1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Найти у (х). т ц г аг Ьг я Уравнение (4) в данном случае имеет вид 413. Производная. дифференциал функции 265 Дифференцируя, получим 2х 2у —, + —.д =О. аз Из этого уравнения находим Ьз х д(х)= — — „— ', х6(-а;а), д>0. А аз д Приллер 16. Найти дифференциал функции д = х — Зхз в точке х=2. а 1-й способ. Найдем приращение функции в точке х = 2: Ьд = у(2 + зхх) — д(2) = = 2+ глх — 3(2+ Ьх)2 — 2+ 12 = — 111лх — 31лх . Приращение функции представлено в виде (5), в данном случае оказалось, что А = — 11 и о(ззх) = — 31зх — ь 0 при зхх — ~ О. Следовательно, 61д~ -6 = — 11дх. 2-й способ.
Вычислим производную функции в точке х = 2: у'(х) = 1 — бх, д'(2) = — 11. По формуле (6) находим 41д(2) = д'(2)42х = — 11Дх, а Пример 17. Найти дифференциал функции д = с183х. а По формуле (7) находим 3 н16 41д=д(х)41х= — ., 61х, тф —, 166а. а гди Зх 3 Пример 18. Найти приближенное значение функции д =,/х в точке х = 3,98. а Положив в формуле (8) д = х/х, хо = 4, Дгх = — 0,02, получим 4/3,98 - ъ/4+ ( — 0,002), т/3,98 — 14995.
а 25/4 П р и м е р 19. Вычислить дифференциал функции д = хъ~64 — тз + 64агсз1п(х/8). а Используя свойства дифференциала, получаем 42д = 4((хз/64 — хз) + 44(64 агсбш(х/8)) = = х42~/61 — тз+ Х/64 — т241х+ 64фагсзш(х/8) = 4 6464 — * 4.':64 64 — — *46 + Х/64 — х241х+64 = 2~64 — хафх, ~х~ ( 8. А 4/64 — хз ,/64- —.6 Гл. л. Производная и дифференциал ЗАДАЧ И 1. Найти /'(хо), если: 1) / = хз, хо = 0,1; 2) / = 2 вьц Зх, хо = зг/6; 3) /=1+1п2х,, хо =1; 4) /=х+ с18х, хо =зг/4. 2. Найти /'(х) и указать область существовании производной, если: 1) / = хз + 2х; 2) / = 1/х; 3) / = 1/х: 4) / = х з/х; 5) / = 1/(1 + хв); 6) / = 2"+', 7) / = 1п х; 8) / = яп 2х; 9) / = с18х+ 2; 10) /= агсяпх; 11) /= агссовЗх: 1 2) / = 7 асс!8 (х + 1) . Вычислить производную функции д = /(х).
Указать область сузцествовапин производной (3 — 38). 3. у = хз + хз -1- х + 1. 4. у = ил.з -!- (зхз + сх + д. 5. у=7х +13х . 6. у= — +е. 7. д= —, + — + —. !из ., а Ь х хз хз хл ' 8 д гх+ з/х+ тл/х 9 д — х Л+х — з+ з з/язв+ 7 зг- 11,:Л . — Л 12. д = "+', ф 0 13. у = ' о*+6 сх-вд,' ха+ х-Ь7 2+ (з/хз 15. у = 5хсовх. 16. у = (х+1)18х.
17. д = х~с18х+2. ( япх/х, х ф О, з/х япх+совх 1, х=0 ' глх' ' ' сова — яах = х агав!их. 21. у = агс18х+ х+ агсс18х. 22. у 23. у = агс18вх. 24. у = агсяп х (Я)л + (,/ос) — а 27 д (хз 28. у = 2* 1п ~х~. 29. у = е' 1о8а х. 25. у = !пх з 9 27 х 2хз — 7х+ 8)е'. 30. у = 1о8зх 1пх 1о8зх. агсвьп х д= 31. у = !о8л2. 32. у = !о8 2'. 33.
34. у = е™(ов!и!зх — бсовух). 35. у = в1гх с1гх. Пример 20. Пусть и и о дифференцируемые функции и их дифференциалы с!зз и с(о известны. Найти с/у, если у = агс18 (и/с) + !и т/из + цз. а с1д = с!агсг8 — + — Н1п(и + о ) =,, +— и 1 в з д(и/о) 1 д(и + оз) о 2 1 Ч-из/оз 2 из + оз + оди — идо иди-сиди (о+ и)ди-'; (о — и)до з в и+о >О.а из -Ь оз из -'с оз из Ч- оз 41з. Производная.
/1и4ференциал функции д = яЬ х — сВ-х. 37. р = —,. 38. р = — ' в, 3 гззх, шх сЬех ' сгйх 46. р = (ах+ 5) совх+ (ох+ г() вшх, хо = О. Р = згсгбх агссоах, хо = О. 48. Р = 1о8з х1п2х, хо = 1. д= — '; хо=с. 50. д=хве ', хо=5. 1пх ' д = х яЬ 2х, хо = 1. 47 49 51 Найти производную функции (52-.152). 52 д = (Зх — 7)'о (1 .)-вв (1 )-вв + (1 )-вт 99 49 97 54. д = (а+Ьх) . 55. д = (0,4соя(8х+ 5) — 0,6в1п0,8х)з. соя 3 1 56.
д = х — — яш(2х+3). 57. д = (асоях+ Ьяшх) 2 4 — уз з 1 к па 58. д = Ае у ' в1п(изх + а). 59. р = ( т/х + — / к/х /~ з 60 Ь=ЕЗ2Е З* +Т 61 З= ЕЗ9З-7 2.. св у=У 1 + хз 63.д=" ' . 64.д= ,Л +Р( '-'+ Л ц-*') а х -ь4 к/хз ц- изхае — з/хеа — з/ав 65. д= . 66.д= .,аЛ -'-ек ег ' з 67. д = сов(1/х). 68. д = с18хв — (1/3)18в2х.
69. д= ( ). 70. д=е '/'. 71. д=2"пз'. г8 2х — сгх 2х 1 х 1 в|п х сов х 72. д = — агс18 — — — агс18 —. 73. д = ' + 2 2 3 3 14- свах 14- гях тз.з= Груз(* .~* ). тз, з= Я + х' 76 Р = 1п1п(х/2). 77 д = 1о8в(2х + 3) . 78 д = 1п ~ в1пх~. Вычислить производную функции д = /(х) в точке хо (39-5Ц. 39. д = (х+ 1)(х+ 2)(х ц-3)(в+ 4), хо — — — 3.
40. д=(х — а)(х — Ь)(х — с), хо =а.. 41. д= ', а ~Ь, хо =а. 42. д = (1+ ахи)(1 + Ьх"), хо = 1. 43. д = х(х — 1)(х — 2)...(х — 1984)(х — 1985), хо = О, хо = 1985. 44. р = (2 — хз) соях+ 2хв1пх, хо = О. сйп х — х сов х сов х 4- х сйп х 2 Гл.3. Производная и дззфференциал 79. д = яш1п~х~. 80. д = соя —. 81.
у = Зи"'Я1а" 1 1обз х 82. у = агсс182'. 83. у = 10*/'еяз'. 84. у = агсл8 2 4х — 5 /31 и/311 1 х — 1 85. у = — агсгх . 86. у = л/сЬх. 87. д = агс18 ГЬх з/2 л/2х 1, ъ'2 14- из2ГЬх 88. у = — ГЬх+ — 1п . 89. у = г4псояех сояг4п х 2 8 1 — из2Ф!зх 90. у = 18ах/(48ха) 91. д = 1и 18(х/2) — соях 1п ЬКх. 92. д = — 1яш1пх+соя1пх). 93. д = сояих сояпх. 2 94.
у = — 1п(1+ хз) — — 1гз11 + хл)— 2 4 2(1 -1- т.'-') 95. у = 1п(ха + з/хл + 1). 96. у = 2х1п12х+л/4хе+1) — ъ'4ха+1, 97. у = я1п1агся|пх) 98. д = соя(2 агссоя х). 99. у = соя13 агссоя х). 100. у = — агсяш(„/ — яшх). 101. у = агссоя из2 3 хз" + 1 102.
= 1 х -н 2 / 1х -> 2Их я- 3) '=.( )а- 1, /.2+х.3)Я 2г/8 1 з/2 — хъ'3 / 104. у = — 1п ( ) — — агс18 — ". 105. у = 2"и* . и/2 г х+;/2 ) ъ'3 изЗ зое. 5 = з"'*" зог, з = 'у:*Уе+е. зее. з = зге'* 109. у = 1оце1одз1оц,х. 110. у = 1п1п1пх~. ззз. з =,З ~ ~ — е(зЗ, -~, Т~ и,е. 112. у = — 1~(ъ/хз+ и/Т+хе). 113. р = Где~+1 соязх. 2 7 114. у = и( '2, — ' 2 ) ззе з — 'ве' 7) 116.
у = 1п . 117. у = — агс18 /еах — 1. 1 4- Я1зз х з/езе — 1 118. у = ', — 1п сгЬ вЂ”. 119. У = 1п 18 — +, ). яЬ ех' 2' (4 2 120. у = агссоя1яшхе — соя хе). 1 1 гбп'х 122 1 и3 — '/2соях в1п х -Н 1 гбп х 4- 1 ч'3 -Н з/2 соя х 1 Ь-Насоях-Н,IР— азв1пх 123. у = 1п Л~ — ае а 4- Ь соя х 124.
у = х/2+ и/3 агс18118 1х/2))/и/3. 413. Производная. Дифференциал функции 36.6)н — ) Ззн)) '6О. япо. вшх агсяп 1 — сое о сов х 1 1 ц- х 1+ х сова !п — с!6 о !и вшо 1 — х 1 — хсово х — сое о ) З .6 - 2 . —;- 1 6 46 япо ха~аз + хз + а- !п(тз + т/аз + х").
6)Г2 1 Ц- н)21Ьх Ф!г х + — !и 4 1 — ъГ21!6 х е х ца а х !и + — агс18 — ' 6)) Хз + !)6 хтза — х' + а' агсяп —. — х )а! х + с!8 х !п(1 + зш х) — !и 18 (х,)2). х — !и т)'Г+ез' + е ' агссг6 е*. 1 — ъ'хо; 1+ 2ъ'хо !п + ъ'3 агсг8 О),ЯС Я 6 л н)хз + 1 — н)2х н)2х !п — агс18 нйз + 1 ц- ~/2х ~/х'+1 ' !и 2х +4х+4 + 4 асс!8 (х + Ц вЂ” агсс8 (2х + 1) . 2хе+ 2х+ 1 3х+ 2 з (х — 1)6 8 2х+ 1 + !и, + — агс18 хз+х+1 хз+х+1 н)3 ъ)3 3 — япх з .. 1-ь япх — 2' .66 н)2 . ) 6Й67) '6 Г)6 66 'Рн — )Р 166. у= хг~)п'.
143. у = !о8 7. !обз х . !о8, е + !о8з х !и 2. Х2,))пл 2Х)ое„есгяп 6 + Ег НЗ/)оя 6 146 у Хз х' . 148. у = 2* . 149. у = х' . 150. у = ~ з!ох~поп'. (агсз)пяп т)6666нз. 152. у = (с!)х)' . 125 126. д = 127. у = 128. 129. 130. 131. 132. 'ч 133. 134. 135. 13т. у= 138. 139. 140. 142 144. 145 147. 151 Вычислить производную функции в указанных точках (153 — 166). 153. у =,, х = О, х = 1. 1 — х -)- хе 154.
у = (1+ х)ъ/2+ха зУ3+ хз, х = О. 155. д = 26е)г1 1, х = 1/х. 666. 6 =3 2* — ) —.) 2 )6 *6с *), *= )6. Гл. о. Проигводнан и дифференциал 142.2=1214* !1241412 42 4 41 2 122. 2 = '1 т41 . — 1,2,„. 4~Л *Т1 2, 4 2, 159. у = 1п(1+ а1п х) — 2япх агота япх, х = гг/2. 160. у = агсяп(2х/(1+ хз)), х = О, х = 2.
161. д = агсв1п((1 — хг)/(1+ хг)), х = — 1, х = 1, х = О. хг — х Ь1 лГ3 162. у = 1и, +21/Загс18 2, х = 1. х" -Ь 2хг -Ь 1 1 — 2ха ' 122. 2 = г/ 22выг! 'и, . = !. 144. 2 = 22 )"'*, *= ° . 165. у = (л/Г+ 3')1" е, х = 1. 166. у = ((япх)/х)*, х = 1г/2. Л1 Лг " Лп Уп Л2 " Л =Е Л1 Л2 " Лп Л1 222 "' 22п, Лп 1пг /п1 Лп2 " г пп 171. С помощью найти 23'(х), если: 1 2 1) Ь(х)= х 1 формулы, приведенной в предыдущей задаче, х — 1 2) гл(х) = 4 7 2 3 х — 5 6 8 х — 9 3 2 1 167. Решить уравнение д'(х) = О, если: 2 1) у = хз — бх'+9х+12; 2) у = хг — 102 -Ь 25 ' 3) у = , ; 4) у = х(х — 1)г(х — 2)г; 1-Ь в1п х 5) у = е ~' ц/(1+х); б) у = игах(7х — бхг, (х(з). 168. Пусть /(х), х 6 17, всюду дифференцируемая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
