1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 62
Текст из файла (страница 62)
2) Б а* +о ь(ггз — Й вЂ” 3. ~1); 3) Впг (хв — х/2 — (хз + х+ Ц 1гг(1+ 1/х)); х +1 7 х +1 х +х+1) Иш 1п т — гж х х хеЦ-1 ОТВЕТЫ 1. Ц вЂ” 1/2; 2) 1; 3) 1/2; 4) 1/24; 5) 27/4; 6) 1/2; 7) 4/3; 8) 0 2. Ц вЂ” 2; 2) — 1; 3) — 1:, 4) 8/15; 5) — 1; 6) — 2: 7) 7/6; 8) О. 3. Ц вЂ” с/2; 2) 1; 3) 11с/24; 4) зг/4. 4. Ц 3/2 2) 4/3 3) 1/8 4) 1/2.
5) 4 5. Ц 2; 2) 7/8; 3) 1/8; 4) 44: 5) 40/3. 6. Ц 0; 2) 3; 3) — 11/12; 4) — 13/12. 7. Ц вЂ” 1; 2) 2; 3) — 4; 4) 1/8; 5) 3; 6) — 1/4; 7) — 10; 8) — 1. 8. Ц вЂ” 3; 2) 1/8; 3) — 1/6; 4) 5/2:, 5) 7/5; 6) 11/4. 9. Ц 3/4; 2) — 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) — 1/6; 6) — 1/8. 41У. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора 365 10. Ц 4/9; 2) — 1; 3) — 6; 4) 7/6; 5) — 6; 6) 21е/20; 7) 2/5; 8) — 4. 11. Ц 7/4; 2) 3/2; 3) 3/2: 4) 13/15; 5) 4; 6) 1. 12. Ц 15/2; 2) 3/4; 3) 3/7; 4) 23; 5) 9/2; б) 5. 13. Ц 1/18; 2) — 1; 3) 5/(12ез); 4) 1/7; 5) †(11/12) созг 1; б) — 2ег.
14. Ц вЂ” 32/3; 2) 9/16; 3) 9; 4) 28/3; 5) — 72/5; 6) 1/4; 7) — 1; 8) 24/7. 15. Ц 2; 2) 0; 3) — 27/5; 4) (5/2) сов 1; 5) — 3/20; б) 2/т/3. 16. Ц 1; 2) 1/2; 3) 1/2; 4) 7/24; 5) — ч/7/2; 6) 15/ч/2. 17. Ц вЂ” 7/5; 2) 7/45; 3) 1/12; 4) 72/5, 18. Ц 5е/8:, 2) 1/7:, 3) 14/3; 4) 4/3; 5) — 97/12; 6) 8. 19. о= — 1/2, п=4. 20. Ц е 1тг; 2) е 1)г; 3) езтг; 4) е ', 5) е ттг; 6) не существует. 21. Ц 6116; 2) е 116; 3) е 1тз 4) егуз 22 Ц 61,14. 2) етрз, 3) е-г)з.
4) е-г 23. Ц е; 2) е трз, 3) етрз 24. Ц е '; 2) е'тз; 3) е ~116; 4) е 25 Ц е 1дн 2) ег15. 3) е — зрв. 4) 1 114 †.1)гл. 2) 1)6. 3) 6-574. 4) -з)4 27 Ц 6715, 2) зт'16. 3) е-гзрзо. 4) евт'го 28. Ц 5)6) 2) е-'~' 3) е'"г 29. Ц етрзг; 2) е гзтз 3) е 5)г; 4) е 30. Ц езрг; 2) е41116' 3) е 51'г; 4) е '11г 31 . Ц егтз 2) ет 16) 3) егтз; 4) еттв 32.
Ц 6171г 2) е 116. 3) етрв. 4) егвтз 33. Ц е116; 2) е 5116; 3) е; 4) е 34. Ц е 4)в; 2) е) 4 4)дз ); 3) е трв 35 Ц е — трв. 2) сг. 3) е — 4 36 Ц е — гз)61. 2) е — 5)з. 3) р.-т!4 37. Ц ег: 2) е 1'"'; 3) е 1574 4) егл. 38. Ц е г; 2) е ~тв; 3) е ~1~5) 4) е~тз~ 5) е 39. Ц е ', 2) е ; 3) 1; 4) е~в)'" ,10 Ц 171, 2),5754. 3) — 11'в 41. Ц е14715 2) е' 3) ев. 4) етт16 42. Ц е вто; 2) е. 44.
Ц е ': 2) е 45. Ц егрз; 2) етзтоо. 3) ег. 46. Ц е ~1~ 2) е™, 3) 1п(5/4); 4) ез74. 47 Ц ез. 2) ез. 3) ел; 4) е тз; 5) 61)г 48. 1. 49. Ц е г 2) е; 3) етдвс"' Ц 50. Ц Е141гсое 1): 2) ПрсдЕЛ НЕ СущЕСтВуЕт; 3) Е116. 51. е 115 52 2/5 53 Ц 7/6. 2) 3/2 54. Ц вЂ” тт; 2) — тг: 3) 1/6. 666 Гл.д. Применение производных к исследованию купаний 55. — 3. 56. 1) О; 2) О; 3) 1/3: 4) — 1зз2. 57. 1) 1/2; 2) 2+1п2; 3) 1/3. 58. 1) 5/18:, 2) 1/2.
59. 1) 1; 2) 17/12. 66. 1) 2/5; 2) 11/6; 3) — 4/3; 4) 1/2. 6 20. Исследование функций СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Условия возрастания и убывания функции. 1) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; Ь) функция г'(х) строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная Г'(х) была положительна всюду на (а: Ь), т. е. 1 (х) > О, х Е (а; Ь).
2) Длн того чтобы дифференцируемая на интервале (а: Ь) функция г(х) возрастала (нв убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная 1'(х) была неотрицательна всюду на о,.Ь, т. е. ( з (х) > О, х б (а; Ь). 3) Аналогично, достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции Г(х), х Е (а; Ь), является условие Г"'(х) < О, х Е (а; Ь); необходимым и достаточным условием убьзвания - условие 1~(х) < О, х Е (а, Ь). 2. Экстремумы функции.
1) Точка хв называется точкой локального максимума функции Г"(х), если сузцествуст окрестность точки хо, для всех точек которой верно неравенство У(х) < У(хо) Если для всех х ф хе из некоторой окрестности точки хс верно строгое неравенство У(х) < У(хо), то точка хе называется точкой строгого локального максимума функции 1(зз). Аналогично, если в некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство 7'(х) > 1'(хо), то точка хо называется точкой локального мин мума: если для всех х ~ хв из некоторой окрестности точки хс верно строгое неравенство ,((х) > ((хо), то ~очка хе называется точкой строгого локального минимума.
Э УО. Исследование функций зб7 Для краткости слово "локальный" часто опускают и пишут просто "точка минимума" или "точка строгого максимума". Точки максимума и минимума функции называются точками экстремул~а, а значения функции в этих точках. - ее экстремумами. 2) Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции 7"(х), то либо 7"(хо) = О, либо 7'(хо) не существует. Эти условия не являются достаточными. Точки, в которых функция определена, а производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
3) Достаточные условия строгого экстремума (с использованием первой производной). Пусть функция 1(х) дифферснцирусма в некоторой окрестности точки хв, кроме, быть может, самой точки хо, в которой, однако, функция 7(х) непрерывна. Тогда точка хо является точкой строгого максимума, если существует окрестность точки хо, в которой ~'(х) > О при х < хо и ~'(х) < О при х > хо. (1) При выполнении условий (1) приннто говорить, что производная функции при переходе через точку хо меняет знак плюс на знак минус.
Если же ('(х) < О при х < хо и ~'(х) > О при х > хо, (2) т. е. если производная при переходе через точку хо меняет знак минус на плюс, то хо точка строгого минимума. 4) Условия, строгого экстремума (с использованием производных высших порядков). Пусть функция 7" (х) имеет в точке хо производные до порядка п (и Е 7Ч) включительно. Тогда если Г(хо) =Ув(хо) =" = У~" О(хо) =О, а ~'"~(хо) ф О, (3) то при четном п, точка хо является точкой строгого экстремума, причем точкой максимума, если ~~"~(хо) < О, и точкой минимума, если 1ОО(хо) > О; при нечетном п, экстремума в точке хв нет.
В частности, если У (хо) = О, а 7'к(то) ф О; то в точке хо имеетсЯ стРогий максимУм в слУчае 1е(хо) < О и стРо- гий минимум в случае 7"в(хо) > О. 3. Наибольшее и наименьшее значения функции. Для функции, непрерывной на отрезке, существуют на этом отрезке точка, в которой функция привимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение (теорема Нейерштрасса). Гл. 4. Применение производных н исследованию функций Пусть функция Т(х) непрерывна на отрезке [а, Ь) и имеет на нем Ь локальных максимумов в точках х1, хг, ..., хь. Тогда наибольшее значение функции Д(х) на отрезке [а;Ь[ равно наибольшему из чисел Зз(а), ДХ1), Зз(Х2), "., Зз(ХЬ), Зз(Ь).
Аналогично, если функция Д(х) непрерывна на отрезке [а; Ь) и имеет на нем и локальных минимумов в точках х',,х!, ...,х'„, то ее наименьшее значение на этом отрезке равно наименьшему из чисел 1(а), 1(х1), З'(х~), ..., 1(х„), ) (Ь). 4. Условии выпуклости. Точки перегиба. 1) Функция Д(х) называетси выпуклой вниз (или вогнутой вверх) на интервале (а: Ь), если для любых точек х1 и хг этого интервала и любых чисел а1 > О и аз > О таких, что аз+ аз = 1, верно нера- венство з(а~х1 + а2х2) ( ~ (а11(х1) + а21(хг) (4) Геометрический смысл выпуклости вниз функции 1(х) на интервале (а;Ь) О заключается в тон|, что Рнс. 20.1 точки любой дуги графика функции расположены це выше хорды, стягивающей эту дугу (рис.
20.1). Если функция выпукла вниз на некотором интервале, то ее график тоже называют выпуклым вниз. Если при тех же условиях относительно х1, хз, а1, аг выполняется неравенство 1(а1х1 + агх ) > а1 )'(х1) + азДхг), (5) Дйззхз.н агхз З (Х1 то функция Г(х) называется выпуклой вверх (или вогнутой вниз). В том случае, когда при х1 ф хз и а1 > О, аг > О неравенство (4) или (5) является строгим, функция )'(х) называется строго выпуклой вниз или соответственно строго выпуклой вверх на интервале (а;Ь).
Например, функция Д(х) = хг строго выпукла вниз на всей числовой оси. Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вниз этой функции; интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх интервалом (строгой) выпуклости вверх этой функции. Интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз называют интервалами выпуклости.
2) Условия выпуклости функции. Для того чтобы функции 1" (х), дважды дифференцируемая на интервале (а; Ь), была выпуклой вниз ггб. Исследование функция 369 на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная го(х) была неотрицатсльпа на (а;Ь), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
