1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Данная функция нечетная. Если х > О, то л .) = ФТР + (, 4 поэтому с ростом х от О до +со значения 1(х) строго убывают от 2 +со до 1. График функции показан на рис. 11.5. а 1 Пример 3. Найти все асимп- 4 — 2 О 2 4 х тоты графика функции 1'1х) и построить его, если; — 2 1) 11х) = 2) 11х) = г) г() =г (г*(4 — (. л 1) Функцин определена и непрерывна нсюду, кроме х = 1, и х — 2х х — 2х 1пп = +со, 11пг = — со, 2-О х — 1,— ЬО х — 1 следовательно, график имеет только одну нертикальную асимпто- 230 Гл.2.
Предел и непрерывность функции ту х = 1. Поскольку =х — 1 —— (22) прямая у = х — 1 является, очевидно, наклонной асимптотой графика и при х -ь +ос, и при х -ь -сс. При х > 1 функции х — 1 и — 1/(х — 1) строго возрастают, значит, и их сумма, т. е. данная функция, строго возрастает. Аналогично, при х < 1 данная функция строго возрастает.
Из (22) видно, что при х е +ос точки графика приближаются к асимптоте снизу (1(х) < х — 1), а при х ††сверху. График показан на рис. 11.6. 2) Функция определена и непрерывна во всех точках, кроме х = О, и у4хк+1 Рис. 11.6 11ш = +ос, е-ье (х) т. е. т. = О вертикальная асимптота графика.
Выясним, ость ли асимптоты при х -ь +ос. Находим (см. формулы (5) и (6)) ф(х) / 1 = ~(4+ — т — ь 2 при х — ь +ос, х 1I х иг4х' + 1 — 2х 1 1'(х) — 2х — — †Πпри х — ~ +ос. х х(иг4хк л- 1 л- 2хе) Значит, у = 2х наклонная асимптота графика при х — ь +ос, причеле г"(х) > 2х, т. е. точки графика при х — ь +ос приближаются к асимптотс сверху. Палее, 1пп = 1пп ( — „14+ т) = — 2, 1'(х) !шь (г(х) + 2х) = — ~/4хд -Ь 1 -Ь 2х — 1 1пп = Ппь =О, л-ь — ее .'Е е-ь — ьь х(2хе -~- ъГ4х" + 1) значит, у = — 2х наклонная асимптота при х — ~ — оо.
Отметиаб что Дх) > — 2х, т. е. точки графика при т, — ь — сс приближаются к асимптоте у = — 2х сверху. Теперь исследуем функцию на монотонность. Поскольку ((х) = = 4хз+ . > 2, 4хз —. =2, причем знак равенстна имеет место лишь при 4хз = 1/хз, т. е. при х = х1/;Г2, значение функции Д1/иГ2) = 2 явлнется наименьшим на интервале (О;+ос). На интервале (О;1/~/2) функция строго убывает, так как если О < хь < хз < 1/ъ'2, то *1*. 211.
Асимитоты и графики функяиа 1 О хг2 ъг 2 Рис. 11.7 Пример 4. Найти все асимптоты кривой Н вЂ” 21 игР+ 1 х=, д= 1 — 1 и построить эту кривую. ,и Функции х(1) и у(1) опроделены для всех значений 1, кроме 1 = О и 1= 1. Находим пределы этих функций при 1-1 -сс, 1-1 +ос, а также левые и правые пределы в точках 1=0и1=1: 1) 1пп х(1) = — ос, 1пп у(1) = Рис. 11.8 2) 1ш1 х(1) = — О, 1пп у(1) = — сс, 1пп х(1) =+О, 1пп у(1) =+со:, 1 г О ' 1 х О ' 1 ~+О 'г ~хе Аналогично доказывается, что на интервале (1 функция строго возрастает. Функция четная. График ажен на рис. П.7. 3) Функция определена и непрерывна при ~х~ > 2, значит, вертикальных асимптот не имеет.
Функция четная, рассмотрим ее при х > 2. Здесь функция строго возрастает. Используя равенство )'(х) = 3 чгх+2~й — 2 х и учитывая, что ! 1пп уг'х + 2 = 2, ! х — гз -2 2 х при х — у 2 находим Дх) = 3/х — 2+ о(ъ х — 2), т. с. график данной функции "схож" с графиком функции у = З~Гт 2 (рис. 11.8). Находим последовательно пределы (формулы (5) и (6)): 1пп = 1пп 1(х) . З,~х'-: 4 3 х — гехи х:г — г+хх 2х 2' 3 ) З 1пп (.7(х) — — х) = — 11п1 х = О; х — гнхе 1 2 ' 2 х-гХхи ЪгХ2 — 4-~-Х отсюда следует, что график имеет наклонную асимптоту р = Зх/2. График данной функции, изображенный на рис.
11.8, является частью гиперболы, заданной уравнением — — — =1; 4 9 другая часть гиперболы изображена на этом рисунке штрихпунктирной линией. й 232 Гл. у. Предел и непрерывность функции Рис. 11.10 у 3) 1нп х(1) =+сю«1ш«у(1) = и'2+0, | с -~-о 1 — «« — Е ' «-1 — О 1ш1 х(1) = — сю«1йп у(1) = ъ'2+ 0; «- 1-ЬО «- ~-ю 4) 1ш«х(1) = +ос, 1пп д(1) = +ос. ь — «-Гос ь — «Н-оо Из 2) следует, что прямая х = 0 .- вертикаль- О е ная асимптота кривой, причем кривая при д — > — со приближается к асимптоте слева (х(1) < 0), а при у — э +со справа (х(1) > 0) (рис. 11.9). Из 3) заключаем, что прямая у = чу гори- 1 — « — О зонтальная асимптота кривой и при х э -оо, и при Р с 11у х — г +ос, причем в обоих случаях кривая приближа- ется к асимптоте сверху (рис.
11.10). В случаях 1) и 4) исследуем, имеет ли кривая наклонные асимптоты. Находим (см. (15) и (16)) 1ип = 1пп ь, = 1, у(1) . ъ'И + Цг — Ц 1-х х(1) 1-~ 10 — 2) ' 1-1+о л н 1-1 о 1пп (у(1) — х(1)) = ъ'1' + 1 1 — 211 11п« вЂ” ) = О Ж Ь вЂ” «Хоо 1 1 — 1 ( ' — )= 1 =И ( + 1=11 ( + =1. — 1 — 12 С вЂ” ~ 11(Я Ч 1+1Е) 1 — 1Г Следовательно, кривая имеет асимптоту у = х -Ь 1 и при х — 1 — со, и при х — 1+сю. Так как 1 1 д(1) — (1) — 1= + 1 — 1 1(~й'+1+ ге) ' то у(1) — х(1) — 1 — ~ — 0 при 1 -1 — сю (соответственно х(1) -1 — оо) и д(1)— — х(1) — 1 — 1 +О при 1 — > +сю (соответственно х(1) — > +сю).
Поэтому при х -э — сю кривая приблиясается к асимптоте снизу, а при х э +сю сверху (рис. 11.11). Таким образом, кривая имеет вертикальную асимптоту х = О, горизонтальную асимптоту д = тГ2 и наклонРис. 11.11 ную асимптоту у = х+ 1 (и при х — > — 1 +со, и при х -э — оо). Изобразим в одной системе координат графики данных функций х(1) и у(1). Первый из них был построен в примере 3, Ц (см.
рис. 11.6), второй строится так же, как в примере 3, 2), отличие лишь в том, что данная функция у(1) нечетная. 211. Асигситсты и графики функяий На рис. 11.12 первый график изображен сплошной линией, второй штрихпунктирной. Используя оба эти графика и учитывая предыдущее исследование асимп- р(с) тот, можно представить себе с движение точки (х!С);д)С)), говоря языком механики, в плос- ! кости хОд при изменении с от — оо до +оо.
Проведем в плос- к!с) кости хОд асимптоты .. прямые р = х+ 1 и д = зГ2. Рас- — ОО ' смотрим три промежутка оси С: — 2 !,,',.'!1 2 4 ( — оо; 0), (О;1), (1;+со). При ноз- .-Р, 'зС2! растании С от -оо до 0 значения х)С) (см. рис. 11.12) строго возрастают от — оо до О, зна- я-. чения р!С) сначала возрастают ! от — со, достигая максимума при Рис. 11.12 С = — 1 (р( — 1) = — чу, х( — 1) = = — 1,5), а затем убывают до — оо.
При С -+ — со точка кривой 1х(С); д(С)) приближается к асимптоте д = х+ 1 снизу (см. рис. 11.11), а при С вЂ” > — 0 к асимптотс х = 0 слева (см. рис. 11.9). Найдя несколько промежуточных точек, рисуем эту часть кривой (рис. 11.13). На втором промежутке при возрастании С от 0 до 1 зна- р С -с-сс чения х!С) возрастают от 0 с-ео до +со, а значения уСС) убыВаЮт От +ОО дО рг2 (Пря С = р — х ! = 1 точка кривой не опре- р=Ях) А делена, поэтому можно гово-,), о 2 рить липсь о пределах х(С) и д(С) при 1 -~ 1+0). Точка кривой движется в пер- — 1,5 вом квадранте, переходя от — 4 — 2 " О 1 2 4 асимптоты х = 0 (при --- '2 — > +0) к асимптоте д = рс2,' с 1 — 2 (сверху) при С вЂ” с 1 — О.
На-,' р гйх) конец, при возрастании С от 1 до +со значения х!С) возрастают от — со до +со, зна- с- — о чения д)С) возрастают от зг'2 Рис. 11.13 до +со. Эта часть кривой расположена в 1-м и 2-м квадрантах, точка кривой движется, переходи от асимптоты д = ьГ2 !при С вЂ” ~ — 1+ 0) к асимптоте р = х+ 1 (сверху) при С -+ — со. С учетом нсего этого и изображена кривая на Гл.
Я. Предел и непрерывность функции рис. 11.13. Конечно, отдельные детали рисунка [плавность или гладкость, поведение вблизи точки максимума х = — 1,5, у = — ъг2 и т. д.) еще требуют обоснования. Оно может быть дано методами дифференциального исчисления, и соответствующие примеры будут рассмотрены в З21. Отметим, что интервалы [ — со; 0), [О; 1), [1;-~-со) были выбраны так, что на каждом из них определены и непрерывны обе функции х[1) и гу[1), причем функция х[1) строго возрастает. Поэтому для функции х = х[1) на интервале [ — оо; 0) существует непрерывная, возрастающая обратная функции 1 = 1г [х), х 6 [ — оо; 0), множеством значений которых является интервал ( — оо; 0).
Следовательно, пара функций а[1), д[1), 1 Е ( — со; 0), задает параметрически функггию д = Л [х) = у(1г [х)), х Е [ — со; 0). График этой функции является частью кривой, соответствующей значениям 1 Е [ — со; 0) (снг. рис. 11.13). Аналогично, для х = х[1), 1 Е [О;1), определена непрерывная, возрастающая обратная функция 1 = 1з(х), х Е (О;+со), со множеством значений [О;1). Пара функций х[1), у[1), 1 а [О;1), задает параметрически функцикь у = 1 [х) = у(1з(х)), х Е (О;+ос).
График этой функции -- часть кривой, соответствующая 1 Е (О;1) [сьь рис. 11.13). Для х = х(1), 1 е [1;+ос), есть обратная функция 1 = гз[х), х Е Й, со множеством значений (1;+ос). Часть кривой при 1 Е (1;+со) является графиком функции у = 1з(х) = у(1з(х)), х Е Я (рис. 11.13). Указанные части кривой иногда называют ее ветвями. Вместо участков монотонности функции х[1) бывает удобно рассматривать участки монотонности функции д[1) и соответственно заданные парамстрически функции вида х = д(д). Отметим, что построеннан кривая имеет, как говорят, гпочнд салгопересенения (точка Л на рис.
11.13). Для нахождения точек самопересечения нужно найти все решения системы < х[и) = х[п), д(и) = у[и), ю)и, относительно и и ш В данном случае эта система имеет единственное решение и = [3+ ъ'5)г2, о = (3 — Л)/2, а точка самопересечения имеет координаты х(и) = 1, д[и) = ь'7. в П р и м е р 5.
Найти асимптоты графика функции 3 сйп ье соз ~р г[ьо е' + 1пе и построить этот график в полнрных координатах. я Данная функция периодическая с периодом 2л, поэтому достаточно рассмотреть отрезок [ — ягг2; Зя,г2] длины 2л. Здесь функция определена для ур е [ — я,г2; — я/4) гд [О; я,г2] гд (Зл,г4; г], 411. Ас»»мктоты и графики функций 235 причем 1пп т(«р) = +со и 1пп т(у») = +со. Соответственно т — «к/4 — О гз;»/»»-о находим 7» ') 3 сов у«яп«р 1 1»ш т(«р) яп (З»+ — ) = !пп т — « — /» — о» 4/ т «-, /» — о ~Г2(1 — соврвш»7) иГ2 1пп т(»р) яп (гр — — ) = !пп т(»р)( — вш («р+ — )) = —.
т ‫гз »/»»-о 4 к-«!з »/»»-о 4 ~Г2 Таким образом, при у« — » — я,14 — О асимптотой является прямая 1 7 =— и«2 яв(за+ (яХ4)) а при р — + (Зя)14+0 - — прямая 1 ъ/2 в1и(у« — (Зя,»4) ) Поскольку в!п((у« — (Зя»74)) = — в!п((уг+ (яг«4)), то это одна и та же прямая. Строим ее: отрезок ОА (рнс.
11.14) длины 177»/2 поворачиваем на угол -я,»4 + + ( — 1)я,»2 = — (Зя)74 и через получившуюся точку А» проводим прямую перпендикулярно ОА», она и является асимптотой. Определим, как расположена кривая относительно своей асимптоты. При р -» — я,»4 — О (см. рис. 11.14) имеем !ЛХйХ ! = т(»р) зш (»р + — ) ~ = 3 1 — — 1 < »/2 1 — сову«япв» ~+' )= иГ2 3 з/2 ' Рис. 11.14 Значит, !ЛХЯ~ < ~РЯ~, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
