1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1 1+хе 1 + х" 6) Гиперболические функции: (аЬх)' = сЬх, х Е Я; (сЬз:)' = аЬх, т Е Я; (1Ьх)' = „, х Е Я; (суЬх)' = — „, т, ~ О. вЬзх' 4. Вычисление производной сложной функции. Если функция у = Д(зз) имеет производную в точке хо, а функция г = д(у) в точке уо = Д(хо), то сложная функция (композиция ( и д) г —— р(х) = = д(1(х)) также имеет производную в точке хо, причем у (хо) = д (уо)У (хо).
(1) Опуская аргумент и используя другое обозначение для производных, формулу (1) можно переписать в виде ду (2) Их ду Их 513. Првизввднак. Дифференциал функции 259 Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций.
Например, для сложной функции вида е(у(х(1))) в случае диффсренцируемости функций х(1), у(х), х(у) соответственно в точках 1о, хо — — х(1о), уо — — у(хо) в точке 19 имеет место равенство И ду йх: дг йу дх де б. Понятия бесконечной и односторонней производных. Если 1пп ф(х, + Ьх) — 1(хе) =+ж, Ье — >О Ьх то говорят, что функция ~ в точке хо имеет бесконечную положительную производную. Аналогично, функция г" в точке хо имеет бесконечную отрицательную производную, если 1гп1 ' = — сс.
ф(хе 1 ььх) т(хь) а. о лтх Односторонние пределы 1пп У(хе + Ьх) — ф(х,) и 1пп .((* + ~ ) — У(* ) ье — >.ьо йьх а — о льх называют соответственно правой и левой производнььки функции 1 в точке хо и обозначают У~ь(хо) и У' (хо). Для существования производной функции ~ в точке необходимо и достаточно существования в этой точке правой и левой производных и их равенство.
Функция Г' называется дифферениируельой на отрезке (а1в), если она диффсренцируема на интервале (а;(з) и существуют конечные односторонние производные Д (а) и Г' (О). 6. Производная обратной функции. Пусть функция у = 1(х) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки хо, и Фх) пусть в этой точке существует производная ф О; тогда обратйх ная функция 1 ~(у) в точке уо = 1(хо) имеет производную, которая может быть найдена по формуле йз (уе) 1 ду иУ(хе) ' дх 7.
Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции х = х(1) и у = у(1) определены в некоторой окрестности точки 1о и параметричсски задают в окрестности точки х = х(19) функцию у = ф(х). Тогда, если х(1) и у(1) имеют в точке 1о производные и если дх(1 ) М ф О, то функция у = г"(х) в точке хо также 260 Гл. Ю.
Проеоводная а дифференциал имеет производную, которая может быть найдена по формуле дуйо) се'с 'о) и дх дхйо) дС Эту формулу обычно записывают короче; у.(хо) = "',","'. (3) 8. Производная функции, заданной неявно. Если дифферепцируемая на некотором интервале функция у = у(х) задана неявно уравнением Р'(х;у) = О, то ее производную у'(х) можно найти из уравнения д — Г(х;у) = О. дх (4) 9. Дифференциал функции. Если приращение ~у = з'схо+~х) — т'схо) функции у = 7(х) в точке хо представимо в виде слу = А(хо)схх+ М 5х)охх (5) где А(хо) не зависит от слх и а(Ьх) -~ О при Ьх -ч О, то функция у = Дх) называется дифференцируелсой в точке хо, а произведение А(хо)слх называется ее дифференциалом в точке хо и обозначаетсн йР(хо) нли ду~. —,,„.
Таким образом, если равенство (5) верно, то ду~л — „= А(хо)Ьх. Дифференциалолс дх независимой переменной х называется ее приращение слх, т. е. по определению полагают дх = слх. Для дифференцируемости функции в точке (т. е. для существования дифференциала) необходимо и достаточно, чтобы фушсция имела н втой точке конечную производную. Дифференциал функции у = Дх) в точке хо выражается через произнодную ~'(хо) следующим образом: Ф(хо) = 7'(хо)дх Ф) Эта форлсула позволяет вычислять дифференциалы функций, если известны их производные.
Если функция у = 7'(х) дифференцируема в каждой точке интерду = ) (х)йх (7) для всех х Е (а; 6). Равенство (5) может быть записано в виде ус,хо + сх) = у(хо) + йу(хо) + сс(охх)ссх. Если ду(хо) ф О, то для приближенного вычисления значения функции в точке хо + слх можно пользоваться формулой у(хо + ссх) ус,хо) + ду(хо), (8) д 18. Производная, дифференциал функции 261 так как абсолютная и относительная погрешности при таком прибли- жении сколь угодно малы при достаточно малом г3х, 10. Свойства дифференциала. 1'. Для любых дифференцируенгых функций и и о справедливы равенства г1 (ии + Де) = о Йи + )з г1гз где гг и ф . произвольные постоянные, г1(ио) = иг1е+ наги, г1( — ) =,, и ф О. 2'. Формула длн дифференциала г1у = /'(х)г1х справедлива и в том случае, когда х является не независимой переменной, а функцией.
Это свойство называют саойстеолг инвариантнасти форлы дифференциала. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Вычислить производную функции / = фхагссозх+ 21оязх+ ет/х, х Е (О:Ц. та ~ а /' = ( ъ'х агссоа х) ' + 2(1ойз т)' + ( —,) хз = фх(агссоз х)' + агссозх( фх)' + 2 + т1а2 х (ет)' — е*(хз)' фт атссонт 2 (х — 2)а* х' ъг1 — т Зззггхз х1п 2 тз Пример 2. Вычислить производную функции т = 1пз1пх в точке хо = зг/3. а Функция з = из(х) = 1пз|пх является композицией двух функций: у = /(х) = аш х и т = д(у) = 1п у. Функция /(х) = гйпх в точке хо = г./3 имеет производную, причем /'(л/3) = соз(я/3) = 1/2.
Функпин д(у) = 1пу в точке уо — — зш та — — з1п(я/3) = ъГЗ/2 также имеет производную, причем д'(ъГЗ/2) = 2/ъ'3. По формуле (Ц получаем из'(л/3) = д'(ъ/3/2)/'(к/3) = (2/ъ'3)(1/2) = 1/ъ'3, а П р и м е р 3. Вычислить производную функции з = Ъ/1+ хз, х Е Й. а Данная функция является композицией функций у = 1+ хз и т = гу, причем ду дт 1 — =2х и дт ду 2 'у По формуле (2) получаем 1 х — = — 2х = А дт 2ъгУ ъг1 + хз Гл. 3. Проиееоднан и дифференциал П р и м е р 4. Найти производную функции: 1) р = 2егв ', х ~ ггЬ, Й Е Е; 2) р = 1п сов агсгя яЬ2х, х Е Й.
А 1) Применив дважды правило дифференцирования сложной функции, получим р' = 2" в е 1п 2 (ссц х)' = 2"'в х 1п 2. 2 агах (сто х)'. Следовательно, р'= — 21п2 2"в "',, хфиЬ, ЙЕ7. я1п' г. 2) Применяем правило дифференцирования сложной функции четыре раза: 1 — я!и агссй яЬ2х р = (соя агсгя вЬ2х)' = (агсгй яЬ2х)' = соя агсгй вЬ 2т соя агсгд вЬ2х = — 1а агсьп яЬ2х, (яЬ2х) = — ' ',; сЬ2х (2х) .
1 яЬ 2х 1-Ь яЬе2х 1 ж яЬа2л Следовательно, р 2вЬ2хсЬ2х р = — ., = — 21Ь2х, .хай. А 1+ яЬе2х П р и м е р 5. Найти производную функции у=1п Я ', хфх(2п+1), пай. 1-Ь сов х' а Здесь выгодно предварительно упростить формулу, с помощью которой задана функция: 1, 1 х 1 р = — 1пе* — — 1п(1+ совх) = — ' — — 1п(1+ соях).
3 3 3 3 Дифференцируя, получаем 1 1 (совх)' 1 1 ясах 1+ 131х/2) 3 3 1Ч-совх 3 3 1-';сонг 3 П р и м е р 6. Найти производную функции 1+х у=,, хфлп, пай. Б~я1п х' А Здесь удобно рассмотреть функцию е = 1п ~р~. По формуле дифференцирования сложной функции имеем де де ду 1 ду дх ду дх у дх ' т.
е. ду де (й) дх дх Записав функцию г в виде я = 1п (р~ = 1п(1 + х ) — — 1п ~х~ — 7 1п ~я1п х~, 4 у 13. Производная. Дифференциал фуннции 2бл продиффоренцируем ее: дз 2х 4 дх 1 -Ьхг Зх сое х е1п х дз — в формулу (9)г получим дх 4 сон х ) Зх егпх / Подставив найденное выражение для ду 1+х ( 2х хгхг е1пг х 1 + х Пример 10. Найти г' (0) и 1' (0), если: 1) Д(х) = ~ а1п2х~; 2) ((х) =- ( 1) (г (О) 1. (н1п2гхх~ 1. е1и2глх гх -н-о Гах л, ео Ьх (г (О) 1.
) е1гг 2гхх! 1. е1и 2лхх гьл-г — О глзг Ле — г — а гьх г,газ г,газ 2) ~+(0) = 1птг ' =+оог (' (0) = 1пп = О. А ри н-о Ьх ' Пе- -о гхх Пример 7. Пусть и(х) и и(х) дифференцируемые функции, причем и(х) > О. Доказать, что (глн)' = и" 1п и . и' + и гле 'и'. (10) Л Пусть у = и"'; тогда 1пу = и1пи, у'/у = и'1пи+ни'(и, откуда получаем форьчгулу (10). Согласно формуле (10) производная функции ии равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое производная показательной функции омм (а = сопаб), второе слагаемое производная степенной функции (и(х))' (Ь = сопят). Формгулчу (10) можно записать в виде (и") = и" (1пи и -~- — и ). А (11) и При мер 8.
Найти производную функции: 1) у=(2+соах)", хЕЯ; 2) у=х', х>0. л 1) По формуле (11) находим д' = (2+ соах)*(1п(2+ собх) — ), х Е Я. 2+ соех 1 2) 1г' = 2а (1пх 2'1п2+ 2'ггх) = 2*хе (1п2 1пх+ 1ггх). а Пример 9. Доказать, что функции: ) в точке х = 0 имеют бесконечную положительную производную. й 1) гн(0) = 1гпг = 1пп — = 1цп =+со; У(дгх) — )'(О) . ~(Хх . 1 гх* — го Ьх Ьх ' о глгг газ — го,згггтхг 2) д'(0) = 1пп д(Ьх) — д(0) . 1/Ьх . 1 1пп ' = 1цп, = -~-со, А л — го Ьх гх,— го лхх л — го глхг Гл. Ю.
Проивваднан и дифференциал Пример 11. Найти производную функции, обратной к функции у=х+хз, хЕЯ. я Данная функция всюду непрерывна и строго монотонна, ее производная — = 1 + Зх не обращается в нуль ни в одной точке, ду г дх поэтов|у Их 1 А ду 1+ Зхг Пример 12. Найти у'(х), если х = вЬу. А Функция х = яЬу непрерывна и строго монотонна при всех у Е Я. Производная х' = сЬ у не обращается в нуль ни в одной точке.
Следовательно, у'(х) = 1 1 1 1 х'(у) сЬу ~~ ~,,~ „~-ьхе Функция у(х), т. е. функция, обратная для гиперболического си- нуса, обозначается атвЬх. Таким образом, (агвЬх)' =, х Е Я. А 1+ хг Пример 13. Функция у = г"(х) задана параметрически формулалги х = а сова 1, У = Ьь1п' гг Ь Е (О:, Ягг2). Найти У,'. а Функции х(1) и у(1) дифференцируемы при всех й и х', = = — Засовг гвш1 У'= О на интеРвале (Ог Ягг2).
По фоРмУле (3) находим уг ЗЬя1пгвсовс Ь / гг Л х~~ — За,совггяшс а ' (, ' 2 ) При леер 14. Функция у = 1(х) задана уравнением г = а(1+ соя цг), гг Е (О; 2я!3), где г и гг полярные координаты точки (х,у). Найти у,'. А Перейдем к параметрическому заданию функции х = гсовгр = а(1+соввг)совгр, у = гвшцг = а(1+савве)яшвг и воспользуемся формулой (3): Угг а(1 -~- сов гР) сов гг — а шпг Вг сов Вг ж сов 2яг х'. а(1-ясов р)вшягц-асов рвшгр шпр-~-сйп2р сов(Згргг2) сов(ргг2) Зр ( 2.г) в1п(Зргг2) сов(яг/2) 2 ' л ' 3 / П р и м е р 15. Пусть у = у(х), х Е ( — а: а), — — положительная функ- г ция, заданная неявно уравнением — + — ', = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
