1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 58
Текст из файла (страница 58)
При этом функции иф (к = 1,2,3) следует представить формулой Маклорена с о(хз). Исполь- зуи разложение (13), получаем о я=хссах=х — — +о(х ), ьо =х +о(х ), ьо =х +о(х ). 2! Следовательно, б е*""* = ~ —" + о(ср ) = 1+ х — — + о(х ) + — (х~ + о(х~)) + 1с! 2! 2! у=о + — (х + о(х )) + о(х' ) = 1 + х + — х — — х' + о(х ). А 3! х 3 П р и м е р 10. Представить формулой Маклорена с о(хб) функцию 1 Ч-япх А Искомая формула должна иметь вид б Д(х) = ~~~ опх ' + о(х ), ь=-о 1 Поэтому функцию следует представить формулой Маклоре- 1+ япх на с о(хл). Так как еьцх = х+ о(х), то в формуле = ~( — Ц 'е ' + о(е"), у=о где е = япх, нужно взять п = 4.
Применяя форсиулу (12), получаем е=япх=х — — +о(х ), е =х — — х +о(х ), 4 ау,д 1,4 4 3! 3 =т'+о(х ), а =х +о(х ). Следовательно = 1 — ~х — — ) + ~х — — х ) — х + х' + о(х ) = 1-Ьяпх ~' 3!) ~ 3 ) =1 — х+х — — х + — х +о(х,) 5,з 2 6 3 213. Формула Тейлора 331 /(х) =х — х +х — — х + — х +о(х ). 4 2 3 л 6 5 2 6 6 6 3 Пример 11. Представить формулой Маклорена с о(хз""1) функцию: Ц агс13х; 2) агс61пх. а 1) ТаК КаК (аГС13Х)' =, = ~( — 1)ЬХ2'+ О(Х аь') (фар1л-хп ь=о мула (22)), то по формуле (24) получаем 26 р! агс13х = ~ ( — 1) -ь о(х "ь ). (26) 6=6 Полагая в равенстве (26) п = 2, находим х х,' 6 агс13х = х — — + — + о(х ). 3 3 2) Используя равенство (23), получаем (агсзшх) = = 1+ ~~р ь, х + о(х " 1 (21 — Ц!! откуда по формуле (24) находим ф (216 — Ц!! агсзшт = х+ ~ ' ' хзь~1+ о(хз ~2).
(27) 266!(26 6- Ц Из формулы (27) при п = 2 получаем агстйпх = х+ — х + — х + о(х ). а 1 з 3 5 6 6 40 Представление функции /(х) по формуле Тейлора в окрестности точки хе заменой х — хо = 1 обычно сводят к представлению функции д(1) = /(ха+ 1) по формуле маклорена. Зх+ 3 пр р р!.пр фр ' !1*1= ф р рр — 2 . — .Ф рафр„р, °,р„„„„, *=-р,!! рр!"!. а Пусть х + 1 = 1; тогда Дая получения формулы Тейлора для функции /(х) нужно представить функцию д(1) формулой Маклорена с о(12"). Применяя формулу (14), находим а — 1 126 д(1) = — 1+ — 1~ С '!/2( — 1)" — „+ о(1 а), 6=1 где С 1/2( 1) ( 1) 1 ( — 1/2)( — 112 — Ц ( — 1/2 — (1 — Ц) (216 — Ц!! ззг Гл.4.
Применение производне)х к исследованию функций Следовательно, п — 1 («) «+ ~ ( )" «а1,1 + («Ли) 2 26" )й) й=1 Заменяя « на х + 1, получаем 1(х) = †(х + Ц + ~~' „. .. (х + Ц + о((х + Ц ) й 3 3(2й — Цй У=1 П р и м е р 13. Представить формулой Тейлора в окрестности точки х = 2 с о((х — 2)п) функцию «(х) = 1п(2х — хз+ 3). й Так как 2х — ха + 3 = (3 — х)(х+ Ц, то, полагая х — 2 = «, получаем 2х — хе+ 3 = (1 — «)(3+ «) = 3(1 — «)(1+ «))3). Отсюда следует, что «(х) = д(«) = 1п 3 + 1п(1 — «) + 1п(1 + ««3).
Представив функцию д(«) по формуле Маклорена с о(«"), получаем о Е п й д(«) = 1п3 — ~~ — + ~ ~( — Ц1 1 — + о(«'). й йза Е=) й=) Следовательно «(х) = 1пЗ+ ~~ ( — 1) +о((х — 2)"). а 1=-1 ЗАДАЧ И Представить формулой Маклорена с о(хо) функцию (1 — 4). 1. Ц ее' ', 2) гйп(2х+3); 3) соа( —, +2); 4) 5); 6); 7) 1п(ех+ 2): 8) За "; 9) 2. Ц (х — Це*)з 2) (х' — х)в ', 3) 4) (2х + Ц~Л вЂ” х; 5) (2х — 3)1п(5х + 6); 6) 1п 7) 1п '; 8) 1п(ха + Зх + 2); 9) 1п(2 + х — хе). 3+ 2х' 3.
Ц (1 + хл) 1п тЛ+ х; 2) (х — Ц(х + 1п(1 + х)); 6) )1 — *)1 )1 6х) — )16*)1 о — *); 6) *ф9 4— 9т6 6),; 6)1,: 1)) )6611..66. 6 . ); '9 — 6*9-ге %' — Ы 6)1 ( ); 9) )1 — ))и)166*66. ). 418. Формула Тейлора г„ хз 4. 1) ; 2) ; 3) ' ; 4) (х Ч- 1)(х — 2) ' х Ч- 1 ' 2х — 3 ' х — 1 ' 5) 2хя 5 6) Зх — 1 7) х +4х — 1 8) 1 — 2х хе + 5х + 4 ' хг -Ь х — 6 ' хг Ч- 2х — 3 ' 2 + х — хг ' Зхг+ 5х — 5 хг+х — 2 Представить формулой Маклорена с о(ха") функцию (5,6). 5. 1) яЬ(х/2); 2) хсЬЗх; 3) хяйпг2х; 4) хсЬгх; 5) в1пхсов2х; 6) вше х; 7) яЬхсЬ2х; 8) сйп хсоях. 6.
1) 2) 3) 4) х' -Ь 1 ' Зхг — 4 ' Зтз Ч- 10тг Ч- 3 ' хз Ч-хг -ух -> 5) — 1п г : 6) (1 + 2х)е гл — (1 — 2х)ег': 3 хг — е' 7) 1п(х+ъ'ха+1); 8) Представить формулой Маклорена с о(хгаз з) функцию (7-9). 7. 1) совЗх; 2) хасоягх; 3) совхЗхсов5х; 4) сйпхвшЗх; 5) сЬхсЬЗх; 6) яЬхяЬ5х; 7) (4х — хв) вЬ2х. 8. 1) яЬгх; 2) сов" х; 3) в1пгхсов'х, 4) совлх+вш~х; 5) соя" х + язп х; 6) сйп х + сояв х. 9.
1); 2) з; 3) х, 2 — хг — хз ' хз — 8хг + 15 ' Вз 2 — х ' 4) ; 5) ; 6) 1п Я ггх-' + 2 + зз'2 — хг 1 Ч- ззз1 1Ч- т' ' хз — Зхг -Ь 2' 7) 1 — х+ хг — хз 10. Представить формулой Маклорена с о(хва) функцию: 2х' — 10хз Ч- 12 ' хе — х' — 2 ' 1+ х -1- хг 11. Представить формулой Маклорена с о(х~" г') функцию: Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо с о((х— —:ео)") функцию (12 — 16). 12. 1) 1/х, хо = 2; 2) з/хз хо = 1; 3) яш(2х — 3)з хо = 1; 4) хе'-. "хо = — 1; 5) х'е-' хо = — 1 6) (х' — 1)есз хо = — 1. 7) взп(х + 1) вш(х + 2), хо = — 1; 8) (хв + 4х + 2)е я", хо = — 2.
зз. зЗз а.гзЗз =з/з; з) 1 з, уз. -згз, *,=з; 3) !п(2+х — хг) хо = 1, :4) 1п(хг — 7х+ 12), хо = 1. Гл. 4. При еенение производних к исследованию функций 14. 1) !и 07х — 2, хо —— 1: 2) !и ',, та — — 3; е — 2 3) х!п(2 — Зх+ ха), хо = — 2; 4) 1п, хо = 2; 5) !пх1 хо = 1; 6) !в!5+ 14х + 14ха + бтз + хл), хо = — 2. 2х-Ь1 х — 1 15. 1), хо = 2; 2), хо = 2; 3) ', хо = 10; х — 1 ' ' 3 — х ' ' 4-Ьх' 4) х = — — ") =1 6) =3. 2х — 4' 10' х 1 х -Ь 7 х — 2 х(2х+ 7) 1 та — — — 21 8) )х — 3)21 хо — — 2. ц х +4х+4 2 2) х — 4х+5 хе + 10х + 25 ' ' хе — ох + б ' хэ — бх +4х-Ь5 / 1 хе — 5х -)- б (х — 1)2 Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо с оИх— хо)ае) функцию (17-19).
17. 1) е' 2 э* ', хо = — 1; 2) 1х + 3)еэ"э ~в* х = — 3. 3) (х + 2)!п(2хэ + 8х + 11), хо = — 2; .э/э .( 3 4) (х — 5)!п(26 — 10х+хэ), хо = 5; 5) !и „', хо = — 1. ха-Ь 2х-)-2 ' 12. 1), . =1, 2) 1 х+1 ха = — 1; 2 . — *. ее+ 2* 2) * =2. 2) а-((- )' " (х + 1)э й' 2 +2 19. 1) 2 2, хо=1; 2), 5, та=1; хе — 2х -)- 5 ' Зхе — бх -)- 5 ' 3) е, хо=2. хе — 4х -с 8 Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо с оДх— то)э" ') функцию 120-.23). 20. 1) сок "а'"'э х = — 2; 2) е'-" "* хо = 3; 3) 2* *, хо — — 1)(2; 4) 1х+ 3)еэ™'"', хо = — 2:, 5) (х+1)22' еэ*( хо — — — 1; 6) х!х — 2)2* а' ', хо — — 1; 7) 13хэ — 6*+4)еа' ллэа * =1 418.
Формула Тейлора 335 21. 1) яп (х — 1)соа(х — 1), хо — — 1: 2) яп — хсоа — х, ха — — —, й 9 3 гг 2 2 ' 6' лт гг 3) (х+ — )(ашх+ соах), хо = — —,. 4) ' 4' 4) (х — тх)соа ~х+ — ), хо = — ', 5) соатх, хо = — —. 2)' 2' 2х+1 ' 2 22. 1) 1ойа(Зх~ — 24х+ 50), хо = 4; 2) (х+ 2) 1п(2 — х' — 2х), хо = — 1: 3) !о85 л/ *, хо = 1; 4) 1ха + 4х + 2) 1п1 — 2ха — 8х — 5), то = — 2.
23 1), хо=2 2),, хо=2: ,'т - гатт ' ' ттгт-,." Г х 1 — 4х~Ь4х 1 3) 1, хо=1; 4) ', хо= —; )г 2 — х ' ух+ ~/1 — х 2 2х — 3 3 2х — 8х -~- 5 5) , хо= —, 6),, хо=2; хе — Зх -Ь 2 2 хе — 4х+ 3 гх+ Ц (2хе+ 4х+ 1Пхе+ 2х -Ь 3) ' 8) (Зха — бх+ 1)~2х — ха, хо = 1. 24. Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо = 1 3 злее 3 С О((Х вЂ” ХО)ао) фуНКцИЮ 2' ал Ла*.
25. Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо = 2 а* — тг""ч ер егГ(4 — *) — е а — *у*. 26. Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо = 2 с о1(х — 2)5"е') функцию (х — 2)гг (х — 4)(хй — 2х+ 4). 27. Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо — — 1 ((.— 1) "+') ад (1 — е2* — *)г(1 — Р— 2*+2). 28. Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо с о1 г х — хо) ла) фУнкцию: 1) а1п(ха — 2х+3), хо =1; 2) соа(х' — 4х+3), хо = 2; 3) яп(Зх~ + 6х + 4), хо = — 1. 29.
Представить формулой Тейлора в окрестности точки хо с оцх — хо)е" ьа) функцию: /8 х т 1) сов ) — х — 4х+т~, хо = —; 4' ~4 2) яп ) — х — 2х+ — т), хо = —; 4 ) 3) хаш(ха + 2ьгтх), хо — — — агу; 4) хаю(ха + 2х+ 2) соа(ха + 2х), хо = — 1. 30. Представить формулой Маклорена с о(ха) функцию: 1) х ~х~+соа х; 2) яп(х~а+е*; 3) ~х) е', ЙЕ И.
Число п выбрать наибольшим. ззв Гл.4. Применение производных к исследованию функций 31. Найти /)~)(0), если: 1) /(х) = е ', й = 6 2) /(х) = 1/(1 + х + хз), 1 = 32. 3) Х(х) = !/(1 — х4), 1 = 60. 32. Пусть Ре(х) —. многочлсн степени не выше и. Доказать, что л, )у) 1 п(х) — ~' ) (х хо) л=а 33. Представить функцию /(х) в виде многочлена по степеням х — хо если: 1) /(х) = х, хо = 1; 2) /(х) = хл+ 8хз+ 24хз+ 32х+ 17, то = — 2; 3) /(х) = 1 + т + хз + х'., хо = — 1; 4) /(х) = (хз — 8)з, хо = 2. и 34. Пусть /(х) = ~ ~ил(х — хо)~ + о((х — хо)"). Доказать, что л — о у'(х) = ~ ~йал(х — хо)л 1 + о((х — хо)" 1). Ь=1 и — 1 Л 35. Пусть Х(хо + 5) = /(хо) + ~ †„, УОО(хо) + †„, У!"!(хо + ВЬ), 1=1 где 0 < В < 1, и пусть существует /!еь0(хо) ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
