрерывную производную второ- го порядка на Я, и пусть существуют конечные пределы этой функ- ции при х — г — оо и х — ~ +со. Доказать, что найдется точка хо такая, что ~'(хо) = О.
41. Пусть функция г(х) непрерывна на отрезке [а;6] и диффе- ренцируема на интервале (а; 6), где а > О. Доказать, что существует точка ~ Е (а; 6) такая, что аЬ(ЬГ(Ь) — а((а)) з(1( ) ~~,®) Ь вЂ” а 42. Пусть функция г"(х) непрерывна на отрезке [О; Ц, дифферен- цируема на интервале (О;Ц и удовлетворяет условиям: г"(0) = 5, 1"(1) = 3, ('(х) > — 2 для всех х й (О; 1). Доказать, что Г" (х) линей- ная на отрезке [О; Ц функции. 43. Пусть функция 1(х) непрерывна на отрезке [О; 2), дифферен- цируема на интервале (О;2) и удовлетворяет условиям: г"(0) = — 5, г(2) = — 1; 1(х) < — 2 для всех х Е (О;2).
Доказать, что Г(х) ли- нейная на отрезке [О;2) функция. 44. Пусть функция г" (х) дифференцируема при х > 1 и существу- ет конечный 11щ Г(х). Доказать, что Г'(х) не может иметь при х — у — з +со конечного предела, не равного нулю. Может ли 1'(х) не иметь предела при х у +соГ 45. Пусть функция г"(х) определена на интервале (а;Ь) и для любых точек хз и хз из это~о интервала справедливо неравенство [з(хз) У(хз)[ < [хз — хг[, где а > 1. Доказать, что функция Г"(х) постоянна на интервале (а;Ь).
д 17. Правило Лаяитвля 315 ОТВЕТЫ 2. х1 л = (2 ~ ъ'7) /3 3. Е = чг 3/3. 23. Применить теорему Коши о среднем к функциям г" (х) /х и 1/х. 30. Применить теорему Коши о среднем к функцинм 1(х) и 1/х. 2 17. Правило Лопиталя СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности ви- О со да — или — ). Пусть функции 1(х) и д(х): О оо а) дифференцируемы в окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, ирине к у'(х) 7: 0 в этой окрестности: б) функции 1(х) и д(х) являются одновременно либо бесконечно мелильи, либо бесконечно больш ми при х — + а; в) суи1ествувт конечный 1пп х — ха д'(х) Тогда существует 1пп = 1ш1 (1) х †>а д(х) х †д~(Х) Если функции 1(х) и д(х) дифференцируемы в точке а, Г" (а) = = д(а) = О, д'(а) о.
-О, то Т(х) 7 (о) (2) .'- . д(*) д (а) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ хь — 1 Пример 1. Найти 1цп х-ы 2х' — х — 1 а Применяя формулу (2), получаем ха — 1 . 5х~ 1пп = 1пп а =1. а х-а1 2ха — х — 1 х-а1 Оха — 1 Теорема остается в силе при а = +со, а = — со, а также в случае одностороннего предела (х — ь а + О, х — ь а — 0) при выполнении условий а) — в) соответственно на интервалах (б;+ос), ( — со; — б), (а;а+ +д), (а — д;а), д)0.
! Если выполнены условия а), б), а 11ш, равен +се или — со, х — ьа д (Х) 1(х) то 1пп также равен соответственно +эо или -оо. х-~а д(х) х — атсья х П р и м е р 2. Найти 1пп :а — ао ха Гл.4. Применение производных к исследованию функций 3!6 0 А Раскрывая неопределенность вида 0 получаем х — агсскх . 1 — 1Д1+ х ) 11пз з = 11пг 2 хзо хз хзо Зх х-0 по правилу Лопиталя, х 1 Зхе(1+ хе) 3 ' А 1пх Пример 3. Найти 1пп х — 24оо сх А Раскрывая неопределенность вида — по правилу Лопиталя, полУчаем 1а х 1!х 2 1пп — = 1пп = 1пп — = О. а х — х-';ох х,зх х — 2-ссе 121222'х) х — з-~со з/х Применяя правило Лопиталя, часто бывает выгодно предварительно использовать асимптотические равенства вида вше тая е — 1 1!2(1+о) вЬя 1д сс атс13 о атсяп о о, 13) где о = о1Х) -> О при х — ! о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
